高三数学12月月考试题 文含解析 试题

2021年秋四中高三12月考试数学〔文科〕试题
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

说明：本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填在机读卡上
第二卷可在各题后直接答题。

全卷一共150分，考试时间是是120分钟.
第I卷(选择题一共60分)
一．选择题(本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分)
1.设全集为R，函数的定义域为M，那么为〔〕
A. (－∞，1)
B. (1，＋∞)
C. (－∞，1]
D. [1，＋∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数f〔x〕的定义域M，再写出它的补集即可．
【详解】全集为R，函数的定义域为
M＝{x|0}＝{x|x1}，
那么∁R M＝{x|x<1}＝(－∞，1)．
应选：A．
【点睛】此题考察了补集的定义与应用问题，是根底题目．
，那么的值是〔〕
A. 3
B.
C. 5
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．
【详解】由z＝，得z•〔2﹣i〕〔2+i〕＝4﹣i2＝5．
应选：C．
【点睛】此题考察了复数代数形式的乘法运算，是根底的计算题．
3.“1＜x＜2〞是“x＜2〞成立的〔〕
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：假设成立，那么成立；反之，假设成立，那么不一定成立，因此“〞是“〞成立的充分不必要条件；
考点：充分必要条件；
4.,那么值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合诱导公式求得的值，然后求解其平方即可.
详解：由诱导公式可得：，
那么.
此题选择D选项.
点睛：此题主要考察诱导公式及其应用，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
的图象大致是〔〕
【答案】A
【解析】
试题分析：因为,所以函数为奇函数，图像关于原点对称,故排除BC,当时，,故排除D．故A正确．
考点：函数图像．
6.为两个平面，l为直线，假设，那么下面结论正确的选项是〔〕
A. 垂直于平面的平面一定平行于平面
B. 垂直于平面的平面一定平行于平面
C. 垂直于平面的平面一定平行于直线
D. 垂直于直线l的平面一定与平面都垂直
【答案】D
【解析】
因为相交不一定垂直，所以垂直于的平面可能与平面相交，A不正确；
垂直于直线的直线可能在平面内，B不正确；
如图可知，垂直于的平面与垂直，C不正确；
设，而，由面面垂直断定可得，D正确，应选D
表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，那么此点到坐标原点的间隔大于1的概率
是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由表示的平面区域为，为一个边长为1的正方形，而在内随机取一个点，那么此点到点的间隔大于1，可转而找出到点的间隔小于等于1的点为；以为圆心，半径为1的圆，落在内的面积为，而间隔大于1的面积为：，由几何概型，化为面积比得：．考点：几何概型的算法．
8.，〔〕，那么数列的通项公式是〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，得：，
∴为常数列，即，故
应选：C
与在区间上都是减函数，那么的取值范围〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
略
f(x)＝x2－2x－4ln x，那么f′(x)＞0的解集为〔〕
A. (0，＋∞)
B. (－1，0)∪(2，＋∞)
C. (－1，0)
D. (2，＋∞)
【答案】C
【解析】
试题分析：函数的定义域为，所以，解得.
考点：导数与不等式.
中,，假设, 那么的最小值等〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，结合条件可求q，结合通项公式可求m+n，代入所求式子，利用根本不等式即可求．【详解】∵正项等比数列{a n}中，a2021＝a2021+2a2021，
a2021q4＝a2021q2+2a2021，
∵a2021＞0，
∴q4＝q2+2，
解可得，q2＝2，
∴，
∵，
4
q m+n﹣2＝4，
∴m+n＝6，
那么〔〕〔m+n〕，
当且仅当且m+n＝6即m＝n＝3时取等号．
应选：C．
【点睛】此题主要考察了等比数列的性质及根本不等式的简单应用，求解最值的关键是进展1的代换．
，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴〔其中分别为双曲线C的左、右焦点〕，那么该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意设点，，那么，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.
【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，
那么，即，且，
又直线的倾斜角为，
直线过坐标原点，，
，整理得，即，解方程得，〔舍〕
应选D.
【点睛】此题考察双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考察化简整理的运算才能和转化思想，属于中档题.
圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：
1、通过条件构建关于的齐次方程，解出.
根据题设条件〔主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等〕借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.
2、通过条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.
根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.
第二卷〔非选择题90分〕
二．填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕
13.函数f〔x〕=的图象在点〔1，f〔1〕〕处的切线过点〔-1,1〕，那么a=_______．
【答案】-5
【解析】
【分析】
求出函数的导数f′〔x〕=3x2+a，f′〔1〕=3+a，而f〔1〕=a+2,根据点斜式得到程，利用切线的方程经过的点求解即可．
【详解】函数f〔x〕=x3+ax+1的导数为：f′〔x〕=3x2+a，f′〔1〕=3+a，而f〔1〕=a+2，
切线方程为：y﹣a﹣2=〔3+a〕〔x﹣1〕，因为切线方程经过〔-1，1〕，
所以1﹣a﹣2=〔3+a〕〔-1﹣1〕，
解得a=-5．
故答案为：-5.
【点睛】这个题目考察了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14.“斐波那契〞数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．详细数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开场，每个数字等于前两个相邻数字
之和．数列为“斐波那契〞数列，为数列的前项和，假设那么__________．(用M表示)
【答案】
【解析】
分析：由“斐波那契〞数列定义找与的关系。

