小波函数及其在UWB脉冲波形设计中的应用

}
ψ (a + t ) = −ψ (a − t ) （反对称性）
一个实值函数具有至少广义线性相位当且仅 当关于它的相位是对称或反对称的。对称或者反对 称小波在检测信号的奇异性时的表现是不同的，对 边缘跳变的异常信号反对称小波的变换在该处呈 现最大值而对称小波呈现过零值，对峰值跳变的异 常信号正好相反，因此实际使用中边缘检测应选用 反对称小波函数，而峰值检测应选用对称小波函 数。 d. 消失矩 若小波函数ψ (t ) 对所有的 0 ≤ l ≤ M 满足
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
φ (t ) 的支撑范围为 [0, 2 N − 1] ， ψ (t ) 的支撑范围在
图 2 Morlet 小波
c. Mexican hat 小波 定义为
[1 − N , N ] 。小波函数ψ (t ) 具有 N 阶消失矩。
db4 Scaling Function 1.5
ψ (= t ) c (1 − t 2 ) e − t
对称或者反对称小波在检测信号的奇异性时的表现是不同的对边缘跳变的异常信号反对称小波的变换在该处呈现最大值而对称小波呈现过零值对峰值跳变的异常信号正好相反因此实际使用中边缘检测应选用反对称小波函数而峰值检测应选用对称小波函消失矩若小波函数则称它具有m阶消失矩
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小波函数及其在 UWB 脉冲波形设计中的应用
则称其具有广义线性相位。 为了说明至少有广义相性相位的函数的特征， 引入了斜对称的概念。ψ (t ) ∈ L2 ( R ) 至少有广义线 性相位当且仅当 e − ib ψ (t ) 满足
e − ib ψ (a= + t)
(e
ib
ψ (a − t ) )
*
或称ψ (t ) 关于 a 斜对称。 当ψ (t ) 为实值函数时，定义又为
< ψ (t − k ),ψ (t − l= ) > δ (k − l )
则称函数系 {ψ (t − k ) | k ∈ Z } 为规范正交系。 对离散小波，若函数系
ψ (a + t )= ψ (a − t ) （对称性）
{ψ
m,n
m /2 m (t ) = a0 ψ ( a0 t − nb0 ) , m, n ∈ Z
2 小波函数的定义及性质
2.1 小波函数的定义 指定 R 为实数域，对 ∀f ( x) ∈ Ln ( R ) ， n 为 1 或 2， L ( R ) 满足
n
ψ (t ) 也是实的，则 WTx (a, b) 也是实的，反之，
WTx (a, b) 为复函数。
信 号 x(t ) 的 小 波 变 换 WTx (a, b) 是 a, b 的 函 数。 b 的作用是确定对 x(t ) 分析的时间位置，也即 时间中心。 尺度因子 a 的作用是把基本小波ψ (t ) 作 伸缩。由ψ (t ) 变成ψ (t / a ) ，当 a > 1 时，若 a 越 大，则ψ (t / a ) 的时域支撑范围（即时域宽度）较 之ψ (t ) 变得越大，反之，当 a < 1 时， a 越小，则
∫
∞
−∞
f ( x) dx < ∞ 的全体函数所
n
构成的空间。小波函数和小波变换的定义如下。
ˆ (0) = 0 ， 并且ψ 设函数ψ (t ) ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) ，
令
−1/2
ψ a ,b (t ) = a
ψ(
t −b ) a
式中 a, b 均为常数，且 a > 0 。显然，ψ a ,b (t ) 是基 若 a, b 本函数ψ (t ) 先作移位再作伸缩以后得到的。 不断地变化， 可得到一族函数ψ a ,b (t ) 。 称{ ψ a ,b (t )} 为小波基函数， 或简称小波基， ψ (t ) 为基本小波或
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Haar Wavelet Function 2 1 0 -1 -2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
图 1 Harr 小波
Haar 小波属于正交小波，在时域是紧支撑的， 其非零区间为（0，1） ；而且对称的。我们知道， 系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有 线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。 Haar 小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波。但 Haar 小波是不连续小波，由 于
