江西省九江市2021届第二次高考模试统一考试文科数学(解析版)

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九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试
文科数学试题解析版
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的. 1.已知集合 A = {-2, -1, 0,1, 2}， B = {x | x 2
< 2}，则 A I B = (C) A.{0,1}
B.{ - 1,1}
C.{ -1, 0,1}
D.{0}
解: Q B = {x | - < x < 2}，∴ A I B = { -1, 0,1}，故选 C. 2.已知复数z 满足 z (3-i ) =10 ，则 z =(D) A. -3 - i B. -3 + i
C. 3 - i
D. 3 + i
解: z =
10 = 10(3 + i)
= 3 + i ，故选D. 3 - i (3 - i)(3 + i)
3.已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，若a 1 = 1 ， S 4 = 6 ，则 S 7 = (D)
A. 7
B. 9
C.11
D.14
解:法一:由a = 1 ， S = 6 ，得4 ⨯1+ 4 ⨯(4 -1) d = 6 ，解得d = 1 ，∴ S = 7 ⨯1 + 7 ⨯ (7 -1) ⨯ 1
= 14 ，故选
1 4 2
D.
3 7 2 3 法二:Q S
4 = 4(a 1 + a 4 ) = 6 ，又a =1，∴a = 2 ，∴S 7 = 7(a 1 + a 7 ) = 7⨯2a 4
=14，故选 D.
2 1 4
2 2
4.已知
sin α = 2 ，则tan α = (A) 1 + cos α A. - 4 3
2sin α cos α B. - 3 4 C. 4 3
2 tan
α D. 2
解 :Q sin α = 2 α 2 = tan α = 2 ，∴tan α = 2 = - 4 ，故选 A. 1 + cos α 2 c os 2 2 2 1 - tan 2 α 3 2
5.已知0 < a < b < 1 ，则下列结论正确的是(B)
A. b a < b b
B. a b < b b
C. a a < a b
D. b a < a a 解:法一:Q 0 < a < b < 1 ，∴ y = x b ， y = x a 在(0, +∞ ) 上单调递增， y = a x ， y = b x 在(0, +∞ ) 上单调递减， 故选 B.
法二:取a = 1 ， b = 1 ，则a a = 1 ， a b = 1 ， b b = 1 ， b a = 1 ，显然 a b < b b ，故选 B.
4 2 2 6.将函数 y =2cos(2x + π) 的图像向左平移π 个单位得到函数 f (x ) ，则函数 y =
f (x )
的图像大致为(D)
6 6 x sin x
2 4 2
2 3 3 3 3 c
3 y
-2π -π
2 1
O
-1 -2
π
2π
x
开始
a = 0
b = 1 S = 0
否
是 i > 5 输出S
结束
S =
(i -1)S + c i
y
-2π
2 1 -π
O -1 -2
π
2π x
B
D 解:依题意得 f (x ) = 2cos[2(x + π) + π] = 2cos(2x + π) = -2sin 2x ，则 y = f (x )
= -2sin2x = -4cos x ，
6 6 2 x sin x x sin x x
x ≠ k π ， k ∈ Z ，显然该函数为奇函数，且当 x ∈(0, π
) 时， y < 0 ，故选 D.
2
7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面 D C
截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(C)
A.1
B. A B
C. 2
D. 2 解:Q AC 为椭圆的长轴，∴2a = 2 c 2 = a 2 - b 2 =1，∴ 2c = 2 ，故选 C.
， a = ，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即 2b = 2 ，∴b = 1 ， 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(C)
A. 8
B. 19
5
C. 16
D.13 3
解:依题意得输出S 的值为1, 2,3,5,8,13 的平均数，即 S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 16
，故选 C.
