罗源县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

罗源县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则下列结论正确的是（ ）
A ．￢p 为假命题
B ．￢q 为假命题
C ．p ∨q 为假命题
D ．p ∧q 真命题
2． 设集合，，则（ ）
{}|22A x R x =∈-≤≤{}|10B x x =-≥()R A B = ðA.
B.
C.
D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤<{}|21x x -≤≤{}
|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.3． 设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
4． 设向量，满足：||=3，
||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5． 已知函数f （x ）＝（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝{
a x －1，x ≤1
log a
1x ＋1
，x
＞1)
（
）
A ．－
B ．－141
2C ．－ D ．－345
4
6． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．
±
D ．以上皆非
7． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（
）
A ．钱
B ．钱
C ．钱
D ．钱8． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log
x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 复数的值是（ ）
i i -+3)1(2
A ．
B ．
C ．
D ．
i 4341+-i 4
341-i 5
3
51+-
i 5
351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
10．函数y=|a|x ﹣
（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．不等式﹣x 2﹣2x+3≤0的解集为（ ）
A ．{x|x ≥3或x ≤﹣1}
B ．{x|﹣1≤x ≤3}
C ．{x|﹣3≤x ≤1}
D ．{x|x ≤﹣3或x ≥1}
12．已知双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若
4
sin
π
21F F 、P ，则双曲线的离心率等于（ ）2
1
cos 21=
∠PF F A ． B ．
C ．
D ．
25
2
6
2
7二、填空题
13．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
14．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．　
15．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
　16．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．
17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，
若曲线()()ln R x
f x x a a x
=+-∈122e e 1x x y +=+（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
e ()00,x y ()()00
f f y y =a 18．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
三、解答题
19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
20．已知函数
（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的值域．
21．在中已知，，试判断的形状.
ABC ∆2a b c =+2
sin sin sin A B C =ABC ∆
22．（本小题满分13分）已知函数，3
2
()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈23．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．　
24．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．
罗源县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】解：时，sinx 0=1；
∴∃x 0∈R ，sinx 0=1；∴命题p 是真命题；
由x 2+1＜0得x 2＜﹣1，显然不成立；∴命题q 是假命题；
∴￢p 为假命题，￢q 为真命题，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题；∴A 正确．故选A ．
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R 满足x 2≥0，命题￢p ，p ∨q ，p ∧q 的真假和命题p ，q 真假的关系．　
2． 【答案】B 【解析】易知，所以，故选B.{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥()R A B = ð{}|21
x x -≤<3． 【答案】C
【解析】解：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin （2x+
）的图象，
当x=0时，y=sin =，不是最值，故函数图象不关于y 轴对称，
故命题p 为假命题；
函数y=|2x ﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q 为假命题；则￢q 为真命题；p ∨q 为假命题；p ∧q 为假命题，故只有C 判断错误，故选：C
4． 【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．　
5． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2.若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 2＝－3，∴＝，∴b ＝7.
1b ＋11b ＋118
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－，故选C.
34
6． 【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，则a 62=a 3a 9=3，即a 6=±．
故选C
7． 【答案】B
【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ，则由题意可知，a ﹣2d+a ﹣d=a+a+d+a+2d ，即a=﹣6d ，又a ﹣2d+a ﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a ﹣2d=a ﹣2×=
．故选：B ．　
8． 【答案】 D
【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则
，不符合对数的底数范围，A 不正确；
B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；
C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log
x 在定义域上是增
函数，C 不正确；
D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log
x 在定义
域上是减函数，D 正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．　
9． 【答案】C
【解析】
．i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+10．【答案】D
【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A ，B
当|a|＜1时且a ≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣
＜0，故排除C ．
故选：D ．
11．【答案】D
【解析】解：不等式﹣x 2﹣2x+3≤0，变形为：x 2+2x ﹣3≥0，
因式分解得：（x ﹣1）（x+3）≥0，可化为：
或
，
解得：x ≤﹣3或x ≥1，
则原不等式的解集为{x|x ≤﹣3或x ≥1}．故选D ．　
12．【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设
1a 2a c 2m PF =1n PF =2，由，得，，又，由余弦定理可知：n m >12a n m =+22a n m =-21a a m +=21a a n -=2
1
cos 21=
∠PF F ∴，，，设双曲线的离心率为，则
，解mn n m c -+=22242
221234a a c +=∴432
221=+∴c a c a 432
2122=+e
）（得.故答案选C ．
2
6
=e 考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由为公共点，可把焦半径
P 、的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴来表示，接着用余弦定理表示
1PF 2PF 21,a a
，成为一个关于以及的齐次式，等式两边同时除以，即可求得离心率.圆锥曲线问题2
1cos 21=
∠PF F 21,a a 2
c 在选择填空中以考查定义和几何性质为主.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．
14．【答案】　﹣1054　．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，
∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
15．【答案】　{x|﹣1＜x ＜1}　．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}，故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　
16．【答案】　（，
）　．
【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，①∵点A （2，0），点B （0，3），∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．
如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥
，当且仅当2a=3b 时，取“=”，
∴a=
，②
联立①②求得：a=，b=，故点C 的坐标为（，）．
故答案是：（
，
）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
17．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：可得：，1
22e e 1x x y +=+()()
122
221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：可得：，()()R lnx
f x x a a x
=+-∈()22ln 1'x x f x x -+=
x ∈（0，e ），，
()'0f x >
则f （x ）在（0，e ）单调递增，
下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．
同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．
综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数．()ln x f x x a x x
=
+-=设，求导，()ln x g x x =()21ln 'x g x x -=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，
g （x ）在（0，e ）单调递增，
当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e =
当x →0时，a →-∞，
∴a 的取值范围.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
18．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可．
【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ，所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，
由余弦定理得，cosA==，
∴=，化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A ＜π，∴sinA==，∴△ABC 的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数
是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）∴，∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分）
又函数f （x ）的图象经过点（1，3），
∴f （1）=3，∴
，∵b=0，∴a=2（6分）
（2）由（1）知
（7分）当x ＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）
当x ＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f （x ）的值域为
（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
21．【答案】为等边三角形．
ABC
【解析】
试题分析：由，根据正弦定理得出，在结合，可推理得到，2sin sin sin A B C =2
a bc =2a
b
c =+a b c ==即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．
22．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）
2()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）
0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞③当时，解得，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a
<∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,)a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）(0,)+∞0x ()00f x =01(0,2
x ∈综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）2a <-()f x 0x 01(0,)2x ∈23．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，
则，
解得，，，…
由于，故n=55．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=，
由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…
∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，
∴EX==，DX==．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．。