2016届高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位

直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故
选 B. 【答案】 B
7/31/2019
4.设 P 表示一个点，a,b 表示两条直线， , 表示两个平面，给出下列四
个命题，其中正确命题的序号是
.
①P∈a，P∈ a ；
②a∩b＝P， b a ；
③a∥b，a ，P∈b，P∈ b ；


平行 相交
5.平行公理：平行于 同一条直线 的两条直线互相平行.
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1.(2014·汕头金山中学摸底考试)已知 a，b 为异面直线，a⊥平面α ，b ⊥平面β .直线 l 满足 l⊥a，l⊥b，lα ，lβ ，则（） A.α 与β 相交，且交线平行于 l B.α ∥β ，且 l∥α C.α 与β 相交，且交线垂直于 l D.α ⊥β ，且 l⊥β 【解析】构造长方体，如图所示，可知α 与β 相交，且交线平行于 l. 【答案】A
7/31/2019
2. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，P，Q，R 分别是 AB，AD，B1C1的中点， 那么正方体的过 P，Q，R 的截面图形是（） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
【解析】如图所示，作 RG∥PQ 交C1D1于 G，连接 QP 并延长与 CB 延长线 交于 M，连接 MR 交 B B1于 E，连接 PE，则 PE，RE 为截面的部分外形.同 理连 PQ 并延长交 CD 于 N，连接 NG 交 D D1于 F，连接 QF，FG. ∴截面为六边形 PQFGRE. 【答案】 D
7/31/2019
【解析】 (1)在四棱锥 PABCD 中， ∵PO⊥平面 ABCD， ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，即∠PBO＝60°. ∵BO＝AB·sin 30°＝1， 又 PO⊥OB， ∴PO＝BO·tan 60°＝ 3.
∵底面菱形的面积 S＝2× 3×22＝2 3. 4
又 A1B∥ D1C，
所以 A1B 与 EF 所成的角等于 B1 D1与 D1C 所成的角.
因为△ D1 B1C 为正三角形，
所以∠ B1 D1C＝π 3.
故
A1
B
与
EF
所成角的大小为
3
【答案】 3
7/31/2019
平面的基本性质及平行公理的应用
1.点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共 点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上. 2.线共点问题 证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条 直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 3.证明点线共面的常用方法 （1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. （2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元 素确定平面 β,最后证明平面 α、β 重合.
A.30°
B.50°
C.60°
D.90°
【解析】 （1）过空间一点 O 分别作 a′∥a,b′∥b.将两对对顶角的平 分线绕 O 点分别在竖直平面内转动，总能得到与 a′,b′都成 60°角的直 线.故过点 O 与 a,b 都成 60°角的直线有 4 条，从而选 D. （2）过点 O 分别作 a′∥a、b′∥b，则过点 O 有三条直线与 a,b 所成角 都为 60°，等价于过点 O 有三条直线与 a′,b′所成角都为 60°，其中 一条正是 θ 角的平分线.从而可得选项为 C. 【答案】 （1）D（2）C
GE＝ 13 .GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所成 4
的角.同理，GH＝ 1 ，HF＝ 3 ，GH∥AD，HF∥BC.
2
2
又∵AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，
∴GF2 GH 2 HF2 1.在△EFG 中， EG2 EF2 1 GF2 ，
∴∠GEF＝90°，即 AC 和 BD 所成的角为 90°.
推论 3：经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系 （1）平行定义：同一平面内， 没有 公共点的两条直线. （2）相交定义：同一平面内，有且只有 一个 公共点的两条直线.
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（3）异面 ①定义：不同在 任何 一个平面内的两条直线.
②异面直线所成的角：设 a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角 叫做异面直线 a,b 所成
7/31/2019
【变式训练】3.在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB ＝60°，对角线 AC 与 BD 交于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.
7/31/2019
【变式训练】 2.（1）已知异面直线 a,b 所成的角为 70°，则过空间一定
点 O，与两条异面直线 a,b 都成 60°角的直线的条数为（ ）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
（2）异面直线 a,b 所成的角为 θ,空间中有一定点 O，过点 O 有 3 条直线
与 a,b 所成角都是 60°，则 θ 的取值可能是（ ）
7/31/2019
如图，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、 AD 的中点，G、H 分别在 BC、CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E、F、G、H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P. 求证：P、A、C 三点共线．
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证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点，∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
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直线位置关系的判定
证明两直线为异面直线的方法： (1)定义法(不易操作)． (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由 假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条 直线异面． （3）一个常用结论 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不 过该点的直线是异面直线，如图.
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3.给出下列四个命题： ①没有公共点的两条直线平行； ②互相垂直的两条直线是相交直线；
③既不平行也不相交的直线是异面直线；
④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数 是（ ）
