初一数学培优汇总精华

第一讲 数系扩张--有理数一
一、问题引入与归纳
1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念;
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义,能表成
m
n
0,,n m n ≠互质; 4、性质：① 顺序性可比较大小；
② 四则运算的封闭性0不作除数；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数;
5、绝对值的意义与性质：
① (0)
||(0)
a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥
③ 非负数的性质： i 非负数的和仍为非负数;
ii 几个非负数的和为0,则他们都为0;
二、典型例题解析：
1、若||||||
0,a b ab ab a b ab
+-
则的值等于多少 2． 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的 A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值;
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于 A.2a B.2a - D.2b
5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是 .3 C
6、 有3个有理数a,b,c,两两不等,那么
,,a b b c c a
b c c a a b
------中有几个负数 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0,
b
a
,b 的
形式,求20062007a b +;
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则321ax bx cx +++的值是多少
9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值; 三、课堂备用练习题;
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算：1×2+2×3+3×4+…+nn+1
3、计算：59173365129
132********+++++-
4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值;
5、若三个有理数
,,a b c 满足
||||||1a b c a b c ++=,求
||
abc abc
的值; 第二讲 数系扩张--有理数二
一、能力训练点：
1、绝对值的几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离; ② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离; 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值;
二、典型例题解析：
1、 1若20a -≤≤,化简|2||2|a a ++-
2若0x
,化简
|||2|
|3|||
x x x x ---
2、设0a
,且||
a
x a ≤
,试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 是有理数,下列各式对吗若不对,应附加什么条件
1||||||;a b a b +=+ 2||||||;ab a b = 3||||;a b b a -=- 4若||a b =则a b =
5若||||a b ,则a b 6若a b ,则||||a b
4、若|5||2|7x x ++-=,求x 的取值范围;
5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C,如果||||||a b b c a c -+-=-,那么B 点在A 、C 的什么位置
6、设a b c
d ,求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值;
7、abcde 是一个五位数,a b c d e ,求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值;
8、设1232006,,,
,a a a a 都是有理数,令1232005()M a a a a =++++
2342006()a a a a +++
+,1232006()N a a a a =+++
+2342005()a a a a +++
+,试比较M 、N
的大小;
三、课堂备用练习题： 1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-+
+-求()f x 的最小值;
2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值;
3、如果0abc ≠,求||||||
a b c a b c
++
的值; 4、x 是什么样的有理数时,下列等式成立
1|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- 2|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-
5、化简下式：||||
x x x
-
第三讲 数系扩张--有理数三
一、能力训练点：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则;
1加法法则：同号相加取同号,并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号,并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数;
2减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数;
3乘法法则：几个有理数相乘,奇负得负,偶负得正,并把绝对值相乘; 4除法法则：除以一个数,等于乘以这个数的倒数;
3、准确运用各种法则及运算顺序解题,养成良好思维习惯及解题习惯;
二、典型例题解析：
1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
2、计算：1、()()560.9 4.48.11+-++-+
2、++++
3、-4
23+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、计算：①()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫
------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4、 化简：计算：1711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
235123.7540.1258623⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
3()()340115477⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
4235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5×12＋×12-36×79-57
618
+
5、计算： 1()()()324
2311-+⨯---
2()()2
