用具体函数模型来理解抽象函数

用具体函数模型来理解抽象函数
【摘要】所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。

由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本初等函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。

【关键词】抽象函数；模型
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；例如高一学生遇到类似于，等抽象函数的题型，束手无策，很难理解。

其实，大量的抽象函数并非无源之水，都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，若能借助具体的函数模型，问题便迎刃而解。

本文借助一道习题的拓展加以说明，仅供借鉴。

例1.设是定义在R上的函数，对任意，恒有，当时，有.
⑴求证：，且当时，；⑵证明：在R上单调递减.
解：⑴令得
当时，有，
当时，有，，
又.
⑵设且
，
∴在R上单调递减.
此题解完之后，我尝试让学生画出该函数的草图，结合函数的图象及相关性质，联想到指数函数的模型，类比可以得到，上述例题恰好是指数函数的相关性质。

把抽象函数借助具体的函数模型学生便于理解。

类似的抽象函数和可以分别借助对数函数模型
和（x>0，y>0，a>0，a≠1）来理解。

例2.设f （x）是定义在R+上的增函数，且f （x）=+ f （y），若f （3）=1，，求x的取值范围。

分析：由f （x）=+ f （y）可知f（x）是对数函数
的抽象函数。

解：∵f（3）=1
∴ f （3）+ f （3）=2
∴f （）+f （3）= f （9）=2
∵f （x）=+ f（y）即f （x）- f（y）=
∴∴f [x（x-5）]> f （9）
∵f （x）是定义在R+上的增函数∴
解得：；
比如抽象函数f（x±y）=f（x）±f（y）可以借助线性函数型f（x）=kx（k≠0）来理解，如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想；
例3. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有
并存在正实数c，使。

试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。

故是周期函数，2c是它的一个周期。

例4.已知函数满足，若，试求（2005）。

分析：由和（+）=可知，本题应是以正切函数为模型的函数。

解∵==-
∴（+4）=
∴是以4为周期的周期函数
又∵f（2）=2004
∴===-
∴f（2005）=-
例5.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：
（1）
（2）存在正常数a，使f（a）=1
求证：（1）f（x）是奇函数；
（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。

分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余切函数f（x）=cotx为模型的函数。

证明：（1）设，则
所以函数f（x）是奇函数。

（2）令，则
即
解得：f（2a）=0
所以
所以
因此，函数f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。

还有凹凸函数模型：
凹函数模型：
凸函数模型：
（注意：凹凸函数模型中的取等条件）；
单调函数模型：
单调增函数模型：
单调减函数模型：；
斜率模型：
随着变量的增大，动点与原点连线的斜率也逐渐增大。

随着变量的增大，动点与原点连线的斜率逐渐减小。

值得注意的是，在用模型化解决抽象函数数学问题时，不可用满足题中抽象函数的一个模型去代替演绎推理，那样就犯了“以偏概全、以特殊代替一般、具体代替抽象”的逻辑错误。

总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题. 由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象——具体——抽象”的模型化思考方法，可助我们捕捉有益的解题信息，帮我们拟定合理的解题计划，加深对题意的理解，可使抽象函数问题顺利获解。

这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.
参考文献：
[1]王秀奎4类抽象函数解法例说《中学数学教研》2003.5
[2]辛玉虎解抽象函数问题的几种重要方法《中学数学杂志》2002.8。