由定义可得，依次迭代可得。

进而可得。

可求得。

详解：由“斐波那契〞数列可知。

所以，
所以
点睛：有关数列求和问题，假设是等差、等比数列，应根据等差、等比数列的前项和公式求解；
假设不是等差、等比数列，看能否构造等差、等比数列，再用等差、等比数列的前项和公式求解；
其它特殊数列，应根据特殊数列的定义求解，如“斐波那契〞数列，应根据其定义，依次迭代寻找前项和与的关系，进而求解。

四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“作品获得一等奖〞；乙说：“作品获得一等奖〞
丙说：“两项作品未获得一等奖〞丁说：“是或者作品获得一等奖〞
假设这四位同学中只有两位说的话是对的，那么获得一等奖的作品是__________．
【答案】C.
【解析】
假设获得一等奖,那么甲、丙、丁的话是对的,与矛盾;假设获得一等奖,那么四人的话是错误的,与矛盾;假设获得一等奖,那么乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.
交抛物线于E和F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为，那么
k=__________ .
【答案】
【解析】
由消去y整理得，
设，
那么，
∴．
由抛物线的定义可得，
∴以为直径的圆的半径为，圆心到x轴的间隔为．
由题意得，
解得．
答案：
三.解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
17.，为的反函数，不等式的解集为
(I)求集合；
(II)当时，求函数的值域.
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
试题分析：
〔1〕由题意得不等式，解不等式即可得到集合M；〔2〕先求反函数，进而得到的解析式，再求函数的值域。

试题解析：
〔1〕∵ ，即，
∴
解得。

故。

〔2〕∵，
∴，即。

∴，
∵，
∴，
∴，
∴函数的值域为。

18.中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，a=3，cosA=,B=A+，
(I)求b的值；
(II)求的面积.
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
试题分析：〔1〕借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；〔2〕借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.
试题解析：
〔1〕因，故……1分
因，故.……3分
由正弦定理，得.……6分
〔2〕……8分
……10分
的面积为.……12分
考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.
19.如图，多面体中，,平面，且
.
〔Ⅰ〕为线段中点，求证：平面；
〔Ⅱ〕求多面体的体积.
【答案】(1)见解析；〔2〕 .
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕通过证明面面平行得到线面平行；〔Ⅱ〕将多面体分割成三棱锥和四棱锥，再分别算出它们的体积。

它们之和即为所求。

试题解析：〔Ⅰ〕证明：取中点，由平面平面∴平面
〔Ⅱ〕
前项和为，满足，
(I)求证：存在实数数使得列是等比数列；
(II)设，求数列的前项和
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
【解析】
试题分析：(1)由得到数列的递推关系，利用等比数列的定义加以证明；(2)由〔1〕问明确数列的通项，进而利用错位相减法求和.
试题解析：
(1〕〔1〕当时，，〔2〕当时，
，
设，那么
是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)由(1〕得，，
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn〞与“qSn〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“Sn－qSn〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a为实常数．
(I)求g(x)的单调区间；
(II)当a＝－1时，证明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行. 【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕代入a的值，令h〔x〕＝f′〔x〕﹣g′〔x〕＝e x﹣e﹣x﹣2+3x2，根据函数的单调性证明即可．【详解】〔1〕g′(x)＝3ax2+2，
当a≥0时，g′(x)＞0故g(x)的单调增区间为〔﹣∞，+∞〕.
当a＜0时，令g′(x)≥0得x，g(x)的单调增区间为[x]，
g〔x〕的单调减区间为：〔﹣∞，〕，〔，+∞〕
〔2〕当a＝﹣1时，f′(x)＝e x﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2，
x0∈〔0，1〕，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．
即x0∈〔0，1〕使得f′〔x0〕＝g′〔x0〕，且f〔x0〕≠g〔x0〕，
令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝e x﹣e﹣x﹣2+3x2，
h〔0〕＝﹣2＜0，h〔1〕＝e2+3＞0，
∴x0∈〔0，1〕使得f′〔x0〕＝g′〔x0〕.
∵当x∈〔0，〕时,g′(x)＞0，当x∈〔，1〕时g′(x)＜0，
∴所以g(x)在区间〔0，1〕的最大值为g〔〕，g〔〕 2.
而f(x)＝e x+e﹣x≥22，
∴x∈〔0，1〕时f(x)＞g(x)恒成立，∴f〔x0〕≠g〔x0〕．
从而当a＝﹣1时，：∃x0∈〔0，1〕，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．
【点睛】此题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
某圆的极坐标方程为：．
(I)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(II)假设点P〔x，y〕在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
【答案】〔1〕；〔2〕最大值为6，最小值为2．
【解析】
试题分析：〔1〕极坐标与直角坐标之间的关系是，以及，应用此公式可互相转化；〔2〕圆的HY方程为，因此可设的坐标为，即那么有，最大〔小〕值即得.这本质是圆的参数方程的应用.
试题解析：〔1〕；
〔2〕圆的参数方程为所以，
那么x＋y最大值为6，最小值为2．
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程，三角函数的最值.
23.【选修4-5：不等式选讲】
函数，P为不等式f〔x〕>4的解集．
(I)求P；
(II)证明：当m，时，．
【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕见解析;
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，再利用函数的单调性得到不等式的解集；〔Ⅱ〕通过平方、作差、分解因式进展证明即可．
试题解析：〔Ⅰ〕
由的单调性及得，或者．
所以不等式的解集为.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，所以，，
，
所以，
从而有．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。