19981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣
⎦
322831210.52552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、计算：()3
413312100.51644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫
+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
7、计算：3323
200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2
)](1)81634242001
-⨯+----÷++- ：
第四讲 数系扩张--有理数四
一、能力训练点：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则;
3、巧算的一般性技巧：
① 凑整凑0； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题;
二、典型例题解析：
1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118
⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2、111111
111
1
(1)()(1)23
1996234
199723
1997
---
-
⨯++++
-----
1111
()2341996
⨯+++
+
3、计算：①223
2(2)|3.14|| 3.14|(1)π
π-+----
---
②{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--
4、化简：11
1
()(2)(3)(9)1223
89
x y x y x y x y ++++++
+
⨯⨯⨯并求当2,x =9y =时的值; 5、计算：222222222131411
2131411n n S n ++++=++++---- 6、比较1234248162n n n
S =+++++与2的大小;
7、计算：3323
200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001
-⨯+----÷++-
8、已知a 、b 是有理数,且a b ,含23a b c +=,23a c x +=,23
c b
y +=,请将,,,,a b c x y 按从
小到大的顺序排列;
三、备用练习题：
1、计算11111142870130208++++ 2222
133599101
+++⨯⨯⨯
2、计算：111111
20072006200520041232323-+-+-
3、计算：1111
(1)(1)(1)(1)2342006
-⨯-⨯-⨯⨯-
4、如果2
(1)|2|0a b -++=,求代数式220062005
()()2()b a a b ab a b -++++的值;
5、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,求2221
(12)a b m m cd
-+÷-+的值;
第五讲代数式一
一、能力训练点：
1列代数式； 2代数式的意义； 3代数式的求值整体代入法
二、典型例题解析：
1、用代数式表示：
1比x y 与的和的平方小x 的数; 2比a b 与的积的2倍大5的数; 3甲乙两数平方的和差; 4甲数与乙数的差的平方;
5甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商; 6甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差; 7比a 的平方的2倍小1的数; 8任意一个偶数奇数 9能被5整除的数; 10任意一个三位数; 2、代数式的求值： 1已知
25a b a b -=+,求代数式2(2)3()
2a b a b a b a b
-++
+-的值; 2已知225x y ++的值是7,求代数式2364x y ++的值;
3已知2a b =；5c a =,求
624a b c
a b c
+--+的值(0)c ≠
4已知113b a -=,求222a b ab a b ab
---+的值;
5已知：当1x =时,代数式31Px qx ++的值为2007,求当1x =-时,代数式
31Px qx ++的值;
6已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立,求A 、B 的值; 7已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++,求a b c d +++的值; 8当多项式210m m +-=时,求多项式3222006m m ++的值;
3、找规律：
Ⅰ.122(12)14(11)+-=+； 222(22)24(21)+-=+ 322(32)34(31)+-=+ 422(42)44(41)+-=+ 第N 个式子呢 Ⅱ.已知 2222233+
=⨯； 2333388+=⨯； 244441515+=⨯； 若21010a a
b b
+=⨯
a 、
b 为正整数,求?a b +=
Ⅲ. 32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想：
三、备用练习题：
1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要多少天
2、已知代数式2326y y -+的值为8,求代数式23
12y y -+的值;
3、某同学到集贸市场买苹果,买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半,而余下的钱都买了每千克2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元
4、已知111
1n n
a a +=
+(1,2,3,
,2006)n =求当11a =时,122320062007?a a a a a a +++=
第六讲 代数式二
一、能力训练点：
1同类项的合并法则； 2代数式的整体代入求值;
二、典型例题解析：
1、 已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后,不含有y 的项,求2m n
+
的值;
2、当250(23)a b -+达到最大值时,求22149a b +-的值;
3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 的2倍之和是324224a a a -+-,求N
4、若,,a b c 互异,且x y a b b c c a Z
==
---,求x y Z ++的值; 5、已知210m m +-=,求3222005m m ++的值;
6、已知2215,6m mn mn n -=-=-,求2232m mn n --的值;
7、已知,a b 均为正整数,且1ab =,求11
a b
a b +
++的值; 8、求证20061
20062
1111222
2个个等于两个连续自然数的积;
9、已知1abc =,求
111
a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值; 10、一堆苹果,若干个人分,每人分4个,剩下9个,若每人分6个,最后一个人分到的少于3个,问多少人分苹果
三、备用练习题：
1、已知1ab =,比较M 、N 的大小;
1111M a b =
+++, 11a b
N a b
=+
++; 2、已知210x x --=,求321x x -+的值; 3、已知
x y z K y z x z x y
