重庆市涪陵实验中学2017届高三上学期第二次月考数学试

2016-2017学年重庆市涪陵实验中学高三（上）第二次月考数学
试卷（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，满分共60分）
1．设集合，则A∩B=（）
A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]
2．复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）
A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据涪陵气象局某日早6点至晚9点在李渡新城区、涪陵老城区两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，李渡新城区、涪陵老城区浓度的方差较小的是（）
A．李渡新城区
B．涪陵老城区
C．李渡新城区、涪陵老城区相等
D．无法确定
4．若sinx•cosx=，且，则cosx﹣sinx的值是（）
A．±B．C．﹣D．±
5．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（）
A．B．2 C．D．
7．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则
实数a的值为（）
A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1
8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象
向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于x=对称
C．关于点（，0）对称D．关于x=对称
9．如图所示，f i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，任意λ∈[0，1]，f[λx1+（1﹣λ）x2]≤λf （x1）+（1﹣λ）f（x2）恒成立”的只有（）
A．f1（x），f3（x）B．f2（x）C．f2（x），f3（x）D．f4（x）
10．过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
11．已知三棱锥O﹣ABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若AB=BC=1，
∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）
A．πB．16πC．64πD．544π
12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀m∈R，∃n∈（0，+∞）使得f（m）=g（n）成立，则n﹣m的最大值为（）
A．﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3
二.填空题如图，菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E，F分别为DC、BC的中
点，则=．
14．已知的展开式中项x4的系数为．
15．已知M，N是圆A：x2+y2﹣2x=0与圆B：x2+y2+2x﹣4y=0的公共点，则△BMN 的面积为．
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BC=3BD，若AB=1，AC=2，则AD•BD的最大值为．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）数列{a n }满足：a 1=2，a 2=3，a n +2=3a n +1﹣2a n （n ∈N*）． （1）记d n =a n +1﹣a n ，求证：数列{d n }是等比数列；
（2）若数列
的前n 项和为S n ，证明
．
18．（12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．
19．（12分）某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N （5.01，0.0064）．
（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；
（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；
（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ～N （μ，ς2），则P （μ﹣ς＜ξ≤μ+ς）=0.6826， P （μ﹣2ς＜ξ≤μ+2ς）=0.9544，P （μ﹣3ς＜ξ≤μ+3ς）=0.9974．
20．（12分）已知圆M ：（x ﹣
）2+y 2=r 2（r ＞0）．若椭圆C ：
+=1（a
＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m，n，p满足|m﹣p|＜|n﹣p|恒成立，则称m比n更靠近p．在函数f
（x）有极值的前提下，当x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx，试求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．（10分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．
23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x
的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．
（1）求实数a的最大值m；
（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．
2016-2017学年重庆市涪陵实验中学高三（上）第二次月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，满分共60分）
1．设集合，则A∩B=（）
A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，再求A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]，
B={x|≥0}={x|x＞0}=（0，+∞）；
∴A∩B=（0，1]．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2．复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）
A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】先将z利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．
【解答】解：∵（1﹣2i）z=7+i，∴z====1+3i．
共轭复数=1﹣3i．
故选B．
【点评】本题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．
3．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据涪陵气象局某日早6点至晚9点在李渡新城区、涪陵老城区两个地区附
近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，李渡新城区、涪陵老城区浓度的方差较小的是（）
A．李渡新城区
B．涪陵老城区
C．李渡新城区、涪陵老城区相等
D．无法确定
【考点】茎叶图．
【分析】根据茎叶图中的数据分布，即可得到两地浓度的方差的大小关系
【解答】解：根据茎叶图中的数据可知，涪陵老城区的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定，
而李渡新城区的数据分布比较分散，不如涪陵老城区数据集中，
∴涪陵老城区的方差较小；
故选B．
