2020年金华市高一数学下期末模拟试题及答案

2020年金华市高一数学下期末模拟试题及答案
一、选择题
1．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r
，则
xy 的取值范围是( ) A ．14,99
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,92
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．
(
)
6,10
B ．(
)
6,22
C ．()
2,22
D ．（2，4）
4．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．2
B ．422+
C ．442+
D ．642+
6．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r ，则
下列结论正确的是（ ）
A ．1b =r
B ．a b ⊥r r
C ．1a b ⋅=r r
D ．()
4C a b +⊥B u u u r r r
7．要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
15
9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生
11．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于
点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
12．已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存
在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
14．对于函数()f x ，()g x ，设(){}
0m x f x ∈=，(){}
0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e
x
f x x -=+-与
()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的
底数）
15．函数sin 232y x x =的图象可由函数sin 232y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。

16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
17．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．
18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
19．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．
20．已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m
的取值范围为 .
三、解答题
21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
22．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v
，且//a b v v ，a c ⊥v v .
（1）求b v 和c v
；
（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，
1
2
BC CD AD ==
.
（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；
（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.
24．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转
盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：
①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 25．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2
AD BC BAD AB BC π
∠=
=1
2
AD a =
=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；
（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值. 26．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，
2225()ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
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一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
试题分析：，
且
，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】
解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r
，可得
x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则2x y 1xy (
)24+≤=，当且仅当1
x y 2
==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=
，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：2
9
．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选D ． 【点睛】
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
3．A
解析：A 【解析】
由()4f x f x -=（
）得：4T =，当010]x ∈
（，时，函数的图象如图：
()()()
26102
f f f
===，再由关于x的方程()log a
f x x
=有六个不同的根，则关于
x 的方程()log a
f x x
=有三个不同的根，可得
log62
log102
a
a
<
⎧
⎨
>
⎩
，解得610
a∈（，），故选
A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()
f x的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a的不等式，解得即可. 4．D
解析：D
【解析】
试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.
【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．
【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积
1
2222222264 2.
2
S=⨯+⨯⨯=+
故选D．
【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
6．D
解析：D
【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q r
r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o
r r r r r ．
()()
2422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2
12cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】
依题意2
ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位.所以选C. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
8．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为1
42542
105
C p C ==
=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
11．A
解析：A 【解析】
如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，
故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法
先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．
12．B
解析：B 【解析】
由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
二、填空题
13．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱
解析：92
π 【解析】
设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382
R V R ====⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
14．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点
解析：10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果
【详解】
由()()13log 2e
x
f x x -=+-，令()0f x =
所以1x =，又已知函数()()13log 2e x
f x x -=+-
与()1
42
2x
x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”
据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则
()0g x =在02x <<有解
即1224x x
a +-=在02x <<有解， 令()122
4x x
h x +-=，
又令2x
t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以2
222111222
t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112
t =
时max 12y =
当1
1t
=时0y = 所以10,2
y ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦，则10,2
a ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
故答案为：10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.
15．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函数解析式化简为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图 解析：3
π
【解析】 【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位. 【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
sin 23cos 22sin(2)3y x x x π=+=+， sin 23cos 22sin(2)2sin[2()]333
y x x x x πππ=-=-=-+， 可知只需把函数sin 23cos 2y x x =+的图象向右平移
3π个单位长度， 得到函数sin 23cos 2y x x =-的图象，
故答案是：
3
π. 【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量. 16．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用 解析：26米
【解析】
【分析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2
x my =，
将A （2，-2）代入2x my =，
得m=-2，
∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x = 故水面宽为266
考点：抛物线的应用
17．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径
21【解析】
画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角
形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知
11132360,,33
OEO O E O A ∠===o ,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o ,所以外接圆半径2211421133
r OA OO O A ==+=+=.
18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：13
【解析】
【分析】
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为
2163=； 故答案为13
． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警
示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π 【解析】 试题分析：因为sin 3cos 2sin()3y x x x π=-=-
，所以函数sin 3cos y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3
π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质
解析：2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数2
()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，
()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<， 所以实数m 的取值范围为2,02⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
． 【考点】
二次函数的性质．
三、解答题
21．(1)
． (2) ．
【解析】
【分析】
【详解】
设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ．
用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，
则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．
（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，
则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝
．
考点：古典概型的概率计算 22．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34
π. 【解析】
【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r
，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r 的坐标； （2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r 夹角的余弦
值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.
【详解】
（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩
， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，
则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，()()22345m ∴=-+-=u r ，227152n =+=r
设m u r 与n r 的夹角为θ，2cos ,2552
m n m n m n ⋅∴===-⨯⋅u r r u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34
πθ=. 因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34
π. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
23．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ；
（Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；
（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以CD ⊥P A .
因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，
所以CD ⊥平面P AD .
因为PD ⊂平面P AD ，
所以CD ⊥PD .
(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥P A .
在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==
， 由题意可得2AB BD BC ==， 所以222AD AB BD =+，
所以BD AB ⊥.
因为PA AB A =I ，
所以BD ⊥平面P AB .
（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.
证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，
因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P
. 因为12
BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，
所以CM ∥BN .
因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .
所以//CM 平面P AB .
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
24．（Ⅰ）
516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516
． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为
616； 小亮获得饮料的概率为5651161616
--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 25．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.
试题解析:
（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q
所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC
（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥
所以1A O ⊥平面BCDE
2111633BCDE AO S a a ∴⋅=== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．
26．
（Ⅰ）5-
（Ⅱ）5
- 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B
=，得2a b =.
由)222ac a b c =--
，及余弦定理，得2225cos 2ac b c a A bc ac +-===.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =
，得sin sin 45a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos 5
B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==， 23cos212sin 5
B B =-=，故 (
)43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。