小学数学生本课堂教学中的放与收——以小学数学等积变形策略为例

小学数学生本课堂教学中的放与收——以小学数学等积变形策略为例
摘要：等积变形是小学阶段图形与几何这一板块需要掌握牢固的十分重要的
思想方法之一。

在一些较为复杂的几何问题中，用等积变形的思想可以化繁为简。

那么如何向学生渗透这一思想，如何在具体问题中应用等积变形达到化繁为简的
目的，这是本文要探讨的内容。

关键词：等积变形深化理解何时点拨何时放手
等积变形中用一句话总结就是形变积不变，“积”主要包含面积和体积，有
时候也包含容积。

对等积变形这一思想在小学阶段应用的最多的是平面图形的面积推导。

教师
要引导学生用已经掌握的图形面积的公式推导新图形面积的计算公式，在已有知
识的基础上进行新平面图形的面积推导。

在平面图形面积公式推导教学过程中，
引导学生动脑、动口、动手，引导学生自主探究、自主学习，运用好转化等思想，发展学生的空间观念，培养学生学习数学的浓厚兴趣，把知识学得更牢固。

在学
生动脑、动口、动手过程中大胆地放手让学生去开展。

教师可以多走动到每个小
组里观察，适时地给予帮助和引导。

此外，很多几何习题应用等积变形的思想去解决，在保持图形面积不变的前
提下，将复杂的不规则图形通过平移、旋转、割补等方法转化成我们熟悉的一般
性的规则图形。

将复杂问题化繁为简。

一、结合教材渗透思想
在北师大版小学数学的教材中，隐藏在表面知识下面的，是书后的思想方法。

因此数学知识的学习不可以浮于表面，还需要感知和渗透思想方法。

等积变形这一思想用得最多的是几何类问题，尤其是在平行四边形的面积、
三角形的面积、圆的面积，以及几何形体的体积计算公式的推导过程中，每块知
识里都能看到等积变形的身影。

所以我们要在学习过程中让学生多感受“等积变形”的思想特点。

在教学时，我们应该多去结合学生的生活经验和已掌握的知识，给学生呈现
贴合生活实际，可以激发起探索兴趣的材料，组织尽可能多的实践活动和交流，
引导他们去自主探索合作以及交流。

每个学生都是不同的个体，所以探究思考出
的结果也是多元化的，我们要把控好学生多样化的学习需求。

这里，简要举例平行四边形面积公式的推导：在教学平行四边形面积的时候，基本上都有这样几个环节：一是让学生利用手中的平行四边形和剪刀，通过折一折、剪一剪、拼一拼，想办法求出平行四边形的面积；二是指导学生利用割补的
方法，把平行四边形转化成长方形，求出长方形的面积也就求出了平行四边形的
面积。

这一过程可以小组来整合发言上台分享，讲述完后，可以给一点时候教师
或者学生提出补充，教师再进行总结。

在这过程中，无论学生说得哪里有问题，
让学生讲完，记下几处有疑问的地方，在总结的时候提出来。

平行四边形的面积
公式同样如此。

这时等积变形的思想方法处于初步阶段，并没有进行提炼。

只是让学生在一
步一步的反思过程中通过观察、比较、感悟到这一数学思想方法。

三角形：将三角形变换成平行四边形。

梯形：同理，还是将梯形转化成已经学过的图形，用前面已知图形的面积计
算公式推导梯形面积计算公式。

圆：把圆平均分成若干份再组成近似长方形。

教材分析和各类指导用书中对以上三种推导已经做的比较详细，这里不作强调。

要想让学生生成一个新的数学思想，必须要进行适量的数学活动，让学生通过自主探索来达成这一目标。

在平时的教学中，我们可以结合教材中的例题和习题，在学生探索的过程中逐步生成“等积变形”的思想，培养学生学习的能力。

二、引导学生自主生成思想
（一）在实践应用中深刻体验“等积变形”。

我们在三角形面积计算公式的推导中会引导学生将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，可以引导学生经过旋转、平移去实现。

推出三角形的面积就是新拼成的平行四边形面积的一半。

让学生自己动手画一画，引导学生自主探索讨论合作交流，对最终得出的结论再进行讨论指导。

（二）形成方法，建立等积变形的思想。

学习圆面积时，老师们指导学生自己动手，还有通过电脑课件演示，把一个圆剪开拼成近似的长方形，抓住“形状变了，面积不变”的实质，从长方形面积公式推导出圆面积计算公式。

学生在小组活动中多去感受“等积变形”，在教学活动中多参与，多思考，多交流，这个新名词就能深入理解了。

三、等积变形在几何类问题中的解题策略
（一）平移
例:如图，半圆O以点O为圆心，以AB为直径。

C和D是弧AB的三等分点，点E为线段AB上不确定的一点。

已知圆AO长为1，求图中阴影部分的面积？
分析：这个题目中的阴影部分的面积也是不规则的，但是因为C，D是弧AB
的三等分点，连结CD、OC、OD 后很容易得到AB‖CD。

在弓形面积不变的情况下
点E在向点O平移的过程中△ECD形状改变但面积不变。

所以阴影部分的面积就
等于半圆面积减掉60度扇形的面积即等于１２０度扇形的面积。

（二)旋转
例：在矩形ABCD中，BC=2DC=8，半圆O以AB为直径并与DC相切，切点为E，求暗影部分的面积？
分析：见切点连圆心，连接OE交DB于点F。

△DEF与全等。

以点F为中心
将△DEF顺时针或逆时针旋转可以将它与△DBF重合，阴影部分的面积就等于圆
面积的四分之一。

（三)对称
例：在每个小格边长为1的方格纸上利用圆规作出如图所示的图形。

图中阴
影部分面积是多少？
分析：左侧的阴影部分与右侧的空白部分相对应，所以阴影部分可以通过折
叠组合成两个半圆环和一个半圆，结果不难得出。

学生如果已经掌握“等积变形”这一思想方法，能够运用这一新的数学思想去思考问题。

一种新的思维模式已经在学生的脑海里生成，“等积变形”可以说是完全掌握了。

等积变形属于图形与几何这一大板块，需要生成足够的抽象能力。

而培养这样的能力并没有多难多深奥，只要我们在平时的教学中注重教学细节，设计合理的教学活动引导学生去思考，去探索和交流，长期以往，具备这样的能力是必然的。

注释：
《小学数学“等积变形”思想方法的形成》滕昌英。

浙江省颁发的《小学数学学科教学规范》。

《等积变形的策略》张廷芳。

云南省昆明市“十三五”教育科研重点课题《新时代背景下十二年一贯制学校高效课堂教学模式的实践研究》研究成果，编号：ZZ18016。