基于建构式下的解题探究尝试

-x1,
1 2
-y1
BN=
-x2,
1 2
-y2
.
由∠A NB= 仔 得A N.BN=0, 即A N.BN= 2
( ) ( ) x1x2+
y1-
1 2
y2-
1 2
=x1x2+y1y2-
1 2
.(y1+
y2)+
1 4
=0.
分析：由式中x1x2,y1y2,y1+y2的结构特 点联想到韦达定理, 又A,B两点为直线
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的情景下,尽管三角形在变,但三角形 所在的外接圆是稳定的,圆是一个对称 图形,利用这个对称性,可以把上述问 题全部归源于正三角形下的最值. 通过 建构式编制,学生也清晰地了解三角函 数背景下的最值问题的导向,有利于知 识的巩固和运用.
总之,建构式教学不仅用于概念课 等课堂教学,我们也可以将其用于解题 教学的尝试,将理论用于全新的教学实 践是对自身教学的一种充实,也提高了 教学的效率. 限于水平, 本文不足之处 请读者指正师将一个问题搬出了多种解答,殊不
知很多解法是无益的﹑低效的,因为这
些方法并不是学生亲身实践的产物,只
是教师一厢情愿的展示而已. 只有经
历学生的思考过程,站在学生角度建构
解决方法, 才是有生命力的﹑ 有效的.
所以,笔者认为解题教学要给予学生充
分的思考时间,否则将会是低效甚至无
直线方程为：x0x+y0y=r2. 具体解题过程：学生求解,教师巡
堂.
解析：设A (x1,y1),B(x2,y2),将y2=r2x2两 边 对 x 求 导 得 2yy ˊ = - 2x , 于 是 有 y ˊ =
-x, y
所以切线lMA：x1x+y1y=r2,lMB：x2x+y2y= r2,
设M(x0,y0),则切点弦A B所在直线
条件分析：(1)已知圆方程,易得以
A ,B为切点的切线方程；(2)求轨迹方程 需找等量关系,由∠A NB= 仔 可得A ,B坐
2 标的关系,进一步求切点弦A B所在直线 方程,从而获解.
y
N
O
Bx
A
M
图1 难点和关键点：求出切点弦A B所在 的直线方程. 学情分析：学生已明确过圆上一点 的切线方程的求法,但对结论的应用还 不够熟练. 平时应结合圆与圆锥曲线在 曲线上某点处的切线方程的推导,使学 生能熟记切线方程的统一形式,并灵活 应用. 建构式解题过程 读题：教师展示：请大家认真读题 和观察题目所给的图,找出已知条件并 明确需求什么. 审题：引导学生分析和辨别. 建构式活动1：如何求轨迹方程？
﹛ 线MA ,MB上,则 x0x1+y0y1=r2, x0x2+y0y2=r2. 两式表示A (x1,y1),B(x2,y2)两点都 在直线x0x+y0y=r2上, 即切点弦 lAB：x0x+ y0y=r2.
小结：
过圆C：x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切 线方程为：x0x+y0y=r2；
过圆C：x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆 的切线,切点为A ,B,则切点弦A B所在
,所 以 切线 MA
的 方程 为 y -y1=
-
x1 y1
(x-x1).
建构式法三：设A (x1,y1),B(x2,y2),
将y2=r2-x2两边对x求导得2yyˊ=-2x,于是
有yˊ=- x , y
所以切线MA
的方程为y-y1=-
x1 y1
(x-
x1),即x1x+y1y=x21 +y21 =r2, 同理lMB：x2x+y2y=r2. 又M(x0,y0)在直
3 2
,√
3
.
建构式编制2：若b =2 √ 3 ,求ac 的 最大值.
建构式编制3：若b =2 √ 3 ,求a2+c2 的最大值.
建 构 式 编 制 4： 若 b =2 √ 3 , 求 △A BC的面积的最大值.
建构式编制5：若b =2 √ 3 ,求三角 形边b所在高的最大值；
说明：笔者请学生参与同类型问题 的编制, 发现尽管围绕着三角形边a,b, 可以变化得到不同的问题方式,但殊途 同归,无论怎么变化,最后都是在同一 个特殊的三角形下确定其最值问题. 而 这个最值的确定,就是在这样一个特殊
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基于建构式下的解题探究尝试
田宇龙 江苏南通中学 226001
谊 摘 要：建构式教学是新课程理念下的一种教学实施方式,尽管按照学情而言,一味建构是不可取的,但是
中
在某些概念课、复习课等课堂教学时,在启发式中渗透建构式教学是教师教学的一种尝试. 本文将
等 教
从解题的角度出发,谈谈在解题教学中建构式教学的运用和尝试.
