高中数学 1.3.2 等比数列的前n项和(二)课时作业 北师

3.2 等比数列的前n项和(二)
课时目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝__________＝__________；当q ＝1时，S n ＝_______.
2．等比数列前n 项和的性质：
(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成______数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)
(2)S m ＋n ＝S m ＋q m
S n (q 为数列{a n }的公比)． (3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则
S 偶
S 奇
＝______. 3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n 等于( )
A ．(2n －1)2 B.12(2n －1)2
C ．4n
－1 D.13(4n －1)
2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1
，…的前n 项和为( )
A ．2n －1
B ．n ·2n
－n
C ．2n ＋1－n
D ．2n ＋1
－n －2
3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1
a n
}的前
5项和为( ) A.158或5 B.31
16或5 C.3116 D.158
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A ．300米
B ．299米
C ．199米
D ．166米 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )
A ．90
B ．70
C ．40
D ．30
6．某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数
据：1.14≈1.46,1.15
≈1.61)( )
A ．10%
B ．16.4%
7．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 8．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂． 9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 10．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________. 三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910
≈0.35. 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3
？(lg 657＝2.82，
lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)
能力提升13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，
如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年
便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．
3．2 等比数列的前n 项和(二)
答案
知识梳理
1.a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1
2.(1)等比 (3)q
作业设计
1．D [易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1
，
∴{a 2n }也是等比数列，a 2
1＝1，公比为4.
∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝1－4n
1－4＝13
(4n －1)．]
2．D [1＋2＋4＋…＋2n －1＝1－2n
1－2
＝2n
－1，
∴S n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n
)1－2
－n ＝2n ＋1
－n －2.]
3．C [若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1， 则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.
由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)
1－q ，解得q ＝2.
故a n ＝a 1q n －1＝2n －1
，1a n ＝(12
)n －1.
所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5
]
1－12
＝31
16
.]
4．A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫128
＝2993964≈
300(米)．]
5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 10＝10
S 30＝130，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1(1－q 10)
1－q
＝10
a 1(1－q 30
)
1－q
＝130
，∴q 20＋q 10
－12＝0.
∴q 10
＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q
＝S 10(1＋q 10
)＝10×(1＋3)＝40.]
6．B [该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x 部分，
则x ＋1.1x ＋1.12x ＋1.13x ＋1.14
x ＝1，
∴x ＝(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)－1
＝1－1.11－1.1
5≈16.4%.]
7．1
解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列． ∴a n 为定值． ∴q ＝
a n ＋1
a n
＝1. 8．729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，
∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36
＝729(只)． 9.13
解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公
比q ＝a 3a 2＝13.
10．63
解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1.
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q n )
1－q
＝48， ①
a 1
(1－q
2n
)
1－q
＝60. ②
②÷①得1＋q n ＝54，即q n
＝14
. ③
将③代入①得a 1
1－q ＝64， 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，
所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，
所以(S 2n －S n )2
＝S n (S 3n －S 2n )，
所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)
2
48
＋60＝63.
11．解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，
公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1
(n ≥1)．
(2)10年的出口总量S 10＝
a (1－0.910)
1－0.9
＝10a (1－0.910
)．
∵S 10≤80，∴10a (1－0.910
)≤80，
即a ≤8
1－0.9
10，∴a ≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q
＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56
＝1 458(辆)． (2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，
依据题意，得S n 10 000＋S n >1
3
，
于是S n ＝128(1－1.5n
)1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >657
32
.
两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 657
32
，
即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2
≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3
.
13.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－1a
解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为
a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1
a
，加水后浓度为⎝
⎛⎭⎪⎫1－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1a 2，a 3＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－1a 2，
依次类推：a 9＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1a 8，a 10＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1a 9.
∴⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－1a . 14．解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9
＝1.310
－11.3－1
≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10
≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)
2
＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9
]＝1.1×1.110
－11.1－1
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．。