===+++,求K 的值; 4、5544333,4,5a b c ===,比较,,a b c 的大小; 5、已知22350a a --=,求432412910a a a -+-的值;
第七讲 发现规律
一、问题引入与归纳
我国着名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来,再
从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”;这种以退为进,寻找规律的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明; 能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力;
二、典型例题解析
1、 观察算式：
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,2222
+⨯+⨯+⨯+⨯+=
++=+++++++=按规律填空：1+3+5+…+99= ,1+3+5+7+…+(21)n -=
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子;观察图形的变化规律,写出第n 个小房子用了多少块石子
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖如图所示的规律,拼成若干个图案：1第3个图案中有白色地面砖多少块2第n 个图案中有白色地面砖多少块
4、 观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第10个图形中三角形的个数为多少第n 个图形中三角形的个数为多少
5、 观察右图,回答下列问题：
1图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点
2如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n 层有多少个点 3某一层上有77个点,这是第几层
4第一层与第二层的和是多少前三层的和呢前4层的和呢你有没有发现什么规律根据你的推测,前12层的和是多少
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
100
1
n n =∑,这里“∑”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+…+99”即从1开始的100以内的连续奇数的和可表示为50
1(21);n n =-∑又如“3333333333
12345678910+++++++++”可表示为10
3
1
n n =∑,
同学们,通过以上材料的阅读,请解答下列问题：
12+4+6+8+10+…+100即从2开始的100以内的连续偶数的和用求和符号可表示为 ；
2计算：5
21(1)n n =-∑= 填写最后的计算结果;
7、 观察下列各式,你会发现什么规律
3×5=15,而15=42-1 5×7=35,而35=62-1 … … 11×13=143,而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 ;
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n 3的分式,并算出13+23+33+…+1003的值; 三、跟踪训练题1 1、有一列数1234
,,,,n a a a a a 其中：1a =6×2+1,2a =6×3+2,3a =6×4+3,4a =6×5+4；…则
第n 个数n a = ,当n a =2001时,n = ; 2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列 第3列 第4列 第5列 第一行
2
4 6 8
第二行 16
14 12 10
第三行 18 20 22 24
……
……
28
26
根据上面的规律,则2006应在 行 列;
3、已知一个数列2,5,9,14,20,x ,35…则x 的值应为：
4、在以下两个数串中：
1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有 个; .334 C 5、学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人如右图所示 按照这种规定填写下表的空
格：
拼成一行的桌子数
1 2 3
… n
人数
4
6
…
6、给出下列算式：
观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：
152
=225可写成100×1×1+1+25
252=625可写成100×2×2+1+25
352=1225可写成100×3×3+1+25
452=2025可写成100×4×4+1+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：10n+52=
根据猜想计算：19952=
8、已知()()1216
13212222++=++++n n n n ,计算： 112+122+132+…+192= ； 9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出：当n 是自然数时,代数式n 2+n+41所表示的是质数;请验证一下,当n=40时,n 2
+n+41的值是什么这位学者结论正确吗 第八讲 综合练习一
1、若5x y x y -=+,求552233x y x y x y x y
-+++-的值; 2、已知|9|x y +-与2(23)x y -+互为相反数,求x y ;
3、已知|2|20x x -+-=,求x 的范围;
4、判断代数式||||x x x
-的正负; 5、若||1abcd abcd =-,求||||||||a b c d a b c d
+++的值;
6、若2|2|(1)0ab b -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++
7、已知23x -,化简|2||3|x x +--
8、已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,m 的绝对值等于2,P 是数轴上的表示原点的数,求
10002a b P cd m abcd +-++的值; 9、问□中应填入什么数时,才能使|20062006|2006⨯-=
10、,,a b c 在数轴上的位置如图所示,
化简：|||1||||1||23|a b b a c c b ++-------
11、若0,0a b ,求使||||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围;
12、计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)21
+++++- 13、已知200420042004200320032003a ⨯-=-⨯+,200520052005200420042004b ⨯-=-⨯+,200620062006200520052005
c ⨯-=-⨯+,求abc ;
14、已知99
99909911,99
P q ==,求P 、q 的大小关系; 15、有理数,,a b c 均不为0,且0a b c ++=;设|||||||
|a b c x b c c a a b
=+++++,求代数式19992008x x -+的值; 第九讲 一元一次方程一
一、知识点归纳：
1、等式的性质;
2、一元一次方程的定义及求解步骤;
3、一元一次方程的解的理解与应用;
4、一元一次方程解的情况讨论;
二、典型例题解析：
1、解下列方程：1