建构式教学源自美国现实主义教育家杜威的教育理论强调学生学习的自我开拓性自主研究性通过学生自己的探索和建构形成知根据现阶段学情而言我国中学生要完全脱离教师的启发而实施建构式教学有一定的困难但是在教师引导下结合启发式和建构式的教学是完全可以实施的
投稿邮箱：sxjk@
数学教学通讯（中等教育）
2 的交点M的轨迹方程.
试题背景：本题改编自江西高考理 科第14题,切点弦方程是解析几何中的 热点问题, 也是高考命题热点之一. 随 着导数的引入, 它的内涵更加丰富. 本 课从圆的切点弦入手,通过对圆的切点 弦的证明及运用,用类比的思想使学生 易于解决与椭圆﹑双曲线﹑抛物线等常 见曲线的切点弦有关的问题. 让学生感 受到数学知识的内在统一与和谐之美.
随着近年新课程教学诸多全新的 教学理念渗透进我们的课堂,解题教学 也有了诸多全新尝试. 建构式教学源自 美国现实主义教育家杜威的教育理论, 强调学生学习的自我开拓性﹑自主研究 性,通过学生自己的探索和建构形成知 识. 根据现阶段学情而言, 我国中学生 要完全脱离教师的启发而实施建构式 教学有一定的困难, 但是在教师引导 下,结合启发式和建构式的教学是完全 可以实施的. 这样的解题教学带来下列 几个方面好处：
(3)建构式并非全部都是有效的, 启发式同样也并非全都无效,高中数学 教学问题相对较多,如何选择有效的渗 透建构式的解题教学需要教师具体把 握.下面,笔者举一个建构式解题教学的 案例,供读者参考：
试题1：设点A 和B为圆周x2+y2=1上
( ) 两动点,且满足与圆内一定点N 0, 1 2 使∠A NB= 仔 ,求过点A 和B的两条切线
则k OA=
y1 x1
,所以kMA=-
x1 y1
,
所以切线MA
的方程为：y-y1=-
x1. y1
(x-x1).
建构式法二：设A (x1,y1),B(x2,y2),
切 线 lMA：y =k 1(x -x1) +y1, 联 列 lMA 与 圆 C 方
程得关于x的一元二次方程, 由驻=0得
k1=-
x1 y1
(上接第 34 页)
能够举一反三,掌握正确的解决问题的
方法. 以变式题的方式开展探究是教师
有目的﹑有计划地对相关的题目进行合
理的变化和拓展,让学生通过分析和解
决变式题的方式来强化思维和习惯,同
时提高学生的学习兴趣,深化学生对数
学知识﹑方法和思想的理解.
例如,已知x〉0,求y= x 的最大值. x2+2
效的.
试题2：在△A BC中,a,b,c分别是角
A ,B,C所对的边, 已知b2-c2=a2-ac. (1)
求B的值；(2)若b =2 √ 3 ,求sinA +sinC 的取值范围.
分析：这是笔者给出的问题,笔者 对第二问进行了学生变式的自主建构, 旨在让学生对三角函数中的常见问题 进行探索、编制、建构.
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( ) 件,则角A 的范围应该为 仔 , 仔 . 范围 62
有了很大的限制, 则sinA +sinC= √ 3 .
( ) sin A + 仔 . 此时仍将A + 仔 看成一个整
6
6
( ) 体,则其取值范围是 仔 , 2仔 ,于是通 33
过对正弦曲线图象的应用, 可以得到
( ] sinA+sinC沂
(1)国家课程改革一直致力于大众 教育和精英教育的有机结合,一直致力 于培养学生的熟练程度,却忽视了精英 学生的培养不是依赖于这种模式的,因 此建构式对于有着积极思维﹑主动性较 强的优秀学生而言, 是越建构越启发,
有助于学生自主解决问题能力的提高； (2)建构式教学模式能提升学生独
立解决问题的能力, 这对学生而言,是 一种全新的尝试和实践,对其将来进入 更高等学府学习是一种能力上的提高；
+
y
2 0
(2).
又∠A NB= 仔 ,由NA.NB=0得, 2
( ) ( ) x1x2+
y1-
1 2
y2-
1 2
=x1x2+y1y2-
1. 2
(y1+y2)+
1 4
=0
(*),
将(1)(2)两式代入(*)式化简得
3x
2 0
+3y20
+4y0-8=0,
所 以 交 点 M 的 轨 迹 方 程 为 3x2+3y2+
是能发挥出学生的学习主体性,通过问 题之间的联系,有效地展开探究,提高 探究的价值和效率.
