从高考看三角函数
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①
．
．
ｂ＝２ ｃ ｓ ＋２ ｃ ｏＡ ．
式 求 三 角 函数 最 值 、 调 区 间 等 单
又 ｓｎ ｃ ｓ ＝３ ｏ Ａ ｉ Ｃ， ｉＡ ｏ Ｃ ｃ ｓ ｓｎ
‘ ． ．
例 ４ （ ０ ９年 陕 西 ）已 知 函 数 ｆ ）：Ａ ｉ （ ２０ （ ｓ ∞ ｎ
） ，
ｓｎ ｃ ｓ ＋ｃｏ ＡｓｎＣ ＝４ｃ ｓ ｉ ｉＡ ｏ Ｃ ｓ ｉ ｏ ＡｓｎＣ．
３ ｏＡｓｎ 求 ｂ ｃｓ ｉＣ， ．
一
・ ． ．
）区 ［詈号上 最 值 ｌ 小 为 在 间一 ，］的 大 为 ， 值 最
解 由余 弦定 理 ， ０ 得 一ｃ ＝ｂ ２ ｃｏＡ 一 ｂｃｓ．
又 ａ 一ｃ ＝２ ， ≠０， ｂｂ
‘
２’
四、 由三 角 函数 图像 和 性 质 反 过 来 求 解 析 式 。 由解 析 再
‘ ． ．
ｓｎ Ａ＋Ｃ）＝４ ｏＡｓｎ ｉ（ ｃ ｓ ｉ Ｃ，
∈（ 中 ＞，＞， 妒 詈） 图 与 的 点 Ｒ其 Ａ ０ ｏ ＜ ＜ 的 像 轴 交 ０
即 ｓｎ ＝４ ｉＣｃ ｓ ｉＢ ｓｎ ｏＡ，
Ｌ
中相 两 交 之 的 离 号，图 上 个 低 为 ，邻 个 点 间 距 为 且 像 一 最 点
号脚 一
２Ｅ
＝ ＝
２ ＝２ Ｅ
＿
．
盯
（ ） ６＋ｃ＝（ ｉ ＋Ｃ ， ｃ 一４ ｉ ） 得 ２ 由 ｓ Ｏ ４ｏ ｓ ，
－ ＝ ｌ ４ｃＩ （ ｉ卢＋ｃ ｓ ） ｓｒ 】 ｏｆ ＋（ ｃ 一４ ｉ卢） １ ４ｏ ｓｒ Ｉ
＝
￣１ ／ ７—１ ｎ ｆ≤４ ２ ５ ｉ２ ｓ ｌ √．
以 三 角 形 为 载 体 ， 正 余 弦定 理 的 综 合 运 用 与
群 （ ， ． （ ２ ｉ （Ｉ ） Ｏ Ｘ ２ ｌ ｘ ｏ ｘ＝ｓｎ ｘ， １ ‘ ， ） ‘ ｓｎ ＂ Ｔ— ｅ Ｓ ｓｎ ｃ ｓ ｉ２
‘ ． ．
函 数 ＿ 的 最 小 正 周 期 为 盯 厂 （ ） ．
詈故（ ＿ｉ２ 詈・ ，，）２ ＋ ） ｓ ｎ
（ ’ ［ 号 ．＋ 詈 ． ｚ ，卜 ２ 詈 ［ ，］
当 詈＝ 即 ＝ 时厂 ）得 大 ２ ２ ＋ 号， 詈 ， 取 最 值 ； （
例 ３ （ ０ ９ 年 北 京 ）已 知 函 数 ＿ ）＝２ ｉ 一 ２０ 厂 （ ｓ ｎ（
＝
（ ） ｔ ｏａ ＝１ ， 证 ： ／ｂ ３ 若 ａ ｔ ｎｔ ６求 ａ／ ．
解 （ ） ａ与 西一 ｃ垂 直 ， １由 ２
ａ・（ ｂ一２ ）＝ａ・ ｃ 西一２ ・ ａ ｃ＝０， 即 ４ ｉ（ ＋卢）一８ ｏ （ ＋卢）＝０，ａ ＋卢）＝２ ｓｎ ｃｓ ｔｎ（ ．
＿ ． ．
（ ） ａ与 ｂ一２ １若 ｃ垂 直 ， ｔｎ ＋口） 求 ａ（ 的值 ； （ 求 Ｉ － 的 最 大 值 ； ２） ｂ４ｃｌ
（当 ［ 专］ ，）值 ． ２ 吾 ， （的 域 ） 求 解 （由低 为 （ 一，４ ． １ 最 点 Ｍ ２得 ＝ ） ，） ２
由轴 相 的 个 点 间 距 为 得 上 邻 两 交 之 的 离 詈，
Ｃ
由正 弦 定 理 ， ｓｎ ｓｎ 得 ｉＢ＝ ｉＣ．
