二阶导数的五点数值微分公式

1 二阶导数的五点数值微分公式
下面给出问题的条件：设()f x 为定义在区间[],a b 上的函数，给定()f x 在等距节点0
1234a x x x x x b ≤≤处的函数值
(),(k 0,1,2,3,4),k f x =且1k k x x h +-=。

在区间[],a b 上作()f x 的4次Lagrange 插值函数，将0x x th =+，[]0,4t ∈，0k x x kh =+代入，并将方程两端对t 求二次导数，再分别把t=0，1,2,3,4代入，即可得到(k 0,1,2,3,4)k x =节点二阶导数的5点数值微分公式
[][][]"0012342"1012342"2012342"3012321()35()104()114()56()11()(1)121()11()20()6()4()-()(2)121()-()+16()30()16()-()(3)121()-()+4()6()+20()1112f x f x f x f x f x f x h
f x f x f x f x f x f x h
f x f x f x f x f x f x h
f x f x f x f x f x h
=-+-+=-++=-+=++[][]4"4012342()(4)1()11()56()114()104()35()(5)12f x f x f x f x f x f x f x h =-+-+ 2 二阶导数五点微分公式的外推算法
2.1 中点节点五点微分公式的外推算法
分别将01234()()()()()f x f x f x f x f x ，，，，在2x 点作Tay-lor 展开并代入（3）
式的右端整理得到
"4682 2.1123()()....(6)f x S h a h a h a h -=+++
式中：i.k 1S +表示i x 节点处第k 次外推公式
012342.12579222123()16()30()16()-()
()12()()()90100821600f x f x f x f x f x S h h f x f x f x ααα-+-+=
（）（），，， 对于固定的2x ，(i 1,2,...)i α=是与h 无关的常数，
所以上面的误差估计式符合Richardson 外推算法，将h 缩小一倍得到（7）式： "4682 2.1111()()a ()a ()a ()...(7)2222
h h h h f x S -=+++
由167-6⨯（）式整理得到
"4682 2.2111()-()=a ()a ()a ()...222h h h f x S h +++ 式中： 2.1 2.1''22332216()()1122,,()201615h h S S S h αααα-=-=-= 由此可见，2x 点的五点微分公式外推一次后，精度由 4Oh 提高到6Oh
依次类推，可得到外推算法的递推序列:
012342.122(k +1)2, 2.k 2.k 1k +2()16()30()16()-()()12(8)2()()2(),(k 1,2,...)21k f x f x f x f x f x S h h h s S h S h +-+-+⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬-⎪⎪==⎪⎪⎩-⎭
式中k 为外推次数， 2.k 1()S h +的截断误差为2(k +1)O(h ) ，既每外推一次收敛阶增长两阶。

2.2 其他节点五点微分公式的外推算法
对于其他节点(i 0,1,2,3)i x = ，将 ()(i 0,1,2,3,4)i f x =在i x 点处作
Taylor 展开并分别代入（1）（2）（3）（4）（5）式整理得到
"3545600.10000"354561 1.11111"353 3.135********()()()+()+()+()+...(9)690361008
119123()()()+()+()+()+...(10)12360362016
119()()()12360f x S h h f x h f x h f x h f x f x S h h f x h f x h f x h f x f x S h h f x -=-=-=-（）（6）（7）（8）（）（6）（7）（8）（）456333"354564 4.144443123()+()()+...(11)362016
511943797()()()()+()()+...(12)690361008
(i 0,1,2,3,4)(i 0,1,3,4)
i i h f x h f x h f x f x S h h f x h f x h f x h f x x Oh hx --=--==（6）（7）（8）（）（6）（7）（8）
由上式可知，节点(i 0,1,2,3,4)i x =的5点数值微分公式精度均为3Oh 。

分别将（9）至（12）式h 缩小一倍乘以8减去（9）至（12）式即得到(i 0,1,3,4)i x =节点外推公式的递推算法
[][][][]0.10123421.1012342
3.1012342
4.1012342135()104()114()56()11()12111()20()6()4()()121()4()6()20()11()12111()56()114()104()35()12S f x f x f x f x f x h S f x f x f x f x f x h S f x f x f x f x f x h S f x f x f x f x f x h ⎧=-+-+⎪⎪⎪=-++-⎪⎨=-++-+=-+-+⎩k +22,i.k 2.k 1k +22()()2(),(k 1,2,...)21(13)
k h s S h S h +⎧⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪==⎩-⎭
经过一次外推，点1234,,,x x x x 的数值微分公式精度由3()O h 提高到4()O h ，k 次外推后精度均提高到 (3)k Ok +，微分公式本身精度及外推算法收敛阶的提高均不如中点节点 2x 。