探究是高中数学的一种重要学习 方式,探究的形式是多种多样的,并不 是一定就是教师给出若干问题,让学生 带着这些问题,围绕某些探究材料进行 探究, 并找到解决问题的方法. 探究在 更广的范围中,体现的是一种主动学习 的态度,是突出学生的主体性地位的一 种学习方式,在实际的教学中可以与多 种教学方式相结合,通过类比﹑归纳﹑发 散和变式题等方式,发挥其应有的作用. 让学生们在训练思维的同时能够提高 探究的能力. 这与新课程改革的目标是 一致的,这指导我们在教学中要以学生 为本,以提高学生的综合能力和素质为 最根本目的,让学生真正学好高中数学.
4y-8=0.
总结提升：
(1) 解 题 方 法 总 结 ： 导 数 法 求 在 曲
线上某点处的切线方程,设而不求法得
切点弦直线方程.
(2) 题 目 变 式 引 申 ： 上 例 中 的 圆 能
否换成其他的圆锥曲线,求解方法是否
相同？ 如椭圆的切点弦直线方程如何求
解？
给出变式建构（过程略）：设点A 和B
A B与圆的交点,故需求直线A B方程. 建构式活动2：A B所在的直线方程
是什么？
教师出示题目：过圆C：x2+y2=r2外一
点M(x0,y0)作圆的两条切线MA ,MB,求 切点A ,B所在直线方程.
分析： 题目还提供了哪些已知条
件？ 图中以A,B为切点的切线方程分别
是什么？
学生建构式解法三种：
建构式法一：设A (x1,y1),B(x2,y2),
为椭圆 x2 +y2=1上两动点, 且满足与圆 2
( ) 内一定点N 0, 1 使∠ANB= 仔 ,求过
2
2
点A 和B的两条切线的交点M的轨迹方
程.
回顾本题,学生对本题的解决建构
是非常丰富的,既有最基本﹑最朴实的
直线解决方式,也有利用代数思想中重
根的解决原理,更有高等数学背景下导
数思想方法的渗透,这些都是学生在尝
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学生：需要找等量关系.
思考：本题的等量关系是什么？ 可
列出怎样的关系式？
学生：∠A NB= 仔 ,可利用向量转化 2
为坐标的运算.
学生求解： 设切点A (x1,y1),B(x2,
( ) ( ) y2),则AN=
解 ：y = x = 1 ≠ 1 =
x2+2 x+ 2
2√ 2
x
√ 2 ,当且仅当x= √ 2 时取等号. 4 变式1：已知x〉0,求y= x+1 的最大 x2+2
值.
变式2：已知a〉0,求函数y= x2+a+1 √x2+a
的最小值. 变式题的教学主要是通过变化题
目中的条件或结论,也可以通过改变部 分条件,但要保持与原题有一定的关联 性和相似性,这样可以让学生用相似的 方法来解决新的问题. 这类问题主要还 是训练学生灵活解决问题的能力,在问 题的表象出现变化之后,还能抓住问题 的实质,通过对问题的本质的分析找出 正确的解题方法. 变式题教学是训练学 生思维能力的有效方式,不仅可以让学 生学会举一反三,还可以在发散思维的 拓展过程中进行归纳和聚合,让学生的 思维能有效地进行发散和聚合. 这一散 一合的过程, 就是对思维最好的锻炼. 变式题融入学生的探究学习活动中,更
建构式编制1： 若b=2 √ 3 ,△A BC 为锐角三角形,求sinA +sinC的取值范围.
分析1：在上述的解法过程中,正是 由于三角形的任意性,故满足条件的角
( ) A 的范围为 0, 2仔 ,但如果将△ABC限 3 制为锐角三角形,那么,此时要满足条
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育 关键词：建构式；解题教学；启发式；解析几何；圆；三角；探究
众所周知,解题教学于学生而言是 数学学习的核心. 学生对于数学问题的 解决﹑方法选择的优劣﹑运算和思维的 辨别等都依赖于长期的数学解题训练. 长期以来,解题教学是以大量的重复训 练来代替思维训练,以不断的熟练操作 替代数学概念学习的本质,通过训练来 了解数学概念﹑数学知识,这些做法都 是低效﹑死板的.
方程为x0x+y0y=r2,
代 入 x2+y2= 1 得
(
x
2 0
+y
2 0
)
x2-
2x0x
+1
-
y2 0
=0,
则x1+x2=
2x0
x2 0
+
y2 0
,
x1x2=
1-y
2 0
x
2 0
+
y
2 0
(1).
将(1)式代入A B直线方程得y1+y2=
2y0 ,
x
2 0
+y
2 0
y1y2=
1-x
2 0
x
2 0