6 3
9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 E : x 2 - y 2
=1( a > 0,b > 0 )的右焦点 F ，若存在平行于 x 轴的直
a 2
b 2
线l ，与双曲线 E 相交于 A , B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B) y
A. 2 +1
B. +1
∴ C. D. 2 B
A
∴
c 解:如图，由对称性知 OA = OB ， ∆OAF 为边长为c 的等边三角形， ( , ) 2 2
O F x
E
c 2
3c 2 c 2 3c 2 2 3e 2 在双曲线 上，∴ 4a 2 - 4b 2 = 1，∴ a 2 - c 2 - a
2 = 4 ，∴e - = 4 ，解得 e 2
-1 e = + 1，故选 B.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称 “档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算
2 2
2 3 y A
-2π
-π
2 1
O
-1 -2
2π
π
x
y
-2π
-π
2 1 O
-1 -2
π 2π x
i = i + 1
a =
b ,b = c
c = a + b
i = 1
2 n
n
⎪ 2 ⎩ 珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字
65 .若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的
概率为(C)
A. 1 3
B. 4 9
C. 5 9
D. 2 3 解:依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16 ，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数
字为奇数的概率为 5
，故选C.
9
11.已知函数 f ( x ) = x - a ln x + a ( a ∈ R )有两个零点，则a 的取值范围是(B) A. (e,+∞)
B. (e 2 , +∞)
C. (e 2 ,e 3 )
D. (e 2 ,2e 2 )
解: f '(x ) = 1- a = x - a ( x > 0 ),当a ≤ 0 时， f '( x ) > 0 ，∴ f ( x ) 在(0,+∞) 上单调递增，不合题意，
x x
当a > 0 时，0 < x < a 时， f '( x ) < 0 ；x > a 时， f '( x ) > 0 ，∴ f ( x ) 在(0, a ) 上单调递减，在(a , +∞) 上
单调递增，∴ f (x ) = f (a ) = 2a - a ln a ，依题意得2a - a ln a < 0 ，∴ a > e 2 ，取 x = e ， x = a 2
，
min
1 2
则 x 1 < a ， x 2 > a ，且 f (x 1) = f (e) = e > 0 ， f (x 2 ) = f (a 2
) = a 2
- 2a ln a + a = a (a - 2 ln a +1) ，令 g (a ) = a - 2 ln a + 1 ，
则 g '(a ) = 1- 2
> 0 ，∴ g (a ) 在(e 2, +∞) 上单调递增，∴ g (a ) > g (e 2 ) = e 2 - 3 > 0 ， a
∴ f (x ) > 0 ，故a 的取值范围是(e 2, +∞) ，故选B.
12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为l 1, l 2, l 3, l 4 ，则(B)
A.
l 1 < l 2 < l 3 < l 4 B.
l 1 < l 2 < l 3 = l 4 C.
l 1 = l 2 = l 3 = l 4 D.
l 1 = l 2 = l 3 < l 4 解:正n 边形的中心运动轨迹是由n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为
2π
，每段圆弧的半径r 为顶点到中 心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长l = n ⨯ 2π
⨯ r = 2πr ，圆的中心运动轨迹长也为2πr ，
依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 r 1< r 2 < r 3 = r 4 ，
∴l 1 < l 2 < l 3 = l 4 ，故选 B.
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量a , b 满足 a = 1， b = 2 ， a ⊥ (a - b ) ，则a 与 b 的夹角为60︒ .
解:Q a ⊥ (a - b ) ，∴ a 2 - a ⨯ b = 0 ，1 -1⨯ 2cos < a ,b >= 0 ，∴cos < a , b > = 1
，∴a 与b 的夹角为60︒ .
2 y
⎧2x + y - 2 ≤
0 14.设 x , y 满足约束条件⎨2x - y + 2 ≥ 0 ，则 z = 3x - 2 y 的最大值是 .
