2020人教版高中物理一轮复习第1章 运动的描述 匀变速直线运动专题一 运动学图象、追及相遇问题

专题一运动学图象、追及相遇问题
考点一运动学图象的理解和应用
1．运用运动图象解题时的“六看”
(1)无论是x -t图象还是v -t图象都只能描述直线运动。

(2)x -t图象和v -t图象不表示物体运动的轨迹。

(3)x -t图象和v -t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。

类型一图象选择类问题
依据某一物理过程，设计某一物理量随时间(或位移、高度、速度等)变化的几个图象或此物理过程中某几个物理量随某一量的变化图象，从中判断其正误。

(2016·江苏单科·5)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。

取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。

下列速度v 和位置x的关系图象中，能描述该过程的是()
解析：由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v与位置x的关系为v＝v20－2gx，从最高点下落时二者的关系为v＝－2g(x0－x)，对比图象可知A项正确。

答案： A
[方法技巧] 解决该类问题一般依据物理过程，运用对应规律，实现公式与图象之间的转化确定某物理量的变化情况，从而确定选项的正确与否。

类型二 图象信息类问题
这类问题是对某一物理情景给出某一物理量的具体变化图象，由图象提取相关信息或将图象反映的物理过程“还原”成数学表达式形式从而对问题做出分析判断作答。

(2019·广东“六校联盟”二模)a 、b 、c 三个物体在同一条直线上运动，它们的位移—时间图象如图所示，物体c 的位移—时间图线是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法正确的是( )
A ．a 、b 两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B ．a 、b 两物体都做匀变速直线运动，两个物体的加速度大小相等，方向相反
C ．物体c 一定做变速曲线运动
D ．在0～5 s 内，当t ＝5 s 时，a 、b 两个物体相距最远
解析： 在位移—时间图象中，倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，可知a 、b 两物体都做匀速直线运动，速度大小相等，但方向相反，选项A 、B 均错误；对于匀变速直线运动，由公式x ＝v 0t ＋1
2at 2知，其x -t 图象是抛物线，所以物体c 一定做匀加速直线运动，选
项C 错误；由图象知，a 、b 从同一位置(即x ＝10 m 处)开始做匀速直线运动，a 沿正方向运动，b 沿负方向运动，当t ＝5 s 时，a 、b 两个物体相距最远，选项D 正确。

答案： D [考法拓展]
在【例2】中，若仅将位移—时间图象改为如图所示的速度—时间图象，其他条件不变，则下列说法正确的是( )
A ．a 物体的加速度大于b 物体的加速度
B．0～5 s内，a物体的位移大小是b物体的3倍
C．c物体做加速度逐渐减小的加速运动
D．b物体在0～5 s内的平均速度与c物体在0～10 s内的平均速度大小相等
解析：a物体的加速度a1＝20－10
5m/s
2＝2 m/s2，b物体的加速度a
2
＝
0－10
5m/s
2＝
－2 m/s2，可知a物体的加速度与b物体的加速度大小相等，选项A错误；0～5 s内，a物体的位移大小x1＝75 m，b物体的位移大小x2＝25 m，得x1＝3x2，选项B正确；根据速度—时间图象的切线的斜率表示加速度可知，c物体做加速度逐渐增大的加速运动，选项C错
误；b物体在0～5 s内的平均速度大小v2＝10＋0
2m/s＝5 m/s，c物体在0～10 s内的平均
速度大小v3<10＋0
2m/s＝5 m/s，选项D错误。

答案： B
类型三应用图象法巧解物理问题
1．对于实际问题在无法运用物理公式解答的情况下，用图象法则会使思路豁然开朗。

2．运用图象法时，要结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。

如图甲、乙所示，长度相同的两木块A、B均固定在水平地面上，木块A是由相同材料制成的，木块B的左右两部分C、D是由不同材料制成的。

若一子弹(视为质点)分别以水平速度v0击中并恰好穿过木块A、B，子弹在A、C、D中运动的加速度大小恒为a、a1、a2且a1<a<a2，设子弹射穿木块A、B所用的时间分别为t A、t B，则()
A．t A>t B B．t A＝t B
C．t A<t B D．无法比较t A、t B的大小
解析：
由题意可知，子弹穿过木块A、B后瞬间的速度均为零，子弹在木块A中做初速度为
v 0的匀减速直线运动至速度为零，子弹在木块B 中的运动情况是先在C 中以大小为a 1的加速度做匀减速直线运动，后在D 中以大小为a 2的加速度做匀减速直线运动至速度为零，由于子弹在木块A 、B 中运动的位移相同，子弹在A 、C 、D 中运动的速度—时间图象如图所示，由图可知t A >t B ，选项A 正确。

