2019年广西壮族自治区南宁市马山县马山中学高三数学理联考试题含解析

2019年广西壮族自治区南宁市马山县马山中学高三数
学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）
A．1 B．C．D．2
参考答案：
A
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．
【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；
三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积为：；
故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，
故选：A．
2. 若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是( )
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
3. 为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（）
A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
参考答案：
A
因为为了得到函数的图象，可将函数的图象
上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到，选A
4. 在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=
（）
A．B．C．D．1
参考答案：
B
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由于本题是选择题，不妨设△ABC为等边三角形，由题意可得F是△ABC的重
心，即可得到==﹣+，继而求出λ，μ的值，问题得以解决．
【解答】解：不妨设△ABC为等边三角形，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，∴F是△ABC的重心，
∴==（+）=（+﹣）=﹣+，
∵，
∴λ=﹣，μ=，
∴λ+μ=，
故选：B．
【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的加法法则的合理运用
5. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有
，且当时，，则的值为（）
A． -1 B． -
2 C． 2 D． 1
参考答案：
B
6. 已知集合，若，那么实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
7. 函数f(x)=cosx（﹣π≤x≤π，且x≠0）的图象可能是（）
A． B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的变化趋势．
【解答】解：∵f（﹣x）=cos（﹣x）=﹣cosx=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排C，D，
当x→0+时，f（x）→﹣∞，
（或者当x=时，f（）=×＜0）
故选：A
【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于基础题．
8. 若＜＜0，则下列结论不正确的是（）
A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|
参考答案：
D
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得a和b为负数且a＞b，由不等式的性质逐个选项验证可得．
【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，
∴a2＜b2，故A正确；
再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；
由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；
再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．
故选：D．
9. 已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
参考答案：
B
【考点】复合命题的真假．
【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．
【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：?x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．
令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，
即命题q：?x∈R，x3=1﹣x2为真命题．
则￢p∧q为真命题．
故选B．
【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．
10. 已知{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A．[﹣2，+∞） B．（﹣3，
+∞） C．R D．
参考答案：
B
试题分析：{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，可得a n+1＞a n，解出即可．
试题解析：解：∵{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，
∴a n+1＞a n，
∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，
化为λ＞﹣（2n+1），
∴λ＞﹣3.
则实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．
故选：B．
考点：数列的函数特性．
点评：本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{a n}满足，则．
参考答案：
1
12. 曲线，所围成的封闭图形的面积为__________.
参考答案：
略
13. 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当时，f（x）
=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小
到大依次为x1，x2，…，x n…x2n，若，则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n= ．
参考答案：
3×（2n﹣1）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，
则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足
x1+x2=2×=3，
依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：f（x）=，此时f（x）∈[0，]，
∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）
∈[0，2]，…以此类推，
则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足
x1+x2=2×=3，
依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如图所示：
则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=3×（2n﹣1）．
故答案为：3×（2n﹣1）．
14. 若集合，，则
________：
参考答案：
[-1,1]
15. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为.
参考答案：
16. （选修4—5 不等式选讲）已知都是正数，且，则的最小值为.
参考答案：
6+
略
17. 已知的夹角为锐角，则的取值范围是________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在几何体中，点在平面ABC
内的正投影分别为A，B，C，且，
,E为中点，
(I)求证；CE∥平面，
(Ⅱ)求证：求二面角的大小．
参考答案：
略
19. (13分) 甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0．5，0．6，0．4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0．6，0．5，0．75．
（I）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；
（Ⅱ）求甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格的概率
参考答案：
（I）分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件
记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B。

则
=
=……6分
（Ⅱ）甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格概率均为……9分
记甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格为事件C。

则P(C)=……13分
20. （本小题满分12分）
如图，在梯形中，，，，四边形为梯形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
参考答案：
【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】(1)在梯形中，
∵∥，
∴∴
∴∴∵平面平面
平面平面，
∴
∴又∴
(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，
如图所示的空间直角坐标系，令(≤≤),则
∴
设为平面的一个法向量，
由得
取则
∵是平面的一个法向量,
∴
∵≤≤,∴当=时，有最大值．
∴的最小值为
21. 在△ABC中， =m（0＜m＜1），AC=3，AD=，C=．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若cosB=，求AB的长度以及∠BAC的正弦值．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=×丨AC丨×丨CD 丨，即可求得△ACD的面积；
（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角
三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．
【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理可知：
cosC===，
整理得：丨CD丨2﹣3丨CD丨+2=0，解得：丨CD丨=1或丨CD丨=2，
当丨CD丨=1时，△ACD的面积S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×1×=，
当丨CD丨=2时，△ACD的面积S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×2×=，
∴△ACD的面积或；
（Ⅱ）由C=，则sinC=，cosC=，
cosB=，sinB==
由正弦定理可知： =，
则丨AB丨==6，
sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，
∠BAC的正弦值．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．
22. 本小题满分13分）
已知椭圆的离心率，过焦点垂直于长袖的直线被椭圆截得的线段长为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l与椭圆C交于P、Q两点，若·=0（0为坐标原
点），试求直线l在y轴上截距的取值范围。

参考答案：
略。