2 ⎪ y ≥ x 3
1
解: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过( 2 , 2
) 时取得最大值，
即 z = 3⨯ 2 - 2 ⨯ 2 = 2
． 3 3 –2 –1 O
1 x
–1
max
3 3 3
10 10 -1 2 O 2
O 1
D
N 1
2
2 O 15. ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若a 2 + b 2 - c 2 =
8
，则∆ABC 的面积为 2 .
tan C
解:由余弦定理知a 2 + b 2 - c 2 = 2ab cos C ，∴ 8
= 2ab cos C ，∴ ab sin C = 4 ,∴S ∆ABC = 1 ab sin C = 2 .
tan C 2 16.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 的正四棱锥 P - ABCD 中，大球O 1内切于 P
该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为
2
π . 24
解:设O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M ，连接 PM , OM , PO ，则OM = 1 ，
PM = = = 3 ，PO = = 2 ，如图，在截面 PMO 中， C
设 N 为球O 1 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且O 1N ⊥ PM ，设球O 1 的半径
为 R ，则O N = R ，Q sin ∠MPO = OM = 1 ，∴ NO 1 = 1 ，则 PO A B = 3R ， 1
PM 3
PO 3
P 1
PO = PO 1 + OO 1
= 4R = 2 ，∴ R = 2
，设球O 1与球O 2相切于点Q ，则 PQ =
O Q PO - 2R = 2R ，设球O 2的半径为r ，同理可得 PQ = 4r ，∴ r = R = 2 ，故小球O 2的
2 4
1
体积V = 4 πr 3 = 2 π . M O
3 24
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
已知数列{a n } 满足a = 1 ， a 2 = 1
， a + a + = 2a ．
1 2
n n 1
n + 2 (Ⅰ)求证:{a n +1 - a n }为等比数列； (Ⅱ)求{a n } 的通项公式．
解:(Ⅰ)由a n + a n +1 =
2a n +2
，得2(a n +2 - a n +1 ) = -(a n +1 - a n ) ，即a n +2 - a n +1 = - 1
(a n +1 - a n ) …………2 分 2 又a - a = - 1 ，∴ a n +2 - a n +1 = - 1
…………4 分
2 1
2 a n +1 - a n
2 ∴{a n +1 - a } 是以- 1 为首项， - 1
为公比的等比数列………5 分
n
2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n +1 - a n = (- 1) ⨯ (- 1)n -1 = (- 1)n
………6 分
2 2 2
∴a n - a n -1 = (- 1)n -1 , a - a = (- 1 )n -2 ，…， a - a = (- 1 ) ( n ≥ 2 )，
2 n -1 n -2 2 2 1 2
1 1 1 1 - 1 - (- 1 )n 1
2 1
累加得a n - a 1 = (- ) + (- )2
+L + (- )
n -2
+ (-
)n -1 = 2
2 = - - (- )n ………9 分 2 2 2
2 1 - (- 1 )
2
3 3 2 又a 1 = 1 ，∴a n = 1 - 1 - 2 (- 1)n = 2 - 2 (- 1
)n ( n ≥ 2 )………11 分
3 3 2 3 3 2
又a = 1 也符合上式，∴a n = 2 - 2 (- 1 )n
………12 分
1
18.(本小题满分 12 分)
3 3 2
BMI 指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =
体重(kg) / 身高(m) 的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI ≥ 28 时为肥胖.某地区随机调查了
1200 名35 岁以上成人的身体健康状况，其中有200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
PA 2 - AM 2
9 -1 2
高血压
非高血压
(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值 μ ；
(Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有99.9% 的把握认为35 岁以上成人患高血压与肥胖有关.