答案： A [多维练透] 1.
(多选)一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示。

那么0～t 和t ～3t 两段时间内，下列说法中正确的是( )
A ．加速度的大小之比为2∶1
B ．位移的大小之比为1∶2
C ．平均速度的大小之比为2∶1
D ．中间时刻速度的大小之比为1∶1
解析： 设t 时刻速度为v 1，则0～t 时间内加速度a 1＝v 1t ，位移x 1＝v 1
2t ，平均速度v
1
＝v 12，中间时刻速度等于平均速度。

t ～3t 时间内加速度a 2＝v 12t ，位移x 2＝v 1
2·2t ，平均速度v 2
＝v 1
2。

故正确的是A 、B 、D 。

答案： ABD
2．(2019·河北衡水重点中学一模)一质点沿x 轴正方向做直线运
动，通过坐标原点时开始计时，其x t -t 图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A ．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s B ．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s 2 C ．质点在第1 s 内的平均速度为0.75 m/s D ．质点在1 s 末的速度为1.5 m/s
解析： 由图线可知，质点运动的平均速度均匀增大，则质点做匀加速直线运动；根据图线可得v ＝x
t ＝0.5＋0.5t ，即v ＝v 0＋(v 0＋at )2＝0.5＋0.5t ，可得v 0＝0.5 m/s ，a ＝1 m/s 2，
选项A 、B 错误；质点在第1 s 内的平均速度v ＝0.5 m/s ＋0.5×1 m/s ＝1 m/s ，C 错误；质点在1 s 末的速度为v ＝v 0＋at ＝1.5 m/s ，D 正确。

答案： D 3.
某个量D 的变化量ΔD ，ΔD 与发生这个变化所用时间Δt 的比值ΔD
Δt 叫作这个量D 的变
化率。

关于“加速度的变化率”，下列说法正确的是( )
A ．“加速度的变化率”的单位是m/s 2
B ．加速度的变化率为0的运动是匀速直线运动
C ．若加速度与速度同方向，如图所示的a -t 图象，表示的是物体的速度在减小
D ．若加速度与速度同方向，如图所示的a -t 图象，已知物体在t ＝0时速度为5 m/s ，则2 s 末的速度大小为7 m/s
解析： 由于D 表示某质点的加速度，则ΔD Δt 表示加速度的变化率，所以其单位是：
m/s 2
s ＝m/s 3，故A 错误；加速度的变化率为0的运动表示加速度不变，所以是匀变速直线运动，故B 错误；若加速度与速度同方向，如图所示的a -t 图象，表示的是物体做加速度减小的加速运动，物体的速度在增大，故C 错误；若加速度与速度同方向，如图所示的a -t 图象，物体在0～2 s 内速度的变化量为：Δv ＝a t ＝a 0＋a t 2·t ＝2＋0
2×2 m/s ＝2 m/s ，由于已知物体在
t ＝0时速度为5 m/s ，则2 s 末的速度大小为v t ＝v 0＋Δv ＝5 m/s ＋2 m/s ＝7 m/s ，故D 正确。

答案： D
[反思感悟] 图象面积意义的拓展
物理图象中，图线与坐标轴所围的“面积”表示“x 量”与“y 量”乘积，如： (1)v -t 图象的面积表示位移x ，且x ＝v ·t 。

(2)a -t 图象的面积表示速度的变化量Δv ，且Δv ＝a ·t 。

(3)F -x 图象的面积表示功W ，且W ＝F ·x 。

考点二 追及与相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

2．分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个关系”。

3．能否追上的判断方法
常见情形：物体A 追物体B ，开始二者相距x 0，则 (1)A 追上B 时，必有x A －x B ＝x 0，且v A ≥v B 。

(2)要使两物体恰不相撞，必有x A －x B ＝x 0，且v A ＝v B 。

(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v A ＝v B 时，x A －x B <x 0，且之后v A ≤v B 。