【点评】本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础
4．若sinx•cosx=，且，则cosx﹣sinx的值是（）
A．±B．C．﹣D．±
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】依题意，知cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，易求t2=，从而可得答案．
【解答】解：∵，
∴cosx＜sinx，
∴cosx﹣sinx＜0，
令t=cosx﹣sinx，∵sinx•cosx=，
则t2=（cosx﹣sinx）2=1﹣2sinx•cosx=1﹣2×=，
∴t=﹣，即cosx﹣sinx=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考察三角函数间的平方关系的应用与正弦函数与余弦函数的单调性质，是基本知识的考查．
5．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．
【解答】解：执行程序框图，有
a=2，x=3，y=8
不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16
不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32
不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64
满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．
6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（）
A．B．2 C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据题意，画出几何体的三视图，求出三视图的面积之和即可．
【解答】解：如图所示，
四面体A1PQD的正视图是直角梯形，如图1所示；
侧视图是四边形，如图2所示；
俯视图是直角梯形，如图3所示；
所以三视图的面积之和为3﹣4×××1=2．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．
7．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则
实数a的值为（）
A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象
向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于x=对称
C．关于点（，0）对称D．关于x=对称
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，
则f（x）=sin（2x+φ），
将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，
则g（0）=sin[2•（﹣）+φ]=0，
即φ﹣=kπ，k∈Z
∵|φ|＜，故φ=，
故f （x ）=sin （2x +），
∵当2x +
=
+kπ，即x=
+
，k ∈Z 时，函数取最值，
故函数f （x ）的图象的对称轴方程为：x=+
，k ∈Z
当k=0时，x=为函数f （x ）的图象的一条对称轴，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．
9．如图所示，f i （x ）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0，1]，f [λx 1+（1﹣λ）x 2]≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2）恒成立”的只有（ ）
A ．f 1（x ），f 3（x ）
B ．f 2（x ）
C ．f 2（x ），f 3（x ）
D ．f 4（x ） 【考点】函数的图象．
【分析】由题设对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0，1]，f [λx 1+（1﹣λ）x 2]≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2）恒成立，知，此函数必不为一凹函数，依据凹函数的图象特征进行判断即可．
【解答】解：由题意，观察四个选项：f 1（x ）中的图象先降后升是一凸函数，满足要求，
f 2（x ）中的函数是先升后降是一凹函数，不满足要求； f 3（x ）中的图象直线上升，不是凹函数，满足要求， f 4（x ）中的函数图象凸、凹函数各一部分．不满足要求；
考察定义：对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0，1]，f [λx 1+（1﹣λ）x 2]≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2）恒成立知，此函数在[0，1]不是凹函数，由上分析知只
有f 1（x ），f 3（x ）符合题意． 故选：A ．
【点评】本题的考点是函数的图象，考查函数图象的变化规律，在本题中给出了一个新定义，对于新定义的题型，要认真研究其运算特征，充分理解其内涵再依据新规则做题．
10．过双曲线C ：
﹣
=1的右顶点做x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于
点A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）
A ．
﹣
=1 B ．
﹣
=1 C ．
﹣
=1 D ．
﹣
=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=
，求出A 的坐标，利
用右焦点F （4，0），|FA |=4，可求a ，b ，即可得出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，
令x=a ，则y=b ，即A （a ，b ）， ∵右焦点F （4，0），|FA |=4， ∴（a ﹣4）2+b 2=16， ∵a 2+b 2=16，
∴a=2，b=2
，
∴双曲线C 的方程为﹣
=1．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．已知三棱锥O ﹣ABC 中，A 、B 、C 三点在以O 为球心的球面上，若AB=BC=1，
∠ABC=120°，三棱锥O ﹣ABC 的体积为
，则球O 的表面积为（ ）
A．πB．16πC．64πD．544π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．
【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，AC=，
==，
∴S
△ABC
∵三棱锥O﹣ABC的体积为，△ABC的外接圆的圆心为G，∴OG⊥⊙G，
外接圆的半径为：GA==1，
∴OG=，
∴OG=，
球的半径为：=4．
球的表面积：4π42=64π．
故选：C．
【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀m∈R，∃n∈（0，+∞）使得f（m）=g（n）成立，则n﹣m的最大值为（）
A．﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】不妨设f（m）=g（n）=a，从而可得n﹣m的表达式，（a＞0）由导数
确定函数的单调性，再求最小值即可．
【解答】解：不妨设f（m）=g（n）=a，
∴e n﹣2=ln+=a，
∴n﹣2=lna，m=2•，
故n﹣m=lna﹣2•+2，（a＞0）
令h（a）=lna﹣2•+2，
h′（a）=﹣2•，
易知h′（a）在（0，+∞）上是减函数，
且h′（）=0，
故h（a）在a=处有最大值，
即n﹣m的最大值为ln2；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．
二.填空题（2016秋•涪陵区校级月考）如图，菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，