A.1
B.2
CHale Waihona Puke 3D.4【解析】 没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直 的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面
∴四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD＝13×2 3× 3＝2.
(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF.
∵E 为 PB 中点，∴EF∥PA.
∴∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角)．
在 Rt△AOB 中，AO＝AB·cos 30°＝ 3＝OP，
∴在 Rt△POA 中，PA＝ 6，∴EF＝ 6. 2
线 BD＝ 13 ，AC＝ 3 ，求 AC 和 BD 所成的角.
2
2
7/31/2019
【解析】作平行线，找出与异面直线所成的角
相等的平面角，将空间问题转化为平面问题.
如图所示，分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、
F、G、H，连接 EF、FH、HG、GE、GF.由三
角形的中位线定理知，EF∥AC，且 EF＝ 3 ，GE∥BD，且 4
【答案】③④
7/31/2019
5.(2014·成都模拟)在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别是棱A1B1，
A1 D1的中点，则 A1B 与 EF 所成角的大小为
.
【解析】如图，连接 B1 D1， D1C，B1C.
由题意知 EF 是△ A1 B1 D1的中位线，
所以 EF∥ B1 D1.
7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质 （1）公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线 上所有的点都在这个平面内. （2）公理 2：如果两个不重合的平面有 一个公共点 ，那么它们还有 其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. （3）公理 3：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面. 推论 1：经过 一条直线和这条直线外一点 ，有且只有一个平面. 推论 2：经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面.
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
∴P、A、C 三点共线．
7/31/2019
【变式训练】 1.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 AB 的中点，F 是 AA1 的中点． (1)求证：E、F、D1、C 四点共面； (2)求证：CE、D1F、DA 三线共点． 【证明】 (1)如图，连接 A1B，EF，CD1.∵EF∥A1B， CD1∥A1B，∴EF∥CD1.故 E、F、D1、C 四点共面． (2)在平面 EFD1C 内，由于 EF≠CD1， 所以 CE 与 D1F 必相交．设 CE∩D1F＝P， ∵D1F 在平面 A1ADD1 内，∴P 在平面 A1ADD1 内． 同理，P 在平面 ABCD 内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上，即 CE、D1F、DA 三线共点．
在正△ABD 和正△PDB 中，DF＝DE＝ 3，
在△DEF 中，由余弦定理，
6
得 cos∠DEF＝DE22＋DEE·F2－EFDF2＝（
3）2＋ 2×
2 2－（ 3× 6
3）2
2
6 ＝ 4 ＝ 2，
32 4
即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 2. 4
1.主要题型的解题方法 （1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面， 再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）. （2）要证明“点共线”可将线看做两个平面的交线，只要证明这些点都 是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 （1）判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该 点 B 的直线是异面直线. （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而 可得两线异面. 3.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是（0°,90°］.
7/31/2019
如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的 中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由． (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
7/31/2019
【解析】 (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A∥D1D，而 D1D∥C1C， ∴A1A∥C1C，∴A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC，∴A、M、N、C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线． (2)是异面直线．理由：假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内，则 B∈平面 CC1D1，C∈平面 CC1D1.∴BC⊂平面 CC1D1， ∴B∈平面 CC1D1D，这与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾． ∴假设不成立，故 D1B 与 CC1 是异面直线．
④ ∩ ＝b，P∈ ，P∈ P∈b.
【解析】当 a∩ ＝P 时，P∈a，P∈ ，但a ，∴①错； ∩ ＝P 时， ②错；如图∵a∥b，P∈b，∴Pa，∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 ， 又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 P，∴ 与 重合， ∴b ，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.
7/31/2019
异面直线所成的角
求异面直线所成的角的一般步骤是：一作，二证，三计算；作出异 面直线所成的角的方法是“平移法”，常常使用特殊位置的点，如利用线 段的中点或线段的端点等进行平移，利用图中已有的平行线进行平移， 利用补形的方法进行平移等，通常将角放在某个三角形中.
在空间四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，BC＝ 3且 AD⊥BC，对角
的角（或夹角）.③范围：
0，π2
.
【思考探究】如何判断两直线是异面直线？
提示：（1）可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内. （2）利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直
线是异面直线”去判断.
平行
3.直线与平面的位置关系

相交

在平面内
4.平面与平面的位置关系