故 ｂ ｃｓ． ＝４ｏＡ 由① ② ， 得 ｂ ． 解 ＝３
②
（ 一． ，） ｚ
（ ） － ） １ 求 厂 的解 析 式 ； （
二、 以平 面 向量 为背 景 。 量 的 坐 标 以 三 角 函 数 的 形 式 给 向 出 。 合 平面 向量 的坐 标 运算 进行 三 角 函数 的化 简与 求值 结 例 ２ （ ０ ９ 年 江 苏 ） 向 量 ａ＝ （ ｃ ｓ ｓ ｔ） ６＝ ２０ 设 ４ ｏａ， ｉ ￣ ， ｎ （ ｉ ， ｃ ） ｃ＝（ Ｏ ， ４ ｉ ． ｓ ４ ｏ ， ｌ Ｃ 一 ｓ 卢） ｎ
（ 由 詈≤≤ ｊ一 ２ ２ 一 号 詈≤ ， ） ≤
・
一
．
．
一
、
例 １ （ ０ ９年 全 国 Ｉ） ＡＡ Ｃ 中 ， 角 Ａ， Ｃ 的 对 ２０ 在 Ｂ 内 Ｂ，
边长 分 别 为 ａ ｂ ｃ ， ， ，已 知 ａ 一 ｃ ＝ ２ ， ｂ 且 ｓ Ａ ｏＣ ＝ ｉ ｃｓ ｎ
又
．
当 口＝ 一 ５ 时 ， 号 成 立 ， ４。 等
‘ ．
－ 的 Ｉ ４ Ｉ 最大值 为 ４ ． ｃ
由 肘 一在 像 ， ｓ２ ＝ｚ 点 （ ２ 图 上 ｎ × ）一 ，） 得 ｉ ＋ ， （ ｉ ＝ ｎ ） （ 竽＋ 故 ２ － ， ， ＝ ． 竽＋＝ｗ詈 ｚ． ２ 一 ｋ ． ｋ ・ 又 （号， ０） ，
●
解 题 技 巧 与 方 法
＊ 婚 ●
． ．
．Ｉ －， ．
●
从 高苟 看 三 龟函数
◎吴 高屏 （ 州 省 平 坝 县 第 一 中 学ห้องสมุดไป่ตู้贵 ５ １０ ） ６ １０
＿ 函数 是 高 考 的一 个 重 点 ， 是 一 个 热 点 ． 这 几 年 一角 也 从
的 高 考 试 题 来 看 ， 了 以 大 题 的形 式 出 现 以 外 ， 有 选 择 题 除 还 和填 空 题 ， 整 套 试 卷 中 ， 占 的 分 值 比 较 大． 角 函 数 所 在 所 三 涉及 的公 式 及 内容 很 多 ， 从 这 几 年 的 高 考 试 题 来 看 ， 多 但 大 以下 列几 种 形 式 命 题 居 多 ．
） Ｏ Ｘ． ＣＳ
（） １ 求
）的最 小 正 周 期 ；
当 詈＝ｆ 詈 ， ）得 小 一 ２ ， ＝ 时 取 最 值 １ ＋ ７即 ， ．
（求（在 １ 一 ，］的 大 和 小 ． ２ ，）区 ［， 上 最 值 最 值 ） ￣ 詈 ４ Ｉ Ｔ
数 学 学 习与 研 究 ２ １ １ ００ １
・ ・ ・
（ ） ｔ ｃ ａ ｆ ＝１ ， ｓ ｃ ｉ ＝１ ｃｓ ｃ ｓ ３ 由 ａ ｔｎ ｎ ｔ ｌ ６ 得 ｉ ｔ ｎｓ ６ ｏａ ｏ￣，
即 ４ ｏａ ・ ｃｓ ｃｓ ４ ｏ卢一ｓ ａ ｉ ＝ ． 口 ． ｉ ｓ ｎ ０，． ∥ｂ ‘
三 、 接 利 用 公 式 进 行 三 角 函 数 的 化 简 来 求 三 角 函 数 直 的 最 小 正 周 期 、 大 值 与 最 小 值 最
．
．
ｂ＝２ ｃ ｓ ＋２ ｃ ｏＡ ．
式 求 三 角 函数 最 值 、 调 区 间 等 单
又 ｓｎ ｃ ｓ ＝３ ｏ Ａ ｉ Ｃ， ｉＡ ｏ Ｃ ｃ ｓ ｓｎ
‘ ． ．