−∞
∞
Haar Scaling Function 1.5
也称它具有 M 阶消失矩。 由定义可知小波的消失矩主要用来检测高阶 倒数不连续的信号，消失矩越高光滑性就越好，频 域的局部化能力就越强，这也是改善小波频域局部 化能力的一个途径，也反映了小波对信号奇异性检 测能力的强弱。反过来，当信号光滑时，越大的消 失矩将导致越小的小波系数，而对于不光滑信号， 将会产生更多大的小波系数。 e. 紧支性 若小波函数ψ (t ) 在某个区间 [a, b] 外恒为零， 则称该小波函数具有紧支性，区间 [a, b] 称为ψ (t ) 的支撑长度。对于小波函数来说，尽量短的支撑长 度将会加快小波变化的速度。从另另一方面看，短 的支撑长度将会导致小波函数的光滑度下降，正则 性变差。 实际应用中为分析和计算方便，要求小波函数 具有一定的光滑性，这与紧支性相矛盾，而且一个 函数也不能在时域和频域同时具有紧支性，就是说 不能希望在时域和频域同时获得最好的局部化能 力，为达到在时域和频域都有满意的局部化能力， 只能在光滑性和紧支性之间进行平衡。 2.3 常见的小波函数 a. Harr 小波 定义如下： 为
ˆ 为ψ 的傅里叶变换， a 为伸缩因子， 者母小波，ψ
b 为平移因子。
给定平方可积的信号 x(t ) ，即 x(t ) ∈ L2 ( R ) ， 则 x(t ) 的小波变换定义为
WTx (a, b) = a
−1/2
∫
t −b x(t )ψ * dx −∞ a
∞
式中ψ * (t ) 表示ψ (t ) 的复共轭，又因为 a, b 和 t 均 是连续变量，上式又称为连续小波变换。母小波可 以是实函数，也可以是复函数。若 x(t ) 是实信号，
波形如图 1 所示
ψ (t ) = e − t
2
/2
cos Ω 0t
Morlet 小波不是紧支撑的，理论上讲 t 可取
− ∞ ~ +∞ 。但是当 Ω0 = 5 ，或再取更大的值时，
ψ (t ) 和ψ (ω ) 在时域和频域都具有很好的集中，如
图 2 所示。Morlet 小波不是正交的，也不是双正交 的；但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小 波。
∫
∞
−∞
因此ψ (ω ) 在 ω = 0 处只有一阶 tψ (t )dt ≠ 0 ，
零点，这就使得 Haar 小波在实际的信号分析与处 理中受到了限制。 b. Morlet 小波 定义为
ψ (t ) = e − t
2
/2
e jΩ t
考虑到待分析的信号一般是实信号，又可定义
1, 0 ≤ t < 1/ 2 ψ (t ) = −1, 1/ 2 ≤ t < 1 0, else
其中 c =
2
/2
1 0.5
2 1/4 π 。 3
0 -0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
db4 Wavelet Function 2
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的， 它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一 顶草帽，故由此而得名“墨西哥草帽” 。
Mexican Hat Wavelet 1
1
0
-1
0
1
摘 要： 小波理论在数据压缩、图像处理等信号处理领域得到了广泛的应用。本文对小波函数的分类、性质进 行了简单的介绍，并在此基础上讨论了基于小波函数的超宽带（UWB）脉冲波形设计。 关键词： 小波函数 性质 UWB 波形设计
1 引言
近年来，小波理论在图像处理、语音处理、量 子物理等众多非线性科学领域都取得了很大的应 用。与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 局部化特性，能有效地从各类信号中提取有用信 息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行 多尺度细化分析。而且各类小波基函数可以构成各 种常用空间的无条件基，均具有自己的特性。 本文简单介绍了小波函数的分类及常见的几 种小波的基本性质[1][2]， 并在此基础上讨论了利用 小波函数进行超宽带 （UWB） 系统的脉冲波形设计。
-0.4 -8
f. Coiflets 小波 该小波简记为 coifN，在 db 小波中，仅考虑了 使小波函数ψ (t ) 具有消失矩，而没考虑尺度函数
图 3 Mexican hat 小波
Mexican hat 小波不是紧支撑的，不是正交的， 也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波 变换。该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征， 多ies 小波
