梁弯曲时的位移

弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2 (1)
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 (2) 2
通过两次积分得：
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
(3)
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1
x
C2
(4)
26
例题 5-2
2. 确定积分常数。 该梁的边界条件为： 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
q w Fxl Fx2 (5)
EI 2EI
挠曲线方程
w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
19
例题 5-1
转角方程
挠曲线方程
q w Fxl Fx2 (5)
EI 2EI
w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠
挠曲线近似微分方程为
(b)
EIw M x F l x (2)
通过两次积分得
EIw
F
lx
x2 2
C1
(3)
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1 x
C2
(4)
18
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得
C1 0，C2 0
把边界条件分别代入(4)式，得
C2 0
及
EIw
|xl
q 2
l4 6
l4 12
C1l
0
解得
C1
ql 3 24
，C2
0
27
例题 5-2
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
q w q l 3 6lx2 4x3 (5) 24EI
挠曲线方程
w qx l 3 2lx2 x3 (6) 24EI
12
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需 分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处 的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边 界条件。
例题 5-1
3. 由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行 积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有 其几何意义的：
C1 EIw |x0 EIq0
C2 EIw |x0 EIw0
此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，
C2=0。
22
例题 5-1
4. 因为 EIw M ( x)，是在x向右为正、y向下为正的
曲线的示意图(图c)。
(c)
20
例题 5-1
2. 求qmax和wmax
(c)
由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。
由(5)、(6)两式得
qmax
q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2
2EI
wmax
w
|xl
Fl 3 2EI
Fl 3 6EI
Fl 3 3EI
21
10
当全梁各横截面上的弯矩可 用一个弯矩方程表示时(例如图 中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw
M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1，C2 由边界条件确定后即可得出梁的 转角方程和挠曲线方程。
11
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下 图所示。 简支梁 悬臂梁
左段梁 (0 x a)
右段梁 (a x l)
q1 w1
q2 w2
Fb 2lEI
1 3
l2 b2
x2
(3)
Fb 2lEI
l b
x
a2
x2
1 3
l2
b2
(3)
w2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
(4)
Fb 6lEI
l b
x
a 3
x3
l2 b2
x
(4)
值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有 (x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可 在运用连续条件，即x=a时， w1 '=w2'及w1=w2，由(1)、(1') 和(2)、(2')式得C1=D1， C2=D2 。
33
例题 5-3
再利用支座位移条件， 即： 在x=0处 w1=0， 在 x=l 处 w2=0
3
5ql 4 384EI
29
例题 5-3
试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其
最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量
30
例题 5-3
解: 1.分段列弯矩方程
约束力为
FA
F
b， l
FB
Fa l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA
x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
条件下建立的，所以用积分法求位移时也必须用这样的 坐标系。
23
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方 程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
24
例题 5-2
试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最
大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。
25
例题 5-2
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。 支反力FA=FB=ql/2
挠曲线近似微分方程
EIw1
M1
x
F
b l
x
积分得
EIw2
M2
x
F
b l
x
F
x
a
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
(1) D1 (2)
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
b l
F
x
2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
C2 x D2 (2)
32
例题 5-3
3. 确定积分常数
43
悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
42
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时， 梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下， 当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处 的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加 原理(principle of superposition)。
1
w w2
3/2
Mx
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程
w M x
9
EI
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w M x
EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。
由两个连续条件得： C1 C2， D1 D2
由(2)式，得
D1 0 从而也有 D2 0
34
例题 5-3
将x=l，代入(2')式，得
EIw2
|xl
F
b l
l3 b
F
l
6
a 3
C2l
0
即 从而也有
C2
Fb 6l
l2
b2
C1
Fb 6l
l2 b2
35
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两段梁的转 角方程和挠曲线方程如下：
第5章 梁弯曲时的位移
1
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原
来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
qmax
qA
qB
Fl 2 16EI
wmax
wC
Fl 3 48EI
41
例题 5-3
当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定积分常数 简便，必须遵守以下规则： (1) 列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为分离体。 第II段的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能展开。 (2)对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均以(x-a)作 为积分变量。这样，在利用位移连续条件后，将4个积分常 数简化为2个，否则将用4个方程联立求解4个积分常数。
它发生在
x1
l 处0.5。7而7l 3
度wC为
处x (跨2l中点0C.5)0的0挠l
wC
w1
|xl
2
Fb 48EI
3l 2 4b2
Fbl 2 0.0625 Fbl 2
16EI
EI
40
例题 5-3
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨 中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中， 只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以用跨中挠度代替最 大挠度。
13
梁变形的连续条件：
14
优点：使用范围广，精确 缺点：计算繁琐
15
积分法求梁变形的基本步骤：
16
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其
最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。
17
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为
M x F l x (1)
x
F
x
a
a x l
为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x 截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程 M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。
31
例题 5-3
2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
28
例题 5-2
3. 求qmax和wmax 根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角qA及qB
的绝对值相等，且均为最大值。
将x=0及x=l代入(5)式，得
qmax
qA
qB
ql 3 24EI
最大挠度在跨中，将x=l/2代入(6)式，得
wmax
w
|xl
2
ql 2
24EI
l
3
2l
l 2
2
l 2
l2 b2 3
(7)
wmax
w1 |x x1 9
Fb 3lEI
l2 b2 3
39
例题 5-3
6. 求wmax的近似表达式
由(7) 式还可知，当集中荷载 F作用在右支座附近时，b值甚 小，以致 b2 和 l2 相比可略去不 计，则有
wmax
Fbl 2 9 3EI
0.0642 Fbl 2 EI
36
例题 5-3
5. 求qmax和wmax
左、右两支座处截面的转角分别为
qA
q1
|x0
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
qB
q2
|xl
Fabl
6lEI
a
当a>b时有
qmax
qB
Fabl a
6lEI
(5)
37
例题 5-3
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当a>b时，最大
x
1
x
Mx
EI
7
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
向的变化率，是有正负的。
8
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩
对应于负值的w" ，故从上列两式应有
挠度wmax可能发生在AD段的 w1 =0处， 令， w1 0 得
x1
l2 b2 3
aa 2b
3
(6)
a>b时，x1<a，可见w'发 生在AD段，即wmax发生 在AD段。
38
例题 5-3
将x1的表达式(6)代入左段梁 的挠曲线方程(4)得
wmax
w1 |x x1 9
Fb 3lEI
4
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q 为正，逆时针转向的转角q为负。
5
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
I. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下
中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
6
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力 FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。 但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此 时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
2
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w 不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相 同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度 (也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠 度和转角则明显不同。