2121136x x -+=- 232122234x x ⎡⎤⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 30.30.2 1.550.70.20.5
x x --+= 2、 能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=
-,为什么反之,能否从32b x a +=-得到(2)3a x b -=+,为什么
3、若关于x 的方程2236
kx m x nk +-=+,无论K 为何值时,它的解总是1x =,求m 、n 的值; 4、若5545410(31)x a x a x a x a +=++++;求543210a a a a a a -+-+-的值;
5、已知1x =是方程11322
mx x =-的解,求代数式22007(79)m m -+的值; 6、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数,求整数K 的值;
7、若方程732465x x x --=-与方程35512246
x x mx ---=-同解,求m 的值; 8、关于x 的一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值;
9、解方程200612233420062007
x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 10、已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +,求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解;
11、当a 满足什么条件时,关于x 的方程|2||5|x x a ---=,①有一解；②有无数解；③无解;
第十讲 一元一次方程2
一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤;
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题如经济问题、利润问题、增长率问题
二、典型例题解析;
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克,今有98%的浓硫酸和10%的硫酸,问这两种硫酸分别应各取多少千克
2、一项工程由师傅来做需8天完成,由徒弟做需16天完成,现由师徒同时做了4天,后因师傅有事离开,余下的全由徒弟来做,问徒弟做这项工程共花了几天
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价,一商贩以每个元购进一批鸡蛋,但在贩运途中不慎碰坏了12个,剩下的蛋以每个元售出,结果仍获利元,问该商贩当初买进多少个鸡蛋 ：
4、某商店将彩电按原价提高40%,然后在广告上写“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电仍可获利270元,那么每台彩电原价是多少
5、一个三位数,十位上的数比个位上的数大4,个位上的数比百位上的数小2,若将此三位
数的个位与百位对调,所得的新数与原数之比为7:4,求原来的三位数
6、初一年级三个班,完成甲、乙两项任务,一班有45人,二班有50人,三班有43人,现因任务的需要,需将三班人数分配至一、二两个班,且使得分配后二班的总人数是一班的总人数的2倍少36人,问：应将三班各分配多少名学生到一、二两班
7、一个容器内盛满酒精溶液,第一次倒出它的1
3
后,用水加满,第二次倒出它的
1
2
后用水
加满,这时容器中的酒精浓度为25%,求原来酒精溶液的浓度;
8、某中学组织初一同学春游,如果租用45座的客车,则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满,已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为每辆300元,问租用哪种客车更合算租几辆车
9、 1994年底,张先生的年龄是其祖母的一半,他们出生的年之和是3838,问到2006年底张先生多大
10、有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机,6天可抽干池水,若用21部A型抽水机13天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用多少部A型抽水机抽水
11、狗跑5步的时间,马能跑6步,马跑4步的距离,狗要跑7步,现在狗已跑出55米,马开始追它,问狗再跑多远马可以追到它
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流,在A处遇到逆水而上的快艇和轮船,因雾大而未被发现,1小时快艇和轮船获悉此事,随即掉头追救,求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间
数形结合谈数轴
一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科,在数学里数和形是有密切联系的;我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种数与形之间的相互作用叫数形结合,是一种重要的数学思想;
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面：
2、利用数轴能直观地解释相反数；
3、利用数轴比较有理数的大小；
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题;
二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么
A ．b ab <
B ．b ab >
C ．0>+b a
D ．0>-b a
拓广训练：
1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数,在a b b a a b b a ---+,,2,中,负数的个数有
“祖冲之杯”邀请赛试题
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上,并用不等号连接;
2、利用数轴能直观地解释相反数；
例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3,点B 到原点的距离为5,那么A 、B 两点的距离为 ;
拓广训练：
1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3,则._________3=-a
2、已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 ;北京市“迎春杯”竞赛题
例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ,那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 ;用“<”号连接北京市“迎春杯”竞赛题
拓广训练：
1、 若0,0><n m 且n m >,比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小,并用“>”号连接; 例4：已知5<a 比较a 与4的大小
拓广训练：
1、已知3->a ,试讨论a 与3的大小
2、已知两数b a ,,如果a 比b 大,试判断a 与b 的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题;
例5： 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示,式子c b b a b a -++++化简结果为
