诱导公式两角和与差

-y)正弦余弦诱导公式 一、复习引入：
诱导公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+k
ααcos )360cos(=︒⋅+k
ααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）
用弧度制可写成
απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果
这组公式可以统一概括为))(()2(Z ∈=+k f k f απα的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正
由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础
3．运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
︒=+︒80sin )280sin(πk ，3
cos
)3603
cos(
π
π
=︒⋅+k 是不对的．
二、讲解新课：
公式二： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）
它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设α的终边与单位圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x,
所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α．
公式三： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）
它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可
得
sin α=y ， cos α=x,
sin(-α)=-y, cos(-α)=x,
所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α
公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P ´与点P 关于原点对称，而在图2中，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性． 公式四： 用弧度制可表示如下：
ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）
公式五：
αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）
这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．
五组诱导公式可概括为：
α+k ·360º（k ∈Z ），-α，180º±α，360º-α的三角函数值，等于α的同名函
数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原角原函数的符号．
诱导公式6：
sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.
tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α.
sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α
诱导公式7：
sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.
tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α.
sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α
如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = co s α
cos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α
或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos α
cos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α
诱导公式8：
sin(270︒ -α) = -cos α, cos(270︒ -α) = -sin α. tan(270︒ -α) = cot α, cot(270︒ -α) = tan α. sec(270︒ -α) = -csc α, csc(270︒-α) = sec α 诱导公式9：
sin(270︒ +α) = -cos α, cos(270︒ +α) = sin α.
tan(270︒ +α) = -cot α, cot(270︒ +α) = -tan α.
sec(270︒ +α) = csc α, csc(270︒+α) = -sec α
两角和与差的正弦、余弦、正切
一、复习引入： 平面上的两点间距离公式
1．数轴上两点间的距离公式 21x x d -= 2．平面内任意两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离
公式
从点1P ，2P 分别作x 轴的垂线1P 1M , 2P 2M 与x 轴交于点1M (1x ,0), 2M (2x ,0) 再从点1P ,2P 分别
作y
轴的垂线1P 1N , 2P 2N 与y 轴交于点1N , 2N 直线1P 1N , 2P 2N 与相交于Q 点则：
1P Q=1M 2M =|2x -1x |
Q 2P = 1N 2N =|2y -1y | 由勾股定理：
2122122221221||||y y x x QP Q P P P -+-=+=212212)()(y y x x -+-=
从而得),(111y x P ，),(222y x P 两点间的距离公式：
2
1221221)()(y y x x P P -+-=
3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB
解：1314425)57()14(22=+=--++=AB
二、讲解新课：
1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+ 反例：6
cos
3
cos
)6
3
cos(
2
cos
π
π
π
π
π
+≠+
=
问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角
坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形 4．探究：写出4个点的坐标
)0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP
))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，
5．计算31P P ，42P P
31P P =[])(sin 1)cos(22βαβα++-+ 42P P =
[]22)]sin([sin )cos(cos βαβα--+--
6．探究 由31P P =42P P
导出公式 []
2
2cos()1sin ()αβαβ+-++[][]
22
cos()cos sin()sin βαβα=--+--
展开并整理得)sin sin cos (cos 22)cos(22βαβαβα--=+- 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 可记为 )(βα+C 7．探究 特征
①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用 ③公式记号)(βα+C 8．探究 cos(α-β)的公式
以-β代β得：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 公式记号)(βα-C 两角和与差的正弦
推导sin(α+β)=cos[
2π-(α+β)]=cos[(2π
-α)-β] =cos(2π-α)cos β+sin(2
π
-α)sin β
=sin αcos β+cos αsin β
即： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ （S α+β） 以-β代β得： βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- （S α-β）
1tan(α+β)公式的推导
∵cos (α+β)≠0
tan(α+β)=
β
αβαβ
αβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=
++ 当cos αcos β≠0时, 分子分母同时除以cos αcos β得：
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+
以-β代β得：β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
其中βαβαβα+∈∈,,,,R R 都不等于Z k k ∈+,2
π
π
2．注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）
用诱导公式来解
2︒注意公式的结构，尤其是符号
3．引导学生自行推导出cot(α±β)的公式—用cot α，cot β表示
cot(α+β)=
β
αβαβ
αβαβαβαsin cos cos sin sin sin cos cos )sin()cos(+-=
++ 当sin αsin β≠0时,cot(α+β)=
α
ββαcot cot 1
cot cot +-
同理，得：cot(α-β)=α
ββαcot cot 1
cot cot -+
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin
4
5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－
3
4π
)；(2)cos(－60º)－sin(－210º)（﹣，+，锐） 例3．化简
)
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα
例4 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=
例5的值。

求)4
(cos )4(cos 22α+π
+α-π
补充题：
１．求值：︒-︒-+︒1065
sin )225cos(915sin ２．化简：)
(cos )2tan(cos )cos()(sin 3
2πααπα
αππα--⋅++⋅-- ３．已知31)sin(=
+πα，2
3παπ<<，则)2cos(πα--的值是_____． ４．设f (θ)=)
cos()7(cos 221
)cos(2)(sin cos 22
23θθππθπθθ-++++---+-，求f (3π)的值． 5．求证：
Z k k k k k ∈-=α+π+α+π+α+πα-π,1]
)1cos[(])1sin[()
cos()cos(
6．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求
)
sin()2
3sin(2)
2cos(5)sin(ααπ
απαπ----+-的值。

7．已知的值。

求
)
cos(1,cos |)cos(|,)tan(
2
απααπαπ+-=-=-a
两角和与差:
例1 计算① cos105︒ ②cos15︒ ③cos 5πcos 103π-sin 5
πsin 103π
例2已知sin α=
53
，cos β=13
12求cos(α-β)的值例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=7
3
4,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值
1．已知cos(α-β)=3
1,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值
2．sin α-sin β=-21，cos α-cos β=21，α∈(0,
2π),β∈(0, 2
π
),求cos(α-β)的值 2已知sin(α+β) =
21，sin(α-β) =101，求β
α
tan tan 的值 23 1已知sin α + sin β =
22，求cos α + cos β的范围（214-≤t ≤2
14
） 例1不查表，求下列各式的值：
1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒
例2 求证：cos α+3sin α=2sin(
6
π
+α) 例3 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52 求β
αtan tan 的值 两角和与差正切
例2 已知tan α=3
1
，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒
例3 求下列各式的值：
1︒
75tan 175tan 1-+ 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒
１ 已知.2,3
1
-==
βαtg tg （１）求)(),(βαβα-+tg tg ；
（２）求βα+的值（其中 18090,900<<<<βα）． 分析：
（１）观察（βα±T ）的结构，直接代入公式；若改求)(βα-ctg 呢？
（２）由（１）直接运用公式（βα±T ）容易求出)(βα+tg 的值．但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的．因此，
必须根据已知条件进行分析，这就要确定βα+的范围．
1 设βαtg tg ,是一元二次方程)0(02
≠=++b c bx ax 的两个根，求)
(βα+ctg 的值．
已知βαtg tg ,是一元二次方程0222
=--x x 的两个根，求)(βα+tg 的值．。