2017高考数学(全国通用)冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服--第九章概率与统计含解析

第九章概率与统计
问题一:复杂的排列组合问题
一．“相邻”与“不相邻”问题
【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数:
（1)甲不在排头、乙不在排尾；
(2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
【牛刀小试】【2015-2016学年辽宁省沈阳二十一中月考】某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为( ）
A．1860 B．1320 C．1140 D．1020
二．涂色问题
【例2】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A．232 B．256 C．472
D．484
【牛刀小试】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用）,要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________。

三．分配问题
【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成每组都是2本的三组；
(2）分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【牛刀小试】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ）
A．24种B．36种C．38种D．108种
四．排数问题
【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息，不提排列表示不同信息。

若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（）
A。

9 B。

10 C。

11
D。

12
【牛刀小试】【2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
A．144个B．120个C．96个D．72个
五．摸球问题
【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它
们赋以编号l，2，…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.
【牛刀小试】【2014-2015学年山东省济南一中期末】四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答)．
六．“至多”、“至少”问题
【例6】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
（1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？
【牛刀小试】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（)
A．144种B．150种C．196种D．256
种
七．信息迁移题
【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个:11,22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111,121，…，191,202,…，999。

(＊)
则：（1）4位回文数有________个;
（2）2n＋1(n∈N*）位回文数有________个．
【牛刀小试】【2014—2015学年上海市金山中学高二下学期期末】将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P（n，k），则P（10，3）的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6
【迁移运用】
1．【2015-2016学年河北省衡水二中上期中】用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( ）
（A）12 （B）24 (C)30 （D）36 2．八人分乘三辆小车,每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（)
A．770种B．1260种C．4620种D．2940种
3．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考】将甲、乙等5名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）
A．18种B．24种C．36种
D．72种
4．【2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考】某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）
A．24种B．18种C．48种D．36种
5。

【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园。

为安全起见，首尾一定要排两位爸爸,另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）
A．12种B．24种C．36种D．48种6.已知集合A＝{5｝，B＝｛1，2}，C＝{1，3，4｝，从这三个集合中
各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的
个数为( )
A．33 B．34 C．35
D．36
7。

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（)
A。

240种 B.300种 C.360种
D。

420种
8.若数列{a n}满足规律：a1>a2<a3〉…<a2n－1>a2n<…，则称数列{a n}为余弦数列，现将1,2,3，4，5排列成一个余弦数列的排法种数为（）A．12 B．14 C．16
D．18
9。

如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道），那么从A到B的最短线路有（）条．
A．100 B．400 C．200
D．250
10．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有________种
11如图所示,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有种.
12。

【河南省师范大学附属中学2015届高三12月月考理科数学】某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有.
问题一：与几何概型相结合的问题
一．与函数,方程，不等式相结合的几何概型
【例1】已知,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数
23
1)(222
++-=
x b ax x x f 在R x ∈上是增函数的概率是 ．
【小试牛刀】【2016届甘肃省兰州一中高三12月月考】不等式组
22
04
x y -≤≤⎧⎨
≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组2
20
x y y x -+≥⎧⎨
≥⎩
表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为（ ） A ．
7
32
B ．
932
C ．916
D ．716
二．与解析几何相结合的几何概型
【例2】已知直线1
()4
y k x =+与曲线y 记k 的所有可能取值构成集合A ；(),P x y ，是椭圆
2
21169
y x +=上一动点，1
1
1
(,)P x y 与点
P 关于直线
y ＝x ＋1对称,记1
14y -的所有可能取值构成集合B ，若随机
的从集合A ，B 中分别抽出一个元素1
2
,λλ，则1
2
λλ>的概率是___________
【小试牛刀】【2016届云南师范大学附属中学高三月考】已知圆C ：
22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆
C 上任意一点P 到直线l 的距离
小于2的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．1
4
三．与向量，三角相结合的几何概型
【例3】已知三点()()()312,1,1,2,,,,025
5A B C P a b OP OA ⎛⎫--≤⋅≤ ⎪⎝⎭
动点满足，且
02OP OB ≤⋅≤，则动点
P 到点C 的距离小于15
的概率为（ ）
A.20
π B. 120
π- C.
1920
π D 。

19120
π-
【小试牛刀】【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知P 是
ABC ∆所在平面内一点且02=++PA PC PB ，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，
则
黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ）
A ．4
1 B ．3
1 C ．3
2 D ．2
1
【迁移运用】
1.【2016届重庆市一中高三12月月考】在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ）
A ．34
B ．14
C ．12
D ．23
2．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】记集合
(){}2
2,16
x y x
y A =
+≤，集合()(){},40,,x y x y x y B =+-≤∈A 表示的平面区域分别为
1Ω，2Ω．若在区域1Ω内任取一点(),x y P ，则点P 落在区域2Ω中的概率为
（ ）
A ．24ππ
- B ．324ππ
+ C ．24ππ
+ D ．32
4ππ
-3．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知函数
2()2f x x x m =-+，在区间[2,4]-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发
生的概率为23
，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3-
4．【2016届辽宁省抚顺市一中高三上学期第一次模拟】在区间[]1,1-内随机取两个实数x ,y ，则满足12
-≥x y 的概率是（
)
A ．
9
2
B ．
9
7 C ．6
1 D ．6
5
5．【2016届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟】如图，设区域
{}
()|0101D x y x y =，，≤≤≤≤，向区域内随机投一点,且投入到区域内任一点都是
等可能的，则点落到阴影区域{}3
()|010≤≤≤≤M x y x y x =，，内的概率是( )
(A ）14 （B ）1
3
(C)25 (D)27
6．【2016届云南师范大学附属中学高考适应性月考】定义min ｛a ，b ｝=
，在区域
任意取一点P （x ，y ），则x ，y 满足min ｜
x+y+4，x 2+x+2y ｜= x 2+x+2y 的概率为( ）
A 、49
B 、59
C 、13
D 、2
3
7.
设点（,a b ）是区域40
0x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩
内的随机点,函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,+∞)上是增函数的概率为 （ ）
A ．14
B ．23
C ．13
D ．12
8。