A ．c b a -+32
B ．c b -3
C ．c b +
D ．b c -
拓广训练：
1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示,则化简c c a b b a ------+11的结果为 ;
2、已知b b a b a 2=-++,在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示,则成立的
是 ; ①
②
③
④
3、已知有理数c b a ,
,在数轴上的对应的位置如下图：则b a c a c -+-
+-1化简后的结果是
0a
A ．1-b
B ．12--b a
C ．c b a 221--+
D ．b c +-21
三、培优训练
1、已知是有理数,且()()012122
=++-y x ,那以y x +的值是 A ．21 B ．23 C ．21或23- D ．1-或23
2、07乐山如图,数轴上一动点A 向左移动2
5个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1,则点A Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2- 3、如图,数轴上标出若干个点
,每相邻两点相距1分别是整数d c b a ,,,且102=
-a d ,那么数轴的原点应是
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
4、数d c b a ,,,所对应的点A,B,C,D 在数轴上的位置如图所示,那么c a +与d b +的大小关系是 A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的
5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A,B,C,若c a c b b a -=-+-,那么点B
A ．在A 、C 点右边
B ．在A 、
C 点左边 C ．在A 、C 点之间
D ．以上均有可能
6、设11++-=x x y ,则下面四个结论中正确的是 全国初中数学联赛题
A ．y 没有最小值
B ．只一个x 使y 取最小值
C ．有限个x 不止一个使y 取最小值
D ．有无穷多个x 使y 取最小值
7、在数轴上,点A,B 分别表示31-和5
1,则线段AB 的中点所表示的数是 ;
8、若0,0<>b a ,则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 ; 1
9、x 是有理数,则221
95221100++-x x 的最小值是 ; 10、已知d c b a ,,,为有理数,
且,64366====d c b a
求c b a b d a -+---2
2323的值;
11、南京市中考题1阅读下面材料： 点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,,A 、B 两点这间的距离表示为AB ,当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图1,b a b OB AB -===；当A 、B 两点
都不在原点时, ①如图2,点A 、B 都在原点的右边b a b OA OB AB =-=-=②如图3,点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；
③如图4,点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=;
综上,数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=;
2回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ,如果2=AB ,那么x 为 ；
③当代数式21-++x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是 ； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值;
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概B A O B A O
o
念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点;
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法;
去绝对值符号法则：
2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离;
3、灵活运用绝对值的基本性质 ①0≥a ②222a a a == ③b a ab ⋅= ④
()0≠=b b
a b a ⑤b a b a +≤+ ⑥b a b a -≥-
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a ;
拓广训练：
1、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>,那么()=-+2c b a ;北京市“迎春杯”竞赛题
2、若5,8==b a ,且0>+b a ,那么b a -的值是
A ．3或13
B ．13或-13
C ．3或-3
D ．-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2： 11-++x x 的最小值是
A ．2
B ．0
C ．1
D ．-1
解法1、分类讨论
当1-<x 时,()()221111>-=--+-=-++x x x x x ；
当11≤≤-x 时,()21111=--+=-++x x x x ；
当1>x 时()221111>=-++=-++x x x x x ;
比较可知,11-++x x 的最小值是2,故选A;
解法2、由绝对值的几何意义知1-x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离；1+x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；11-++x x 的最小值是指x 点到1与-1两点距离和的最小值;
当11≤≤-x 时,11-++
x x 的值最小,最小值是2故选A;
拓广训练：
1、 已知23++-x x 的最小值是a ,23+--x x 的最大值为b ,求b a +的值;
三、培优训练
1、如图,有理数b a ,则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中,负数共有 湖北省荆州市竞赛题
A ．3个
B ．1个
C ．4个
D ．2个
2、若m 是有理数,则m m -一定是
A ．零
B ．非负数
C ．正数
D ．负数
3、如果022=-+-x x ,那么x 的取值范围是
A ．2>x
B ．2<x
C ．2≥x
D ．2≤x
4、b a ,是有理数,如果b a b a +=-,那么对于结论1a 一定不是负数；2b 可能是负数,其中 第15届江苏省竞赛题
A ．只有1正确
B ．只有2正确
C ．12都正确
D ．12都不正确
5、已知a a -=,则化简21---a a 所得的结果为
A ．1-
B ．1
C ．32-a
D ．a 23-
6、已知40≤≤a ,那么a a -+-32的最大值等于 A ．1 B ．5 C ．8 D ．9
7、已知c b a ,,都不等于零,且abc
abc c c b b a a x +++=
