数学春季精英版教案 六年级-8 巧用图形解决问题

第8讲巧用图形解决问题
[教学内容]
《精英版数学》春季版，6年级第8讲“巧用图形解决问题”。

[教学目标]
知识技能
1．通过解决问题理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质；
2．了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

数学思考
1．学会以数解形、以形助数、数形结合思想进行数学思考和解决问题，培养用数形结合的思想解决问题的常识。

2．经历应用列表法解决实际问题的过程，渗透数学建模的思想方法，感知数学的应用价值。

问题解决
对日常生活中的现象进行观察和思考，引导学生从中发现规律，使学生掌握用数形结合的方法来解决问题。

情感态度
1．进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心；
2．初步建立自我评价与反思的意识；
3．体验数学与生活的联系,培养学生用数学眼光观察生活的习惯。

[教学重点和难点]
教学重点
掌握用数形结合方法解决问题的方法。

教学难点
对学生数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题能力的培养。

[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学过程：
教学路径学生活动方案说明一、情境导入
师：上课之前先问大家一个问题，小学阶段大家主要学了哪些模
块的知识？
生：数与代数、空间与图形、统计与概率……
师：大家说的非常好，其实数学学科是一个大家庭，在这个大家
庭中，每个模块都是好兄弟，其中还有两个关系特好的兄弟
呢！我们一起来看看！
在有趣的数学学科中，数与形就像一对形影不离的好兄弟。

这对好兄弟齐心合力可以帮我们解决很多问题。

例如，等比数列
求和、推理问题等，都可以用图表达到不算自明的效果。

为了说明数形结合的重要性，我国著名数学家华罗庚曾说过：
“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分
家万事休。

”
师：今天我们就来学习“巧用图形解决问题”。

二、小组合作，解决问题
（一）教学例1
例1：如下图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，求两转
盘静止后恰为如图情形（即大转盘与小转盘的字母相对应）的概
率是多少？
（1）学生读题，同桌交流一共有几种字母对应的情况？
（2）学生自由举手回答问题
（3）小结
师：归纳一下，我们是怎样解决这类问题的？
生：第一步先算出所有结果包括多少种情况；
第二步看符合题目要求的有几种情况，
最后求出概率。

课件出示解析：
动画表示六种不同的情况。

答案：两转盘静止后恰为如图情形（即大转盘与小转盘的字母相对应）的概率是
1
6。

（二）教学例2
例2：一列火车从东到西即将穿过一条隧道，已知火车每小时行驶180 千米。

下图是火车在行驶过程中隧道内部列车的车身长度的关系图。

（1）这列火车的车身长多少米？
（1）学生看图，读懂横轴纵轴的意义，说一说火车的行驶状态；师：从图中你了解到了哪些信息？
生1：横轴代表时间，以秒为单位；纵轴代表火车在隧道里的长度，以米为单位。

生2：从0秒开始，火车进入隧道，因为在隧道里的长度越来越长，在第7秒开始，火车驶离隧道，因为火车在隧道里的长度越来越短，从车头开出隧道到车尾离开隧道经过了10－7＝3秒。

（2）学生小组讨论，解决问题
师：火车的长度怎么算？
解析：动画演示火车从进入隧道到离开隧道的过程。

（隧道做成透视的）
答案：180 千米/时＝50米/秒
车身长度：50×（10－7）＝150（米）
答：这列火车的车身长150米。

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（2）这条隧道长多少米？
（1）小组讨论
师：说一说，隧道长度是火车从哪行驶到哪的距离？
生：是从车头进入隧道到车头离开隧道时火车行驶的距离。

师：这一段距离用的时间是多少？
生：7秒。

（2）学生独立完成。

解析：动画演示火车从进入隧道到离开隧道的过程。

（透视）下一步
答案：
隧道长度：50×7＝350（米）
答：这条隧道长350米。

（3）标出图中括号里的数。

（1）小组讨论
师：先看横轴，括号里的数应该怎样填？
生1：从车头开入隧道到车尾进入隧道与从车头开出隧道到车尾离开隧道火车行驶的距离是相等的，都是一个火车的长度。

看横轴，由图中可知火车从车头开出隧道到车尾离开隧道用了3秒钟，那么从车头开入隧道到车尾进入隧道也用了3秒。

师：再说说数轴上的数应该怎样填？
下一步横轴F标8，纵D轴标12
下一步（图形表示）
△0AB的面积＝△OBD面积－△OAC面积－梯形ABDC面积
答案：
△ OBD面积：（8＋4）×（4.5＋3.5）÷2＝48（平方千米）△ OAC面积：8×4.5÷2＝18（平方千米）
梯形ABDC面积：（4.5＋4.5＋3.5）×4÷2＝25（平方千米）△ 0AB的面积：48－18－25＝5（平方千米）
答：所构成三角形的面积是5平方千米。

（4）小结
师：本题如果不画示意图很难下笔计算，但如果根据条件先画出小鸟的飞行路径图就会变得一目了然。

所以数形结合是我们解决问题的关键。

（四）教学例4
例4：如下图，在一个底面长20厘米，宽8厘米的长方体盒子内，有一个五角硬币（直径大约20mm）。

硬币紧贴盒底沿四壁滚动一圈回到原地。

这枚硬币滚过的面积是多少？（π 取3.14）
（1）学生读题，试着画一画
师：小组合作，大家试着画一画，硬币滚过的面积。

解析：动画出示硬币滚动一圈的过程（轨迹跟随）
（2）小组讨论，怎样计算硬币滚过的面积？
师：说一说，硬币滚过的面积怎样计算？
生：这是一个不规则的图形，可以用整个盒底的面积－空白部分的面积。