附： K 2
=
n (ad - bc )2
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d ) ， n = a + b + c + d
解:(Ⅰ)根据频率分布直方图， 200 名高血压患者中，
BMI 值在[28, 30) 的人数为0.1⨯ 2⨯ 200 = 40 ，在[30, 32) 的人数为0.05⨯ 2⨯ 200 = 20 ，在[32, 34) 的人
数为0.025⨯ 2⨯ 200 = 10 ………2 分
1000 名非高血压患者中， BMI 值在[28, 30) 的人数为 0.08⨯ 2⨯1000 = 160 ， 在[30, 32) 的人数为 0.03⨯ 2⨯1000 = 60 ，在[32, 34) 的人数为0.005⨯ 2⨯1000 = 10 ………4 分
被调查者中肥胖人群的BMI 平均值 μ =
(40 +160) ⨯ 29 + (20 + 60) ⨯ 31+ (10 +10) ⨯ 33
= 29.8 ………6 分
40 + 20 +10 +160 + 60 +10
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 200 名高血压患者中，有40 + 20 +10 = 70 人肥胖， 200 - 70 =130 人不肥胖………7 分 230人肥胖，1000 - 230 = 770 人不肥胖………8 分
………9 分
2 1200 ⨯ (70 ⨯ 770 - 230 ⨯130)2
K = = 12.8 > 10.828 ………11 分
200 ⨯1000 ⨯ 900 ⨯ 300
有99.9% 的把握认为35 岁以上成人患高血压与肥胖有关………12 分 19.(本小题满分 12 分) B 1
如图所示的几何体 ABC - A 1B 1C 1 中，四边形 ABB 1A 1 是正方形，四边形 BCC 1B 1 B C //BC ，且 B C = 1
BC ， AB = AC ，平面 ABB A ⊥ 平面 ABC .
1 1
1 1
2
1 1
(Ⅰ)求证：平面 A 1CC 1 ⊥ 平面 BCC 1B 1 ；
B
(Ⅱ)若 AB = 2 ， ∠BAC = 90︒ ，求几何体 ABC - A 1B 1C 1 的体积.
解:(Ⅰ)取 BC 的中点 E ，连接 AE ,C 1E ，Q AB = AC ，∴ AE ⊥ BC ………1 分
Q ABB 1A 1 是正方形，∴BB 1 ⊥ AB ，又平面 ABB 1A 1 ⊥ 平面 ABC ，∴ BB 1 ⊥ 平面 ABC ， 又Q AE Ü 平面 ABC ，∴ AE ⊥ BB 1 ………2 分
又Q BB 1, BC Ü 平面 BCC 1B 1 ， BB 1 I BC = B ，∴ AE ⊥ 平面 BCC 1B 1 ………3 分
2 y
M M
1 N O ' O A x
⎩ ⎩ Q B 1C 1 //BE ，∴四边形 BB 1C 1E 为平行四边形，∴C 1//B //A A ，∴四边形 AA 1C 1E 为平行四边形
………4 分
∴ AE //A C ，∴ A C ⊥ 平面 BCC B ………5 分
A 1
B 1
C 1
1 1
1 1
1 1
又 A 1C 1 Ü 平面 A 1CC 1 ，∴平面 A 1CC 1 ⊥ 平面 BCC 1B 1 ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知所求几何体为四棱锥C - AA 1C 1E 和直三棱柱 ABE - A 1B 1C 1 的 A
B
组合体………7 分
C
E
Q CE ⊥ AE ， CE ⊥ AA 1 ， AA 1, AE Ü 平面 AA 1C 1E ，∴CE ⊥ 平面 AA 1C 1E ，
∴四棱锥C - AAC E 的体积V C - AA C E = 1 S
AA C E
⨯ CE = 1 ⨯ AA ⨯ AE ⨯ CE = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ = 4
(9)
分 1 1 1 1
3 矩 形 1 1 3 1 3 3
直三棱柱 ABE - A B C 的体积V ABE - A B C = S ABE ⨯ AA = 1 ⨯ BE ⨯ AE ⨯ AA = 1
⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ………11 分
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2
∴所求几何体 ABC - A B C 的体积V = V C - AA C E + V ABE - A B C = 4 + 2 = 10
………12 分
1 1 1
20.(本小题满分 12 分)
1 1 1 1 1
3 3
过点 A (1, 0) 的动直线l 与 y 轴交于点T (0,t ) ，过点T 且垂直于l 的直线l ' 与直线 y = 2t 相交于点 M ． (Ⅰ)求 M 的轨迹方程；
(Ⅱ)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆O ' 与 y 轴相交于点 N ，且∠NMA = 30︒ ，求 AM 的
值． 解:(Ⅰ) Q A (1, 0) ， T (0,t ) ，当t = 0 时， M 的坐标为(0, 0) ………1 分 当t ≠ 0 时， k l = 0 -t = -t ，∴k l ' = - 1 = 1 ，∴l '的方程为 y = 1
x + t ………2 分
1- 0 k l t t
由 y = 2t 得 x = t 2 ，∴M (t 2,2t ) ………3 分 验证当t = 0 时，也满足M (t 2,2t ) ………4 分