,根据c b a ,,的不同取值,x 有 A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值 8、满足b a b a +=-成立的条件是 湖北省黄冈市竞赛题 A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab 9、若52<<x ,则代数式
x
x x
x x x +-----2255的值为 ;
10、若0>ab ,则ab
ab b
b a
a -+的值等于 ;
11、已知c b a ,,是非零有理数,且0,0>=++abc c b a ,求
abc
abc c c b b a a +++的值; 12、已知d c b a ,,,是有理数,16,9≤-≤-d c b a ,且25=+--d c b a ,求c d a b ---的值;
13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道()
()()
0000
<=>⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x x ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式21-++x x 时,可令01=+x 和02=-x ,分别求得2,1=-=x x 称
2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值;在有理数范围内,零点值1-=x 和2=x 可将全体
有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： 1当1-<x 时,原式=()()1221+-=--+-x x x ; 2当21<≤-x 时,原式=()321=--+x x ；
3当2≥x 时,原式=1221-=-++x x x ;
综上讨论,原式=()()()
2211123
12≥<≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读,请你解决以下问题：
（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；2化简代数式42-++x x
14、1当x 取何值时,3-x 有最小值这个最小值是多少2当x 取何值时,25+-x 有最大值这个最大值是多少3求54-+-x x 的最小值;4求987-+-+-x x x 的最小值;
15、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站,如图,现在要在AB 段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小,试分析加油站M 在何处选址最好 16、先阅读下面的材料,然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的()1>n n 台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形：
① ②
如图①,如果直线上有2台机床甲、乙时,很明显P 设在1A 和2A 之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P 的距离之和等于1A 到2A 的距离.
如图②,如果直线上有3台机床甲、乙、丙时,不难判断,P 设在中间一台机床2A 处最合适,因为如果P 放在2A 处,甲和丙分别到P 的距离之和恰好为1A 到3A 的距离；而如果P 放在别处,例如D 处,那么甲和丙分别到P 的距离之和仍是1A 到3A 的距离,可是乙还得走从2A 到D 近段距离,这是多出来的,因此P 放在2A 处是最佳选择;不难
A
2
乙（P ）1
2
知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床,P 应设在第3台位置;
问题1：有n 机床时,P 应设在何处
问题2根据问题1的结论,求617321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值;
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先,有理数计算每一步要确定符号；其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的
符号演算;
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等; 二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律
()()⎩⎨
⎧++=+++=+c
b a
c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律
()()()⎪⎩
⎪⎨⎧+=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ac ab c b a c b a c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律 例1：计算：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523 解：原式=15.175.56.4375.26.43
2
775.232
46.4-=-=--=---++ 拓广训练：
1、计算111
5
292.011275
208.06.0++--
+-- 24941911764131159431+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+
例2：计算：5025249⨯⎪⎭
⎫
⎝
⎛- 解：原式=()49825005025150105025110-=--=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-
⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-- 拓广训练：
1、 计算：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⨯⨯⨯⨯514
1312
15432 2、裂项相消 1
b a ab b a 1
1+=+；2
()11111+-=+n n n n ；3()m n n m n n m +-=+11 4
()()()()()
21111212++-+=++n n n n n n n
例3、计算
2010
20091
431321211⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ 解：原式=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
+⋅⋅⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2010
120091413
1312
1
211 =2010
1
2009141313121211-
+
⋅⋅⋅+-+-+- =2010
2009
201011=
- 拓广训练： 1、计算：
2009
20071
751531311⨯⋅
⋅⋅+⨯+⨯+⨯ 3、以符代数 例4：计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+39385271781712133937111712727717 解：分析：397610393711,17242617127,27341627717
=== 令A =3938527178171213-+,则A 239
76
101724262734163937111712727717=-+=-+
原式=22=÷A A 拓广训练： 1
、
计
算
