广东省广州六中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

（本试卷共20小题，满分150分。

考试用时120分钟）
第一部分 选择题 (共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，
{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ）
A ．{}2
B ．{}4,6
C ．{}1,3,5
D ．{}4,6,7,8 2．a b a b >若、是任意实数，且,则下列不等式成立的是 （ ） A ．22b a > B ．
1<a b C ．0)lg(>-b a D ．b a )3
1()31(< 3. 一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）
A ．20 ,10 , 10 B.15 , 20 , 5 C .20, 5, 15 D.20, 15, 5
4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且39a a =2
52a ，2a =1，则1a = （ ）
A.
1
2
D.2
5.如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为 （ ） A ． 31 B ． 2
1
C ． 1
D ．6
1
俯视图
6、向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系如下图 所示,那么水瓶的形状是(
)
7．把函数5sin(2)6
y x π
=-
的图象向左平移
6
π
个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐
标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为 （ ） A ．5sin y x = B ．5sin()6
y x π
=+
C ．5sin()12
y x π
=+
D ．5sin(4)12
y x π
=+
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A ．[1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞)
D ．(2，＋∞)
第二部分 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．已知程序框图如右，则输出的i = ． 10．命题“0
0,20R x x ∃∈≤”的否定是 ．
11.曲线13
++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是 ． 12．向面积为S 的三角形ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于
3
S
的概率是 ． 13．函数()f x =的单调增区间为 ．
14．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且
AK =AFK ∆的面积为
三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）
△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，已知c =3，C =60°。

（1）若A =75°，求b 的值；（2）若a =2 b , 求b 的值。

16.（本题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
17.（本小题满分14分）已知函数()f x =
的定义域为A ，
()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B .
（1）求A .
(2)记 :,p x A ∈ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

19、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A B ，两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是
多少？
20．（本小题满分14分）
2*111
{}2,2(1)()n n n a a a a n N n
+==+∈已知数列满足:
（1）求证： 2n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
数列是等比数列，并求出{}n a 数列的通项公式； （2）{},n n n n
n
c T c a =设是数列，{}n n T c 是数列的前n 项的和， 724n T <求证:
广州六中2012-2013学年高二上学期期末考试（数学理）答案
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9． 9 ．10.
,20x x ∀∈>R 11.
410x y --=
5
12.
9
13.0,2([]区间开闭都可以）
14.8
三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴1
6(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6
＝90，…..3分 这6位同学成绩的方差
s 2＝1
6×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差
s ＝7. …..6分
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)
，
(76,72)
，
(72,70)
，
(72,72)
，
(70,72)
，
共
10
种，…………………………………………………….. 9分
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的
概
率
为
4
10
＝
0.4， ……………………11分 即
恰
有
1
位
同
学
成
绩
在
区
间
(68,75)
中
的
概
率
为
0.4. ……………………12分
18． 解法一：
（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥. 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD
底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面
ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . …………2分
在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，1
2
AB BC AD ==
， 所以
AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA
AC A =， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分
（Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，
证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，
FC ，则
//EF AD
，且
1
2
EF AD =
. 由已知
90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又
1
2
BC AD =
，所以//BC EF ，且BC EF =， 所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF . 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ， 所以//BE 平面PCD . ……………8分 （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，
则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD .过G 作GH PD ⊥于H ， 连结CH ，则PD CGH ⊥面，所以CH PD ⊥
所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角. 设2AD =，则1PA AB CG DG ====
, DP =
.在PAD ∆中，由相似三角形可得：
GH DG PA DP =
，所以GH =.所以
tan CG
GHC GH ∠==
，cos GHC ∠=
.即二面角A PD C --
………………………14分
（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2
BE =-. 设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.
CD PD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n
因为(1, 1, 0)CD =-，(0, 2,1)PD =-，所以0,
20.x y y z -+=⎧⎨
-=⎩
取1x =，则
(1, 1, 2)=n .
所以1
(1, 1, 2)(1, 0, )02
BE ⋅=⋅-=n ， 所以BE ⊥n .
因为BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ………………………………8分
（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.
由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
所
以cos
AB
AB
θ
⋅
===
n
n
.即二面角A PD
C
--的余弦值为……14分
（Ⅱ）设
1122
()()
A x y
B x y
，，，，其坐标满足
2
21
4
1.
y
x
y kx
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，
消去y并整理得22
(4)230
k x kx
++-=，显然△＞0--------6分
故
1212
22
23
44
k
x x x x
k k
+=-=-
++
，．………………………………… 7分
OA OB
⊥
若要，即要
1212
x x y y
+=．而2
121212
()1
y y k x x k x x
=+++， (8)
分
于是
222
12122222
33241
1
4444
k k k
x x y y
k k k k
-+
+=---+=
++++
．
所以
1
2
k=±时，
1212
x x y y
+=，故OA OB
⊥．…………………………10分
当
1
2
k=±时，
12
4
17
x x
+=
，
12
12
17
x x=-．
(
AB x
==12分
而22
212112
()()4
x x x x x x
-=+-
23
22
443413
4
171717
⨯⨯
=+⨯=，所以
465
AB=14分
解法二：先验证2,1=n 时2417<n T ，…… 8分111
332
2n n
n
n c n ≥=≤⋅⋅当时， …… 10分 ∴
23
111
11222322n n
T n =
++++
⋅⋅⋅⋅322
3411(1)11111111122)12328322222
12
n n --≤++++⋯+=++⋅⋅-（ 221111111117(1)28322281224
n -=++⋅-<++=
……… 14分。