∴ M 的坐标满足方程 y 2
= 4x ，即 M 的轨迹方程为 y 2
= 4x ………5 分
(Ⅱ)法一:设 M ( x , y ) ( x , y > 0 )，则 y 2 = 4x ，
O '( x 0 +1, y
0 ) ， 0 0 0 0
0 0 2 2
圆O ' 的方程为(x -1)( x - x 0 ) + ( y - 0)( y - y 0 ) = 0 ………6 分
y 2 y y 令 x = 0 得 y 2 - y y + x = 0 ，即 y 2
- y y + 0 = 0 ， y = 0 ，即 N (0, 0 ) ，∴O 'N / x 轴………8 分
0 0
0 4 2 2
Q ∠NMA = 30︒ ， Q ∠NO 'A = 60︒ ，∴k AM = 3 ，∴直线 AM 的方程为 y = 3(x -1) ………10 分
⎧⎪ y = 联立 3(x -1) ，消去 y 整理得3x 2 -10x + 3 = 0 ，解得 x = 3 或 x = 1 (舍)，即 x = 3 ………11 分 ⎨⎪
y 2 = 4x Q A 为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点，∴ AM
= x 0 3 0
+1 = 4 ………12 分
法二:作O 'O ⊥ y 轴于O ， MM ⊥ y 轴于 M ，则 O 'O = 1
( MM + OA ) ………6 分
1 1 1
1 1 2
1 又 A 为抛物线 y
2 = 4 x 的焦点，∴ O 'O = 1
MA ，故圆O ' 与 y 轴相切于点 N ………8 分 2
Q ∠NMA = 30︒ ， Q ∠NO 'A = 60︒ ，∴k AM = 3 ，∴直线 AM 的方程为 y = 3(x -1) ………10 分
⎧⎪ y = 联立 3(x -1) ，消去 y 整理得3x 2 -10x + 3 = 0 ，解得 x = 3 或 x = 1 (舍)，即 x = 3 ………11 分 ⎨⎪
y 2 = 4x 3 0
1
⎨ y = 2sin ϕ
⎨ y = 2sin ϕ
Q A 为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点，∴ AM 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = (x -1) ln x . (Ⅰ)求 f (x ) 的单调性；
= x 0 +1 = 4 ………12 分
(Ⅱ)若不等式e x f ( x ) ≥ x + a e x 在(0, +∞) 上恒成立，求实数a 的取值范围．
解:(Ⅰ)法一：由 f (x ) = (x -1) ln x ，知 f '(x ) = ln x +1 - 1
………1 分
x
当0 < x <1时， ln x < 0, 1- 1 < 0 ， ln x +1- 1
< 0 ，此时 f '(x ) < 0 ………3 分
x x 当 x >1时， ln x > 0, 1- 1 > 0 ， ln x +1- 1
> 0 ，此时 f '(x ) > 0 ………4 分
x x
∴ f (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增………5 分
法二：由 f (x ) = (x -1) ln x ，知 f '(x ) = ln x +1 - 1
………1 分
x
令h (x ) = f '(x ) = ln x +1- 1 ( x > 0 )，则h '(x ) = 1 + 1 = x +1
> 0 ，∴ h (x ) 在(0, +∞) 上单调递增………3 分
x x x 2 x 2
Q h (1) = ln1 +1 - 1 = 0 ，∴当 x ∈ (0,1) 时， h (x ) < 0 ；当 x ∈ (1, +∞) 时， h (x ) > 0 ………4 分
1
∴ f (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增………5 分
(Ⅱ)不等式e x f ( x ) ≥ x + a e x 等价于a ≤
f ( x ) - x ………7 分 e x
令 g ( x ) = x ，则 g '( x ) = 1 - x
，当0 < x <1时， g '(x ) > 0 ，当 x >1时， g '(x ) < 0 ，
e x e
x ∴ g ( x ) = x 在(0,1) 上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减………9 分
e x
又Q f (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，∴ y = f ( x ) - x
在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) e
x 上单调递增，即 y = f ( x ) - x 在 x = 1 处取得最小值- 1
………11 分
e x
e ∴a ≤ - 1 ，故实数a 的取值范围是(-∞, - 1
] ………12 分
e e
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为⎧x = 1 + 2cos ϕ
(ϕ 为参数)，以O 为极点， x 轴非负半轴为极
⎩ 轴建立极坐标系，直线l , l 的极坐标方程分别为θ = θ ，θ = θ0 + π
(θ ∈(0, π) )，l 交曲线 E 于点 A , B ，
1 2
l 2 交曲线 E 于点 C , D .