在区间[]2,3-上任取一个数a ,则函数()2
22f x x ax a =-++有零点的概率
为（ )
A 。

13
B 。

1
2
C. 35
D. 2
5
9。

已知实数[1,10]x ∈,执行右图所示的程序框图，则输出x 的值不小于55的概率为
（A ）19 （B ）29 （C ）49 （D)5
9
10.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，
''()()()()f x g x f x g x <,()()x f x a g x =，
(1)(1)5
(1)(1)2
f f
g g -+=-,则关于x 的方程2
5202
abx
x +
=（(0,1)b ∈)有两个不同实根的概率为 .
11.设不等式组22100x y y ⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M ,不等式组2
01t x t y t
-≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩，
示的平面区域为N 。

在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是_________.
问题二：交汇创新-离散型随机变量的交汇题（理）
一、与古典概型交汇
【例1】某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会,规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球,1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1)求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
(2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布律和数学期望．
【牛刀小试】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）
01235567889
135567
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ)检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条,求3条中恰有1条汞含量超标的概率；
中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼
．．．．．．．．
超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计
这批数量很大的鱼
．．．
的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
二、与独立事件交汇
【例2】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列;（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的2000元的概率．
利润不少于
．．．
【牛刀小试】某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜，且各局比赛胜负互不影响。

的概率皆为2
3
（Ⅰ）求比赛进行4局结束,且乙比甲多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
三、与频率分布直方图的交汇
【例3】【2015届甘肃省天水市一中高三第五次高考】(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组［20，25）、第2组[25，30)、第3组[30，35）、第4组［35，40）、第5组［40,45］，得到的频率分布直方图如图所示:
(1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（2)在（1）的条件下,该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．
【牛刀小试】某校高三（1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如下所示：
试根据图表中的信息解答下列问题:
(1）求全班的学生人数及分数在［70，80）之间的频数；
(2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于［70，80)，[80,90）和[90，100］分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流,求交流的学生中,成绩位于［70,80）分数段的人数X的分布列和数学期望。

四、与函数、不等式的交汇
【例4】（2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入［100，110）的频率）．求T的数学期望．
【牛刀小试】(2015·长春市第二次调研）据IEC(国际电工委员会）调查显示,小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：
假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目的资金为y （y≥0）万元，调研结果是:未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20％的可能性为0.4;位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0。

1，不赔不赚的可能性是0.3.
(1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E（ξ）,E（η)；
（2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z＝E（ξ）＋E（η）的最大
值．
五、与向量、程序框图交汇
【例5】（2013·高考江西卷）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2）求X的分布列和数学期望．
【牛刀小试】【2015·河南郑州市预测】每年的三月十二日,是中国的植树节．林管部门为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米):
甲：137，121,131，120，129，119，132,123，125,133；
乙:110，130，147,127，146，114,126，110,144，146。

(1）根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你画出的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论;
(2）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框图进行运算（如图），问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义;
（3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗"的株数X的分布列．
六、与立体几何的交汇
【例6】设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时,ξ＝0；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时，ξ＝1.
(1）求概率P(ξ＝0)；
（2)求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ)。

【牛刀小试】【2013湖北高考】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X）＝( ）
A。

126
125
B.错误!C。

错误!D.错误!
【迁移运用】
1.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E(X）＞1.75，则p的取值范围是（）
A．(0，错误!）B．(错误!，1）
C．（0，错误!) D．(错误!，1）
2.随机变量X的分布列为
若E（X）＝1，则当a2＋b2＋2取最小值时,方差D(X）＝________．3。

【2015届江西省临川一中高三5月模拟】一个盒子中装有大量
形
．．状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本,称
出它们的重量(单位:克）,重量分组区间为[]
35,45，由此得
5,15,(]
25,35,(]
15,25,(]
到样本的重量频率分布直方图（如下图）,
(1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]
5,15内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望. （以直方图中的频率作为概率)。

4.【2015·安徽省“江南十校”联考】某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n>8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于错误!，求n的最大值；
(2）当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X 的分布列．
5.【2015石家庄市第一次模拟】现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》,若甲应聘成功的概率为错误!,乙、丙应聘成功的概率均为错误!（0＜t＜2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的．(1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；
（2）记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ为2时概率最大,求E（ξ）的取值范围．
6．【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5．0以下的人数；
(2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据,根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：
2
2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
7．【2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】株洲市某中学
利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动,有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，)35,30[，)40,35[，40
[，)50,45[, )55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[ 45
,
)
之间的参加者有8人．
（1）求N和)35,30[之间的参加者人数
N；
1
（2)已知)35,30[和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?
（3）组织者从[)
45,55之间的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE．
8.【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面,记底面上
所得的数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,设ξ为随机变量，x y ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
． (Ⅰ）求概率(1)P ξ=;
（Ⅱ)求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
9.【2016届宁夏吴忠中学高三上学期第四次月考】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1)求该校报考飞行员的总人数；
(2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数,求X 的分布列和数学期望．
10。

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A,若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元,在（Ⅰ)的前提下；
(i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率;
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望．
11。

某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。

若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为
1的等
8
差数列，他第一次测试合格的概率不超过
1，且他直到第二次测试才
2
合格的概率为
9.
32
（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；
(2)求小李10月份参加测试的次数的分布列和数学期望。

12. 某电视台组织部分记者,用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ)若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”。

求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福"的概率;（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区（人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福"的人数,求ξ的分布列及数学期望．。