ψ (t ) ∈ L2 ( R) ，若它的傅里叶变换满足
ψ (ω ) = ψ (ω ) e −iaω
其中 a 为实常数，与 ω 无关，则称其有线性相位。 类似地，若
a0 > 1 ， b0 ≠ 1 ，从而将连续小波变成离散小波，
即
m /2 m ψ m,n (t ) = a0 ψ ( a0 t − nb0 ) , (m, n ∈ Z )
sym4 Scaling Function 1.5 1 0.5
0 -0.5 -8
-6
是 L2 ( R ) 空间的正交基， 则称ψ (t ) 为正交小波，具 有如下性质
< ψ k , j (t ),ψ m ,n (= t ) > δ ( k − m, j − n ) , k , j , m, n ∈ Z
可见正交小波的正交性表现在两个方面：不同 波形在时间上进行适当平移后所得到得波形与当 前波形是正交的；波形在时域进行压缩或者展宽所 得到的波形与原波形是正交的。 b. 正则性 正则性表现为小波函数的可微性，是小波函数 光滑程度的一种描述。对于小波函数来说，正则性 阶数越大，收敛越快，其邻域的能量越集中。 c. 对称性及线性相位 具有线性相位或者广义线性相位的小波函数
φ (t ) 。Coiflets 小波的 φ (t ) 也具有高阶消失矩。
Coiflets 小波是紧支撑正交、 双正交小波， 接近
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对称。 ψ (t ) 的消失矩是 2 N ， φ (t ) 的消失矩 是
Meyer Scaling Function 1.5 1 0.5
2 N − 1 。图 6 为 coif4 小波。
ψ (t / a ) 的宽度越窄。这样， a, b 联合起来确定了
对 x(t ) 分析的中心位置及分析的时间宽度。
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在信号处理中，一般采用离散小波变换。将参 数 a 和 b 都 取 离 散 值， a = a0 ， b = nb0 a0 ，
−m −m
可以避免对信号进行分析和重构时的相位失真。设
2
3
4
5
6
7
0.8
图 4 db4 小波
0.6
e. 对称小波 对称小波简记为 symN，它是 db 小波的改进。 除了有 db 小波的特点外，主要是ψ (t ) 是接近对称 的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图 5 是 sym4 的对称小波。
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0.4
0.2
0
-0.2
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Morlet Wavelet Function 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -8
以 Daubechies 小波为代表的正交小波与 “经典 小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给 出ψ (t ) ，而是通过一个尺度函数 φ (t ) 的加权组合 来产生的。 Daubechies 小波简称 db 小波。dbN 中的 N 表 示 db 小波的阶次，当 N = 1 时，db1 即是 Haar 小 波。图 4 为 db4 的ψ (t ) 和 φ (t ) 的波形。db 小波是 正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。
∫
∞
−∞
t lψ (t )dt = 0
则称它具有 M 阶消失矩。 另外设 ψ j , k (t ) j , k ∈ Z 构成 L2 ( R ) 的标准正交基， 那么小波函数ψ (t ) 满足
{
}
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ψ (t ) ∈ C M +1 ( R) ，且 ∫ | t |M +1 ψ (t ) dt < +∞
其中， Z 表示整数集。基于离散小波，类似地可以 定义离散小波变换。 2.2 小波函数的性质 小波函数的性质包括正交性、 正则性、 对称性、 消失矩和紧支性等。 a. 正交性 设ψ (t ) ∈ L2 ( R ) ，若函数系 {ψ (t − k )} , k ∈ Z 满足：
ψ (ω ) = ψ (ω ) e −i ( aω +b )