浙江人教A版数学高二选修2-2学案第二章推理与证明2.1.2

2.1.2反证法
学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识点反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？
答案运用了反证法思想．
思考2反证法解题的实质是什么？
答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
类型一用反证法证明否定性命题
例1设{a n}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．
证明假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，
∴a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，
即a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，
∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．
反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法． (2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练1 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．
证明 假设a ，b ，c 成等差数列， 则2b ＝a ＋c ， ∴4b ＝a ＋c ＋2ac .
① ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，
②
由②得b ＝ac ，代入①式， 得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .
这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列． 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. 证明 假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1. 因为a ，b ，c ∈(0,2)， 所以2－a >0,2－b >0,2－c >0. 所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1.
同理，(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1，
(2－c )＋a
2≥(2－c )a >1. 三式相加，得
(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a
2>3， 即3>3，矛盾．
所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.
引申探究
已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1
4.
证明 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于1
4.
∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴1－a,1－b,1－c 都是正数． ∴
(1－a )＋b
2
≥(1－a )b >14＝12
. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12
.
三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>3
2，
即32>3
2
，显然不成立． ∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1
4
.
反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
跟踪训练2 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点． 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ， 得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0， 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和，得
4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， 所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c .
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
类型三用反证法证明唯一性命题
例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．
证明∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题得证．
反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
跟踪训练3若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案B
2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中() A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
答案B
3．“a<b”的反面应是()
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
答案D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
答案D
5．用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－
3
2或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．
证明假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得
⎩⎪
⎨
⎪⎧
Δ1＝(4a)2＋4(4a－3)<0，
Δ2＝(a－1)2－4a2<0，
Δ3＝(2a)2－4×(－2a)<0，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧－
3
2<a<
1
2，
a>
1
3或a<－1，
－2<a<0，
解得－
3
2<a<－1，
与a≤－
3
2或a≥－1矛盾，故原命题成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
课时作业
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为()
A．①②B．①③
C．①③④D．①②③④
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
答案D
解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案B
解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．
4．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案B
解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是()
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
解析 对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D. 6．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a ( )
A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2 答案 C
解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1
a <2，
则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1
a )<6.
又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a
)
＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1
c
)≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2. 二、填空题
7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是
________________________________________________________________________. 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
8．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设_______________． 答案 x ＝a 或x ＝b
9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 答案 ③
10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷． 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________． 答案 甲
解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．
假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的， 乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立． ∴可以判断偷珠宝的人是甲．
11．若下列两个方程x 2＋(a －2)x ＋a 2＝0，x 2＋ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－8]∪[－2，＋∞) 解析 若两方程均无实根，
则Δ1＝(a －2)2－4a 2＝(3a －2)(－a －2)<0， ∴a <－2或a >2
3
.
Δ2＝a 2＋8a ＝a (a ＋8)<0， ∴－8<a <0，故－8<a <－2.
若两个方程至少有一个方程有实根， 则a ≤－8或a ≥－2. 三、解答题
12．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π
6.求证a ，b ，c 中至
少有一个是大于0的．
证明 假设a ，b ，c 都不大于0， 则a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0，
而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π
6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －
1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3， ∴a ＋b ＋c >0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， ∴假设不成立，
故a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．
13．已知f (x )＝a x ＋x －2
x ＋1(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根．
证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2
x 0＋1，
∴0
01x a
<<，∴0<－
x 0－2
x 0＋1
<1， 解得1
2<x 0<2，这与x 0<0矛盾，
故方程f (x )＝0没有负数根．
四、探究与拓展
14．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________．(填序号) 答案 ③①②
15．对于直线l ：y ＝kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
ka ＝－1， ①y 1
＋y 2
＝k (x 1
＋x 2
)＋2， ②y 1
＋y 2
2＝a x 1
＋x 2
2， ③
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1⇒(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤
由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2
，
代入⑤整理得ak ＝3，与①矛盾．
故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．。