：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++200513121200613121120051312112006131
21 4、分解相约
例5：计算：2
93186293142842421⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n
解：原式=()()()()293193129314214212421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯n n =()()2
2193121421⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯n n
=72964
9314212
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯ 三、培优训练
1、a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,则2008
2009
2007
b a += ; 2、计算：1
1999
19971
971751531⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯= ； 2()()()()[]
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
÷-÷-+--⨯-243431622825.0= ; 3、若a 与b -互为相反数,则ab
b a 199********
2+= ;
4、计算：⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++989798
3981656
36
143412
1= ;
5、计算：10987654322222222222+--------= ;
6、99
98
,19991998,9897,19981997----
这四个数由小到大的排列顺序
是 ;
7、2007“五羊杯”计算：86.66.68686.06284.3114.3⨯+⨯+⨯=
A ．3140
B ．628
C ．1000
D ．1200
8、2005“希望杯”
30
28864215
144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于
A ．41
B ．41-
C ．21
D ．2
1-
9、2006“五羊杯”计算：4
5.418922
35.2465÷⨯+÷⨯÷⨯+÷⨯=
A ．25
B ．310
C ．920
D ．9
40
10、2009鄂州中考为了求2008
322221++++ 的值,可令S ＝
2008
322221++++ ,
则2S ＝
2009
4
3
2
2
222++++ ,因此2S-S ＝
1
2
2009
-,所以
2008
3
2
2
221++++ ＝
1
22009-仿照以上推理计算出
2009
325551++++ 的值是
A 、152009-
B 、
152010
- C 、4152009-
D 、41
52010-
11
、
2004
321,,,a a a a ⋅⋅⋅都是正数,如果()()
200432200321a a a a a a M +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=,
()()200332200421a a a a a a N +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=,那么N M ,的大小关系是
A ．N M >
B ．N M =
C ．N M <
D ．不确定
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为a b a ,,1+的形式,又可表示为b a
b
,,0的形式,求20001999b a +的值“希望杯”邀请赛试题 13、计算
1()000000164.05700006.019.000036.07.5⨯-⨯-⨯2009年第二十届“五羊杯”竞赛题
2()()()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-÷-+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-24
23
4
31625.6134313825.0北京市“迎春杯”竞赛
题
14、已知n m ,互为相反数,b a ,互为负倒数,x 的绝对值等于3, 求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值
15、已知022=-+-a ab ,求()()()()
()()2006200612211111+++
⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值2006,香港竞赛
16、2007,无锡中考图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
(1)
1232
n n n ++++
+=
．
图１ 图2 图 3 图4
如果图1中的圆圈共有12层,1我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，,则最底层最左边这个圆圈中的数是
；2
我们自上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数
23-,22-,21-,
,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
数
二、 绝对值的意义：
1几何意义：一般地,数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|;
第2层
第1层 …… 第n 层
2代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零;
也可以写成： ()()()
||0a a a a a a ⎧⎪⎪
=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数
说明：Ⅰ|a|≥0即|a|是一个非负数；
Ⅱ|a|概念中蕴含分类讨论思想;
三、 典型例题
例1．数形结合思想已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于 A A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b
D ． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-a+b+c-a+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算;脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号;这道例题运用了数形结合的数学思想,由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简; 例2．已知：z x <<0,0>xy ,且x z y >>, 那么y x z y z x --+++
的值 C
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 解：由题意,x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所
以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴;
0)
()(=--+-+=--+++y x z y z x y
x z y z x。