例 ４ （ ０ ９年 陕 西 ）已 知 函 数 ｆ ）：Ａ ｉ （ ２０ （ ｓ ∞ ｎ
） ，
ｓｎ ｃ ｓ ＋ｃｏ ＡｓｎＣ ＝４ｃ ｓ ｉ ｉＡ ｏ Ｃ ｓ ｉ ｏ ＡｓｎＣ．
３ ｏＡｓｎ 求 ｂ ｃｓ ｉＣ， ．
一
・ ． ．
）区 ［詈号上 最 值 ｌ 小 为 在 间一 ，］的 大 为 ， 值 最
解 由余 弦定 理 ， ０ 得 一ｃ ＝ｂ ２ ｃｏＡ 一 ｂｃｓ．
又 ａ 一ｃ ＝２ ， ≠０， ｂｂ
‘
２’
四、 由三 角 函数 图像 和 性 质 反 过 来 求 解 析 式 。 由解 析 再
‘ ． ．
ｓｎ Ａ＋Ｃ）＝４ ｏＡｓｎ ｉ（ ｃ ｓ ｉ Ｃ，
∈（ 中 ＞，＞， 妒 詈） 图 与 的 点 Ｒ其 Ａ ０ ｏ ＜ ＜ 的 像 轴 交 ０
即 ｓｎ ＝４ ｉＣｃ ｓ ｉＢ ｓｎ ｏＡ，
Ｌ
中相 两 交 之 的 离 号，图 上 个 低 为 ，邻 个 点 间 距 为 且 像 一 最 点
号脚 一
２Ｅ
＝ ＝
２ ＝２ Ｅ
＿
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盯
（ ） ６＋ｃ＝（ ｉ ＋Ｃ ， ｃ 一４ ｉ ） 得 ２ 由 ｓ Ｏ ４ｏ ｓ ，
－ ＝ ｌ ４ｃＩ （ ｉ卢＋ｃ ｓ ） ｓｒ 】 ｏｆ ＋（ ｃ 一４ ｉ卢） １ ４ｏ ｓｒ Ｉ
＝
￣１ ／ ７—１ ｎ ｆ≤４ ２ ５ ｉ２ ｓ ｌ √．
以 三 角 形 为 载 体 ， 正 余 弦定 理 的 综 合 运 用 与
群 （ ， ． （ ２ ｉ （Ｉ ） Ｏ Ｘ ２ ｌ ｘ ｏ ｘ＝ｓｎ ｘ， １ ‘ ， ） ‘ ｓｎ ＂ Ｔ— ｅ Ｓ ｓｎ ｃ ｓ ｉ２
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函 数 ＿ 的 最 小 正 周 期 为 盯 厂 （ ） ．
詈故（ ＿ｉ２ 詈・ ，，）２ ＋ ） ｓ ｎ
（ ’ ［ 号 ．＋ 詈 ． ｚ ，卜 ２ 詈 ［ ，］
当 詈＝ 即 ＝ 时厂 ）得 大 ２ ２ ＋ 号， 詈 ， 取 最 值 ； （
例 ３ （ ０ ９ 年 北 京 ）已 知 函 数 ＿ ）＝２ ｉ 一 ２０ 厂 （ ｓ ｎ（
＝
（ ） ｔ ｏａ ＝１ ， 证 ： ／ｂ ３ 若 ａ ｔ ｎｔ ６求 ａ／ ．
解 （ ） ａ与 西一 ｃ垂 直 ， １由 ２
ａ・（ ｂ一２ ）＝ａ・ ｃ 西一２ ・ ａ ｃ＝０， 即 ４ ｉ（ ＋卢）一８ ｏ （ ＋卢）＝０，ａ ＋卢）＝２ ｓｎ ｃｓ ｔｎ（ ．
＿ ． ．
（ ） ａ与 ｂ一２ １若 ｃ垂 直 ， ｔｎ ＋口） 求 ａ（ 的值 ； （ 求 Ｉ － 的 最 大 值 ； ２） ｂ４ｃｌ
（当 ［ 专］ ，）值 ． ２ 吾 ， （的 域 ） 求 解 （由低 为 （ 一，４ ． １ 最 点 Ｍ ２得 ＝ ） ，） ２
由轴 相 的 个 点 间 距 为 得 上 邻 两 交 之 的 离 詈，
Ｃ
由正 弦 定 理 ， ｓｎ ｓｎ 得 ｉＢ＝ ｉＣ．
故 ｂ ｃｓ． ＝４ｏＡ 由① ② ， 得 ｂ ． 解 ＝３
②
（ 一． ，） ｚ
