数理分析方法习题.doc

“数理分析方法”习题2015.4
1、什么是凹函数、严格拟凹函数和拟I叫函数？试以y=f(x1? xj为例说明如何判断一个函数的
凹性。

举出一个是严格拟凹函数但不是凹函数的例了，并说明谈谈凹函数这种形式在经济学分析方法小的应用。

谈一•谈拟凹函数的经济意义。

答：(1)凹函数的定义
Rn内的凸集S上的函数f(x) =f(xl,...,xn)在S上是凹的，如果
f(Xx + (l-X )x0) 2 Xf(x) + (l-l)f(x0)
对于所有x,x0 es以及所有入e(o,l)成立。

(2)严格凹函数
f(x)是严格凹的，如果f(x)是凹的，并且当x0 H x时，不等号严格成立，即对于所有的X e(o,l),有：f (kx + (1-X )x0) > Xf (x) + (1-1) f (x0)
(3)严格拟凹函数
f(x)是在Rn屮开凸集S上的严格拟凹函数，当且仅当
f (x) N f (x0 )=> f (Xx + (1—1 )x0 ) > f (xO )
对于所有x丰xO WS和所有入W[0,l]成立。

(4)f (x)是在Rn中开凸集S上的拟凹函数,当且仅当对于所有属于S的xl与x2,
以及所有t e[0,l],有：f(xt) = f(txl+(l-t)x2) 2 min[f(xl ),f(x2 )]
2、偏好关系的严格单调性和凸性的数学定义是什么？经济学含义是什么？
3、设f(x[9x2) = Ax l a x2fi ,其中A,a,j3 > 0 ,定义域为> 0,试证明：当仅当a + 0 v1吋这个函数在
其定义域上是严格凹的。

4^假定消费者的效用函数为:y = \x2,此消费者面临的约束为:2x} + 3x2 < 100 , 西+4兀2 5 80。

试求解此消费者效用最人化的消费束和约束的影子价格。

5、求解下面的非线性规划问题：
max y = x2
s.t. +x2 < 10
%!+2X2< 18
x, ,x2 > 0
6、求解下面的成本最小化问题:
min wL + rK + vR
s.t. R a（L + bK）c-y>0
R 丄,K»0
其中/?为原材料、L为劳动、K为资本；a,b,c>0, Q + cvl。

解释该问题中的生产函数。

7、设某种稀缺资源的总供给是y,其共冇兀中不同的用途：
max /iU ）+厶（兀2）+・・・+九（£）
•X］,・丫2 5* • • n
< s.t.兀［+ 兀2 + ... +兀】W y
x} > 0,x2 > 0, .......... ,x n > 0
试求这一问题的K・T条件，并对它们作出解释。

8、一个主产者，以r的价格租赁机器K,以w的工资雇佣劳动L,生产产出Q,具屮
Q =4K+4L.
（1）给定产量为Q时，求其成木最小化的条件要素需求。

即求解最优化问题
min rK + wL
s,t.y［K +VL = Q
（2）计算条件要素需求的价格效应矩阵。

（3）证明其拉格朗日乘子为：A = 2vvr2/（vv + r）,说明拉格朗Fl乘子的经济含义。

9、求解下而不等式约束最优化问题：
■
max x x + x2
（p ） * （兀］—1）~ +兀;51
兀 + （兀2 — 1）— 1
10、假定某消费者面临Cobb-Douglas 效用函数：U（x^x2） = x{a x2l~a , OVGVl；x},x2
分别表示商品1和商品2的消费数量。

消费者的预算约束为：p}x} + p2x2 < y ,其屮
p{, p2分别表示商品1和商品2的价格，y表示消费者的收入水平。

假定消费者的冃标
是在预算约束条件下选择消费來授大化其效用水平，试求解此优化问题。

11、假定某消费者面临CES效用函数：2心］,兀2）=（兀1" +兀2町"，其中Q V 1且p H 0 ；XpX2
分别表示商品1和商品2的消费数量。

消费者的预算约束为：p{x{ + p2x2 < y ,其中
P\,P2分别表示商品1和商品2的价格，y表示消费者的收入水平。

假定消费者的目标是在预算约朿条件下选择消费來最大化英效用水平，试求解此优化问题。

12、考虑消费者的效用最人化问题:
隰严)
s. t.p • c < y
其中班c)在碑上是连续且严格递增的，并且(p,y)»Oo记上述问题的最优解(马歇尔需求)为c*(p,y)>>0,最优值函数(间接效用函数)为v(p,y)。

请写出上述问题的对偶问题，即消费者的支出最小化问题，并记此对偶问题的最优解(希克斯需求)为/1*(卩宀), 最优值函数(支出函数)为e(p,u)。

试证：(1) c*(p,y) =/i*(p,v(p,y))；(2) = c*(p,e(p,u))。

13、考虑消费者的效用最人化问题:
評(c)
Is. t.p • c < y
其中“(c)在碑上是连续且严格递增的,并且(P，y) » 0。

(1)试求解上述问题，即给出问题的一阶和二阶条件。

(2)请写出上述问题的対偶问题，即消费者的支岀最小化问题；
(3)针对上而的这一组对偶问题，给出间接效用函数和支出函数的定义。

(4)试说明给定效用水平u的希克斯需求与给定收入水平e(p,u)的马歇尔需求是一样的。

14、试将CES效用函数：乙心|,£)=(州“+兀2町"，其中pvl且°工0,转换为间接效用函数，并
证明：间接效用函数是关于价格和收入水平的零次齐次函数、关于收入水平的增函数以及关于价格水平的减函数。

15、山CES直接效用函数推出対应的希克斯需求函数和支岀函数。

16、对于CES形式的直接效用两数：心］，兀2 )=6"+兀2町"，其中°<1几"0，试从它对应的
间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。