一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁边以v ＝8 m/s 的
速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt ＝2.5 s 警车发动起来，以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速直线运动。

(1)警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
(2)若警车能达到的最大速度v max ＝12 m/s ，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
(3)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ 解析： 解法一 物理分析法
(1)设警车经时间t 1追上违章货车，则对警车有x 1＝12at 21
对货车有x 1＝v (t 1＋Δt )
联立解得t 1＝10 s(另一解不合题意已舍去)。

(2)设警车发动起来后经t 0时间速度达到最大，经t 2时间追上货车，则有 v max ＝at 0
v max
2t 0
＋v max (t 2－t 0)＝v (t 2＋Δt )
联立上述两式，并代入数据解得t 2＝14 s 。

(3)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们之间的距离最大，设警车发动后经过t 3时间两车的速度相等，有v ＝at 3
则t 3时间内，货车的位移大小x 1＝v (t 3＋Δt ) 则t 3时间内，警车的位移大小x 2＝1
2at 23
两车间的最大距离Δx ＝x 1－x 2＝36 m 。

解法二 图象法
(1)警车、货车的速度—时间图象如图甲所示。

警车追上货车时，图甲中两块阴影面积相等，则 8×(t 1＋2.5)＝1
2v 1t 1
对警车有v 1＝2t 1
联立以上两式，并代入数据解得t 1＝10(另一解不合题意已舍去)。

故警车发动起来后经过10 s 才能追上违章的货车。

(2)若警车能达到的最大速度是v max ＝12 m/s ，则警车、货车的速度—时间图象如图乙所示。

警车追上货车时，图乙中两块阴影面积相等，则 8×(t 2＋2.5)＝1
2
[(t 2＋2.5－8.5)＋t 2]×12
解得t 2＝14。

故此种情况下，警车发动起来后经过14 s 才能追上违章的货车。

(3)由图甲知，警车在追赶货车的过程中，当t ＝6.5 s 时两车间的距离最大，且为Δx ＝
1
2×(2.5＋6.5)×8 m ＝36 m 。

[方法技巧] 1.牢记“一个思维流程”
2．掌握“三种分析方法” (1)分析法
应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。

(2)极值法
设相遇时间为t ，根据条件列出方程，得到关于t 的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。

在这里，常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。

(3)图象法
在同一坐标系中画出两物体的运动图线。

位移图线的交点表示相遇，速度图象抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。

[多维练透]
1．[与x -t 图象结合的追及相遇问题](2018·全国卷Ⅲ·18)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。

甲、乙两车的位置x 随时间t 的变化如图所示。

下列说法正确的是( )
A ．在t 1时刻两车速度相等
B ．从0到t 1时间内，两车走过的路程相等
C ．从t 1到t 2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析：A错：x-t图象斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度。

B错：由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离。

C、D对：t1和t2两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等。

答案：CD
2．[与v -t图象结合的追及相遇问题]
(2018·全国卷Ⅱ·19)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示，已知两车在t2时刻并排行驶。

下列说法正确的是() A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
解析：A错，B对：v -t图象和t轴包围面积表示位移，所以t1～t2时间内x甲>x乙，而t2时刻甲、乙并排行驶，所以t1时刻甲车在乙车后面，即A错，B对。

C错，D对：由图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大。

答案：BD
3．A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8 m/s，B车的速度大小为v2＝20 m/s，如图所示。

当A、B两车相距x0＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；
(2)A车追上B车所用的时间；
(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，求A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度。

解析： (1)当A 、B 两车速度相等时，相距最远 根据速度关系得v 1＝v 2－at 1 代入数据解得t 1＝6 s
此时，根据位移公式得x A ＝v 1t 1 x B ＝v 2t 1－1
2at 21
Δx m ＝x B ＋x 0－x A
代入数据解得Δx m ＝64 m 。