0 2 0 1 (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
(Ⅱ)求 BC 2
+ AD 2
的值.
解:(Ⅰ)由 E 的参数方程⎧x = 1 + 2cos ϕ
( ϕ 为参数)，知曲线 E 是以(1, 0) 为圆心，半径为2 的圆，
⎩ ∴曲线 E 的普通方程为(x -1)2 + y 2 = 4 ………2 分 令 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ 得(ρ cos θ -1)2 + ρ 2 cos θ 2 = 4 ， 即曲线 E 极坐标方程为 ρ 2 - 2ρ cos θ - 3 = 0 ………4 分
x +1 - 2 - x 2x -1
2x -1 2x -1
(Ⅱ)依题意得l 1 ⊥ l 2 ，根据勾股定理， BC 2 = OB 2 + OC 2 ， AD 2 = OA 2 + OD 2 ………5 分
将θ = θ0 ，θ = θ0 + π 代入 ρ 2 - 2ρ cos θ - 3 = 0 中，得 ρ2
- 2ρ cos θ0 2
- 3 = 0 ， ρ 2 + 2ρ sin θ0 - 3 = 0
………7 分
设点 A , B ,C , D 所对应的极径分别为 ρ1, ρ2 , ρ3, ρ4 ，则 ρ1 + ρ2 = 2cos θ0 ， ρ1ρ2 = -3 ， ρ3 + ρ4 = -2sin θ0 ，
ρ1ρ2 = -3 ………8 分
∴ BC 2
+ AD 2
= OA 2
+ OB 2 + OC 2 + OD 2
= ρ 2 + ρ 2 + ρ 2 + ρ 2 = (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ + (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ
1
2
3
4
1
2
1 2
3
4
3 4
= 4 cos 2 θ0 + 6 + 4sin 2 θ0 + 6 = 16 ………10 分 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分）
已知函数 f (x ) =
的最大值为m ．
(Ⅰ)求m 的值；
(Ⅱ)若a , b , c 为正数，且a + b + c = m ，求证: bc + ac + ab
≥ 1 .
a b c
解:(Ⅰ) f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ 1
} ，
2
Q x +1 - 2 - x ≤ (x +1) - (2 - x ) = 2x -1 ，
⎧(x +1)(2 - x ) ≥ 0 ⎪ 1 1
当且仅当⎨x ≠ 1
，即-1 ≤ x < 或 < x ≤ 2 时取等号………3 分 2 2 ⎩
⎪
2 ∴ f ( x ) ≤
= 1，∴ m = 1 ………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a + b + c =1………6 分
Q bc + ac ≥
a b = 2c ，
bc + ab ≥a c
= 2b ， ac + ab ≥b c
= 2a ………8 分 相加得2(bc + ac + ab
) ≥ 2(a + b + c ) ，当且仅当a = b = c = 1 时取等号………9 分
a b c 3
∴ bc + ac + ab
≥ 1………10 分 a b c
命题人：
审稿人：。