E，F分别为DC、BC的中点，则=．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】用表示出，再计算数量积．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1菱形，E，F分别为DC、BC的中点，
∴=，==﹣，=1×1×cos60°=，
∴=（）•（﹣）=﹣2﹣=﹣=．
故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
14．已知的展开式中项x4的系数为14．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】把（1+x）7按照二项式定理展开，可得的展开式中项x4的系数．
【解答】解：∵=（1﹣）•（1+•x+•x2+…+•x7），
∴的展开式中项x4的系数为﹣=35﹣21=14，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．已知M，N是圆A：x2+y2﹣2x=0与圆B：x2+y2+2x﹣4y=0的公共点，则△BMN
的面积为．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出圆B的标准方程，求出圆心B，和半径R，利用作差法求出公共弦MN的方程，利用点到直线的距离公式以及弦长公式结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：圆B：x2+y2+2x﹣4y=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5，即B
（﹣1，2），半径R=，
两个圆的方程相减得MN的方程为：4x﹣4y=0，即x﹣y=0，
则B到x﹣y=0的距离d==，则|MN|=2=2=2=2×
=，
则△BMN的面积S=|MN|d==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形面积公式的求解，根据圆与圆的公共弦方程以及利用点到直线的距离公式以及弦长公式是解决本题的关键．
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BC=3BD，若AB=1，AC=2，则AD•BD的最
大值为．
【考点】基本不等式．
【分析】设BD=a，则DC=2a，利用余弦定理可得：cosB=，可得AD=，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设BD=a，则DC=2a，∴cosB==，
∴AD==，
∴AD•BD=a•=≤•=，当且仅当a=
时取等号．
∴AD•BD的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2016秋•涪陵区校级月考）数列{a n}满足：a1=2，a2=3，a n
+2=3a n
+1
﹣2a n（n∈N*）．
（1）记d n=a n+1﹣a n，求证：数列{d n}是等比数列；
（2）若数列的前n项和为S n，证明．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用递推关系、“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵a n
+2=3a n
+1
﹣2a n，
∴，∴数列{d n}是等比数列，
∴d1=a2﹣a1=1，q=2，
∴d n=2n﹣1．
（2）∵d n=2n﹣1，d n=a n+1﹣a n，
∴，
∴，，…
∴累加得：，
∴．
∴=＜（n≥2），n=1时，S n=1成立；
∴当n≥2时，S n=++…+=+=﹣＜．
【点评】本题考查了递推关系、“累加求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•涪陵区校级月考）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出FO⊥AC，FO⊥BD，由此能证明FO⊥平面ABCD．
（2）连接FO、FD，推导出△DBF为等边三角形，从而FO⊥BD，再求出AC⊥FO，得到FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）∵FA=AC，∴FO⊥AC，
∵FD=FB，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD．
解：（2）连接FO、FD，
∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∴O为BD中点．∴FO⊥BD，
又∵O为AC中点，且FA=FC，
∴AC⊥FO，又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD，…（6分）
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
设AB=2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，OB=1，OA=OF=，
∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），F（0，
0，），…（8分）
∴=（，0，），=（，1，0），
设平面BFC的一个法向量为=（x，y，z），
则有，令x=1，则=（1，﹣，﹣1），…（10分）
∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为=（0，1，0）．
∵二面角A﹣FC﹣B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|===，
∴二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．
19．（12分）（2015秋•武汉校级期末）某市一高中经过层层上报，被国家教育
部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；
（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；
（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜ξ≤μ+ς）=0.6826，
P（μ﹣2ς＜ξ≤μ+2ς）=0.9544，P（μ﹣3ς＜ξ≤μ+3ς）=0.9974．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）由频率分布直方图求出该校特色足球队人员平均视力，由此能评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况．
（2）由频率分布直方图求出后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为及人数．
（3）由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，
该校特色足球队人员平均视力为 4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03
高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.01…4分
（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为0.2，人数为0.2 50=10，
即这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数为10人…6分
（3）∵P（5.01﹣3×0.08＜ξ≤5.01﹣3×0.08，即P（4.77＜ξ≤5.25）=0.9974，
∴P（ξ≥5.25）==0.013，0.0013×100000=130，…8分
∴全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上．这50人中视力在5.25以上的有0.1 50=5人，
