2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
内容标准学科素养
1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题．
2.了解空间向量正交分解的含义．
3.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
应用直观想象
发展逻辑推理
提升数学运算
授课提示：对应学生用书第60页
[基础认识]
知识点一空间向量基本定理
预习教材P92－94，思考并完成以下问题
我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理)．对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
如图，设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p ＝OP→，设点Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在OQ→，k所确定的平面上，存在实数z，使得OP→＝OQ→＋z k.
在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得
OQ→＝x i＋y j.
从而
OP→＝OQ→＋z k＝x i＋y j＋z k.
由此可知，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得
p＝x i＋y j＋z k.
在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，可以得出类似的结论．
知识梳理空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理(1)单位正交基底
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→＝p.由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．
[自我检测]
1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b
C ．a ＋2b
D ．a ＋2c 答案：D
2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→
等于( ) A ．i ＋j ＋k B.13i ＋12j ＋1
5k
C ．3i ＋2j ＋5k
D ．3i ＋2j －5k 答案：C
3．若a ＝3e 1＋2e 2－e 3，且{e 1，e 2，e 3}为空间的一个单位正交基底，则a 的坐标为________． 答案：(3,2，－1)
授课提示：对应学生用书第61页 探究一 对基底与基向量的理解
[教材P 94练习1]已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，从a ，b ，c 中选哪一个向量，一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成空间的另一个基底？
解析：向量c 一定可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底． ∵p ＝a ＋b ，q ＝a －b 与a ，b 共面，只有c 不与p ，q 共面． [例1] 判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底； (2)基向量中可以含有零向量，但至多一个；
(3)如果向量a ，b 与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量a ，b 一定是共线向量； (4)如果向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，且m ＝a ＋c ，那么{a ，b ，m }也是空间的一组基底．
[解析](1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底． (2)错误，基向量中一定不可以含有零向量．
(3)正确，向量a ，b 与空间任何向量都不能构成一组基底，说明向量a ，b 与空间任何向量都是共面向量，从而a ，b 一定是共线向量．
(4)正确，因为若a ，b ，m 共面，则存在唯一实数对(x ，y )，使得m ＝x a ＋y b ，即a ＋c ＝x a ＋y b ，所以(x －1)a ＋y b －c ＝0，而a ，b ，c 不共面，所以x －1＝y ＝－1＝0，这显然不成立，故a ，b ，m 不共面，即{a ，b ，m }也是空间的一组基底．
方法技巧 1.对于基底{a ，b ，c }，(1)a ，b ，c 一定不共面；(2)a ，b ，c 中一定没有零向量．
2．判断a ，b ，c 可否作为空间的一个基底，即判断a ，b ，c 是否共面，若不共面则可以作为基底，否则不能作为基底，实际判断时，假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理建立λ，μ的方程组，若有解则共面，否则不共面．
跟踪探究 1.已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →
＝－3e 1＋
e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →
}能否作为空间的一个基底．
解析：假设OA →，OB →，OC →
共面， 则存在实数λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →
，
∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3. ∵e 1，e 2，e 3不共面，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1，
此方程组无解，
∴OA →，OB →，OC →不共面，故{OA →，OB →，OC →
}能作为空间的一个基底． 探究二 用基底表示空间向量
[阅读教材P 94例4]如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边
OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点．用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →
.
题型：用基底表示空间向量
方法步骤：(1)利用向量加法的三角形法则
OP →＝OM →＋MP →
； OQ →
＝OM →
＋MQ →
.
(2)由M ，N ，P ，Q 的位置，根据向量的数乘运算得出 OP →
＝16OA →＋13OB →＋OC →
；
OQ →
＝13OA →＋16OB →＋16OC →.
[例2] 如图，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →
＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，
b ，
c 表示BF →，BE →，AE →，EF →
.
[解析]连接BO ， 则BF →＝12
BP →
＝12(BO →＋OP →)＝1
2(c －b －a ) ＝－12a －12b ＋12c .
BE →
＝BC →
＋CE →
＝－a ＋12CP →
＝－a ＋12(CO →＋OP →
)
＝－a －12b ＋1
2
c .
AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →
＋12
(PO →
＋OC →
)
＝－a ＋c ＋1
2(－c ＋b )
＝－a ＋12b ＋1
2c .
EF →
＝12CB →
＝12OA →＝1
2a .
方法技巧 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的．
2．用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．
3．在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．
跟踪探究 2.如图所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，
P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：
(1)AP →；(2)AM →.
解析：如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1， (1)AP →
＝12(AC →＋AA 1→)
＝12(AB →＋AD →＋AA 1→
)＝12
(a ＋b ＋c )．
(2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)
＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝1
2a ＋b ＋1
2
c . 探究三 空间向量的坐标表示
[教材P 97练习2]如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学进行交流．
解析：以OA ，OC ，OO ′为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，O ′(0,0,2)，A ′(2,0,2)，
B ′(2,2,2)，
C ′(0,2,2)．
[例3] 在直三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1
＝4，D 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求DO →，A 1B →
的坐标．
[解析]由题意OA ⊥OB ，OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，所以以OA ，OB ，
OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则O (0,0,0)，O 1(0,0,4)，A (4,0,0)，B (0,2,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,2,4)，∴D (2,1,4)，
∴DO →＝(－2，－1，－4)，A 1B →
＝(－4,2，－4)．
方法技巧 1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤：
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；
(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．
跟踪探究 3.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN →
的坐标．
解析：以AD ，AB ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，
则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，
N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. ∴MN →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，0，12.
授课提示：对应学生用书第62页
[课后小结]
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．
(2)向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．
[素养培优]
1．用错线段的关系式致误
已知空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则用基底{a ，b ，c }表示MN →
为________．
易错分析 由OM ＝2MA ，误以为M 为线段OA 的中点，得OM →＝12OA →
，导致本题错误．考
查直观想象、逻辑推理的学科素养．
自我纠正 ∵N 为BC 的中点，∴ON →
＝12
(OB →＋OC →
)．
又OM ＝2MA ，则OM →
＝23
OA →
，
∴MN →
＝ON →
－OM →
＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －2
3a .
答案：12b ＋12c －2
3
a
2．建立空间直角坐标系不当致误
如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，则AB 1→，AC 1→
的坐标分别为________，________.
易错分析 解答本题时，容易以AB →，AC →，AA 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建错空间直角坐标系，这里忽视了向量所在直线的垂直性而致误．考查直观想象的学科素养．
自我纠正 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，0，B 1⎝
⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2， 于是AB 1→
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32，2，AC 1→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，－32，2.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32，2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，－32，2。