师：分别说一说，空白部分面积怎样计算？
生1:
中间长方形的面积＝（8－2－2）×（20－2－2）＝64平方厘米生2：四个角的面积都相等，等于边长是2厘米的正方形－直径是2厘米的圆的面积。

点击下一步出示：
点击下一步出示：
答案：
20毫米＝2厘米
长方体盒底的面积：8×20＝160（平方厘米）
未滚过的空白长方形的面积为：（8－2－2）×（20－2－2）＝64（平方厘米）
未滚过的四个角的空白面积为：2×2－3.14×（2÷2）²＝0.86（平方厘米）
硬币滚过的面积：160－64－0.86＝95.14（平方厘米）
答：这枚硬币滚过的面积是95.14平方厘米。

（五）教学例4后变式练习
变式练习：如图，如果硬币是在一个底面半径为10厘米的圆形盒子内滚动，这个五角钱滚过的面积又是多少呢？
学生读题，独立完成。

解析：动画出示硬币滚动一圈的过程。

（轨迹跟随）
答案：
20毫米＝2厘米。

这个圆环的内圆半径为：10－2＝8（厘米）
圆环面积：3.14×（10²－8²）＝113.04（平方厘米）
答：这个五角钱滚过的面积是113.04平方厘米。

三、课堂小结
师：说一说，这节课你有什么收获？
第二课时
教学过程：
教学路径学生活动方案说明一、过渡
师：上节课，大家表现不错，数形结合的方法帮助我们解决了难题，
这节课让我们去闯关室看看吧！
二、小组合作，解决问题
（一）教学大胆闯关1
1. 下图中，用分数表示各图中阴影部分。

学生独立完成
（二）教学大胆闯关2
2. 如图①表示一张圆形纸片，操作过程如下：第一次裁剪，
将圆形纸片等分成4个扇形（如图②）；第二次裁剪，将上次得到
的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图③）；之后都按这样的
做法进行下去。

按上述操作过程，若将原来的圆形纸片剪成121个
扇形，共需进行剪裁多少次？
（1）学生继续裁剪
师：接下来应该怎样裁剪？用圆纸片小组合作剪一剪。

（2）发现规律
师：大家说一说，第三次裁剪，把圆纸片分成了几部分？
第四次呢？你发现了什么规律？
解析：
（文字）第一次裁剪，动画出示将一个圆平均剪成4份。

（文字）第二次裁剪，复制继续裁剪。

（文字）第三次裁剪，复制继续裁剪。

第一次裁剪，将圆形纸片等分成4个扇形（如图②）；
第二次裁剪，将圆形纸片剪成7个扇形（如图③）
第三次裁剪，将圆形纸片剪成10个扇形（如右图）
下一步
第n次裁剪，将圆形纸片剪成4+3×（n-1）=3n+1个扇形。

（三）教学拓展问题3
3. 如下图，一个同学量角度时，错误地将角的顶点放到了量角器的最左端，结果量出了40度，这个角实际应该是多少度？（1）小组合作，动手量一量，对结论作出猜测
师：说一说，这个角实际应该是多少度？你有什么想法？
生：直接量一量。

师：如果题目给的图标准这个办法很简单直接的就解决问题了。

可如果不给图的话怎么办呢？
生：自己画图试一试。

生：通过测量，这个度数是40°的一半。

我们还猜测，这种情况都有2倍的关系。

师：不错，自己动手丰衣足食，看来大家动手能力很强啊！
（2）证明猜测
师：大家说有2倍的关系，可是你有足够的理由吗？大家小组讨论。

（教师巡视指导）
解析：
如下图，为方便给下图分别标上字母（如图）,动画连接OB。

答案：
∠BOC＝180°－∠BOA＝180°－40°＝140°
∠C＋∠B＝180°－140°＝40°
△COB是等腰三角形，所以∠C＝∠B。

所以∠C＝40°÷2＝20°
答：这个角实际应该是20度。

（四）教学拓展问题4
4. 图①是一个正方体的展开图，该正方体从图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是（）。

（1）学生小组合作，确定相对面上的汉字
（2）动手做一做
师：照题中要求动手制作正方体，按照题目要求操作，得到答案。

解析：
动画出示图一折叠成小正方体的过程。

下一步：（文字）
正方体相对的面的汉字分别为：
“我”对“国”
“中”对“的”
“梦”对“梦”
下一步
翻转第二个正方体，依次翻转到第5格。

答案题中括号里填“我”。

（五）教学拓展问题5
5. 意大利著名数学家裴波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1、1、2、3、5、8、13…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。

现以这组数中的各个数作为正方形
的边长构成一组正方形（如下图，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④），相应长方形的周长如下表所示
若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是多少？（1）学生读题，理解题意
师：大家文字对照图形，仔细读题，说一说题目有什么意思？（2）学生计算前4幅图的周长，找出规律
学生发现第一图的长是2，宽是1；第二图的长是3，宽是2；第三图的长是5，宽是3，第四图的长是8，宽是5……
师引导学生分别列出长和宽的数据：
长：2 3 5 8 ……
宽：1 2 3 5 ……
（3）根据规律解决问题
解析：
下一步(文字)
我发现：第n幅图长方形的宽为兔子数列的第（n＋1）个数，长为兔子数列的第（n＋2）个数。

答案
序号为⑦长方形的宽为兔子数列的第8个数，长为兔子数列的第9个数。

兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……
答案：
例1：1 6
例2：（1）150米（2）350米（3）略例3：5平方千米
例4：95.14平方厘米
变式练习：113.04平方厘米
拓展练习：
1、1
2
1
2
1
2
5
8
2、40次
3、20°
4、我
5、110。