（ ） － ） １ 求 厂 的解 析 式 ； （
二、 以平 面 向量 为背 景 。 量 的 坐 标 以 三 角 函 数 的 形 式 给 向 出 。 合 平面 向量 的坐 标 运算 进行 三 角 函数 的化 简与 求值 结 例 ２ （ ０ ９ 年 江 苏 ） 向 量 ａ＝ （ ｃ ｓ ｓ ｔ） ６＝ ２０ 设 ４ ｏａ， ｉ ￣ ， ｎ （ ｉ ， ｃ ） ｃ＝（ Ｏ ， ４ ｉ ． ｓ ４ ｏ ， ｌ Ｃ 一 ｓ 卢） ｎ
（ 由 詈≤≤ ｊ一 ２ ２ 一 号 詈≤ ， ） ≤
・
一
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一
、
例 １ （ ０ ９年 全 国 Ｉ） ＡＡ Ｃ 中 ， 角 Ａ， Ｃ 的 对 ２０ 在 Ｂ 内 Ｂ，
边长 分 别 为 ａ ｂ ｃ ， ， ，已 知 ａ 一 ｃ ＝ ２ ， ｂ 且 ｓ Ａ ｏＣ ＝ ｉ ｃｓ ｎ
又
．
当 口＝ 一 ５ 时 ， 号 成 立 ， ４。 等
‘ ．
－ 的 Ｉ ４ Ｉ 最大值 为 ４ ． ｃ
由 肘 一在 像 ， ｓ２ ＝ｚ 点 （ ２ 图 上 ｎ × ）一 ，） 得 ｉ ＋ ， （ ｉ ＝ ｎ ） （ 竽＋ 故 ２ － ， ， ＝ ． 竽＋＝ｗ詈 ｚ． ２ 一 ｋ ． ｋ ・ 又 （号， ０） ，
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解 题 技 巧 与 方 法
＊ 婚 ●
． ．
．Ｉ －， ．
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从 高苟 看 三 龟函数
◎吴 高屏 （ 州 省 平 坝 县 第 一 中 学ห้องสมุดไป่ตู้贵 ５ １０ ） ６ １０
＿ 函数 是 高 考 的一 个 重 点 ， 是 一 个 热 点 ． 这 几 年 一角 也 从
的 高 考 试 题 来 看 ， 了 以 大 题 的形 式 出 现 以 外 ， 有 选 择 题 除 还 和填 空 题 ， 整 套 试 卷 中 ， 占 的 分 值 比 较 大． 角 函 数 所 在 所 三 涉及 的公 式 及 内容 很 多 ， 从 这 几 年 的 高 考 试 题 来 看 ， 多 但 大 以下 列几 种 形 式 命 题 居 多 ．
） Ｏ Ｘ． ＣＳ
（） １ 求
）的最 小 正 周 期 ；
当 詈＝ｆ 詈 ， ）得 小 一 ２ ， ＝ 时 取 最 值 １ ＋ ７即 ， ．
（求（在 １ 一 ，］的 大 和 小 ． ２ ，）区 ［， 上 最 值 最 值 ） ￣ 詈 ４ Ｉ Ｔ
数 学 学 习与 研 究 ２ １ １ ００ １
・ ・ ・
（ ） ｔ ｃ ａ ｆ ＝１ ， ｓ ｃ ｉ ＝１ ｃｓ ｃ ｓ ３ 由 ａ ｔｎ ｎ ｔ ｌ ６ 得 ｉ ｔ ｎｓ ６ ｏａ ｏ￣，
即 ４ ｏａ ・ ｃｓ ｃｓ ４ ｏ卢一ｓ ａ ｉ ＝ ． 口 ． ｉ ｓ ｎ ０，． ∥ｂ ‘
三 、 接 利 用 公 式 进 行 三 角 函 数 的 化 简 来 求 三 角 函 数 直 的 最 小 正 周 期 、 大 值 与 最 小 值 最