(2)B 车从刹车到停止运动所用时间t 0＝v 2
a ＝10 s
所发生位移x B ′＝v 22
2a ＝100 m
此时x A ＝v 1t 0＝80 m 则x A <x 0＋x B ′
可见此时A 车并未追上B 车，而是在B 车停止后才追上，之后A 车运动时间为t 2＝x 0＋x B ′－x A
v 1
＝6 s
故所求时间为t ＝t 0＋t 2＝16 s 。

(3)A 车刹车减速至0时刚好追上B 车，此时加速度最小 v 222a ＋x 0＝v 212a A
代入数据解得a A ＝0.25 m/s 2。

答案： (1)64 m (2)16 s (3)0.25 m/s 2
\
直线运动中的STSE 问题
1．以“酒驾”为背景考查匀变速直线运动规律
(多选)酒后驾驶会导致许多安全隐患，这是因为驾驶员的反应时间变长。

反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间。

下表中“思考距离”是指驾驶员发现情况到采取制动的时间内汽车的行驶距离，“制动距离”是指驾驶员发现情况到汽车停止行驶的距离。

(假
设汽车制动加速度都相同)
A．驾驶员正常情况下反应时间为0.5 s
B．驾驶员酒后反应时间比正常情况慢0.5 s
C．驾驶员采取制动措施后汽车加速度大小为3.75 m/s2
D．当车速为25 m/s时，发现前方60 m处有险情，酒驾者不能安全停车
解析：反应时间＝思考距离÷车速，因此正常情况下反应时间为0.5 s，酒后反应时间为1 s，故A、B正确；设汽车从开始制动到停车的位移为x，则x＝x制动－x思考，根据匀变速直线运动公式v2＝2ax，解得a＝7.5 m/s2，C错误；根据表格知，车速为25 m/s时，酒后制动距离为66.7 m>60 m，故不能安全停车，D正确。

答案：ABD
2．以“交通安全”为背景考查对运动图象的理解及应用
2017年11月15日，在“滁新高速”下行线因突发团雾而造成多车追尾。

如图所示是模拟在该高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的v -t图象，甲车在后，乙车在前。

若两车发生追尾，则以下判断正确的是()
A．两车一定是在t＝15 s至t＝20 s之间的某时刻发生追尾
B．两车可能是在t＝8 s时发生追尾
C．t＝0时刻两车间距可能大于28 m
D．甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍
解析：根据速度—时间图象可知，15～20 s内，甲车的速度小于乙车，不可能发生追
尾，选项A 错误；0～10 s 内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B 正确；t ＝10 s 时两车的速度大小均为5 m/s ，在v -t 图象中，图象与坐标轴所围成的面积表示位移，0～10 s 内，甲车位移大小x 1＝5＋152×10 m ＝100 m ，乙车位移大小x 2＝
5＋102×10 m ＝75 m ，因两车发生追尾，所以两车间距离应小于Δx ＝x 1－x 2＝25 m<28 m ，选项C 错误；根据速度—时间图象的斜率表示加速度可得甲的加速度大小a 1＝15－0
15 m/s 2＝1 m/s 2，
乙的加速度大小a 2＝10－0
20
m/s 2＝0.5 m/s 2，则a 1＝2a 2，选项D 错误。

答案： B
3．以“体育”运动为背景考查追及相遇问题
如图所示是某一次接力训练。

已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s 的速度跑完全程。

设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3 m/s 2。

乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。

在某次练习中，甲以v ＝10 m/s 的速度跑到接力区前端x 0＝14.0 m 处向乙发出起跑口令。

已知接力区的长度为L ＝20 m 。

求：
(1)此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离。

(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
解析： (1)设乙加速到交接棒时运动时间为t ， 则在甲追乙过程中有：x 0＋1
2at 2＝v t
代入数据得：t 1＝2 s
t 2＝4.67 s(不符合乙加速最长时间t m ＝v a ＝10
3 s 实际，舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为： x ＝1
2
at 2＝6 m (2)乙加速时间为：t 乙＝10
3
s
设甲在距离接力区前端为x ′时对乙发出起跑口令，则在甲追乙过程中有：x ′＋12
at 2
乙＝
v t 乙
代入数据得：x ′＝16.7 m
(3)棒在(2)过程以v ＝10 m/s 速度运动，所以有：t ＝L
v ＝2 s 答案： (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s。