这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人分为两部分：5人在5.25以上，5人在5.15∽5.25…9分
随机变量ξ可取0，1，2，
P（ξ=0）===，
P（ξ=1）===，
P（ξ=2）===．
∴Eξ=0×+1×+2×=1…12（分）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
20．（12分）（2016•北海一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=r2（r＞0）．若椭
圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心
率可得c值，根据平方关系可得b值；
（II）由点G在线段AB上，且|AG|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r 后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；
【解答】解：（I）设椭圆的焦距为2c，
由椭圆右顶点为圆M的圆心（，0），得a=，
又，所以c=1，b=1．
所以椭圆C的方程为：．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由直线l与椭圆C交于两点A，B，则，
所以（1+2k2）x2﹣2=0，则x1+x2=0，，
所以=，
点M（，0）到直线l的距离d=，
则|GH|=2，
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，
所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，
所以=4，
==2，
当k=0时，r=，
当k≠0时，＜2（1+）=3，
又显然＞2，所以，
综上，．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．
21．（12分）（2016秋•涪陵区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）（a ∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m，n，p满足|m﹣p|＜|n﹣p|恒成立，则称m比n更靠近p．在函数f
（x）有极值的前提下，当x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx，试求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导函数，分类讨论，利用导函数的符号判断函数的单调性；
（2）设g（x）=﹣lnx（x≥1），h（x）=e x﹣1+a﹣lnx（x≥1），分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，
若a≤0，则在区间（﹣∞，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
若a＞0，令f′（x）=0，即e x=a，解得x=lna，
因为函数f′（x）=e x﹣a在区间（﹣∞，+∞）是递增函数，
所以在区间（﹣∞，lna）内f′（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（lna，+∞）内f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），f（x）的单调递增区间为（lna，+∞）；
（2）由题意，a＞0，|﹣lnx|＜|e x﹣1+a﹣lnx|，
设g（x）=﹣lnx（x≥1），h（x）=e x﹣1+a﹣lnx（x≥1），
∵g（x）在[1，+∞）上为减函数，g（e）=0，
∴1≤x≤e，g（x）≥g（e）=0，x＞e，g（x）＜0．
∵h′（x）=e x﹣1﹣，∴h′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴x≥1，h（x）≥h（1）=a+1＞0．
①1≤x≤e，|﹣lnx|＜|e x﹣1+a﹣lnx|，可化为﹣lnx＜e x﹣1+a﹣lnx，即a＞﹣
e x﹣1，
设p（x）=﹣e x﹣1（1≤x≤e），p（x）单调递减，∴a＞p（1）=e﹣1；
②x＞e，|﹣lnx|＜|e x﹣1+a﹣lnx|，可化为﹣+lnx＜e x﹣1+a﹣lnx，即a＞﹣﹣
e x﹣1+2lnx
设q（x）=﹣﹣e x﹣1+2lnx（x＞e），q′（x）=﹣e x﹣1，∴q′（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴q′（x）＜q′（e）=＜0，∴q（x）在（e，+∞）上单调递减，
∵q（e）=1﹣e e﹣1，∴a≥1﹣e e﹣1
综上所述，a＞e﹣1．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，分类讨论的数学思想，考查分析问题解决问题的能力．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．（10分）（2016•贵阳二模）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．
【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
【解答】解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
∴62=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16，
∴AD=12
【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．
23．（2017•郴州三模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．
（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，
θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．
【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，
∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．
设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．
∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．
∴|PQ|=2．
【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．（2016春•重庆校级月考）已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．
（1）求实数a的最大值m；
（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．
【考点】二维形式的柯西不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．
（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立，
故2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立．
∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．
（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）•（12+22+32）=14•（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2 ≥=，即a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、二维形式的柯西不等式的应用，属于中档题．。