热力学与统计物理：第十章 涨落理论

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扩散方程的解为：
表示x处的粒子数随时间的推移按高斯率减少。 由上式可以求得粒子位移平方的系综平均值：
与朗之万结果比较，可得扩散系数与粘滞阻力系数的关系
爱因斯坦关系
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§10.6 布朗颗粒动量的扩散与时间的关联 即描述粒子的动量由初值趋于平均值的过程
1、动量扩散
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可以看到同求解朗之万方程的结果相同。
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§10.7 布朗运动简例 热噪声
随机电压
电阻R与涨落电压V(t)都来源于传导电子受其周围的 声子散射：R代表平均效果，而V(t)是扣除了平均以 后剩余的涨落部分。因此，Ri称为慢变部分，V(t)称 为涨落部分。
性质（如各种输运性质）
可从近平衡下耗散性质去认识平衡态的涨
落性质（如近年兴起的趋衡动力学研究）
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2、动量的时间关联函数 在t>1/γ后，动量的时间关联函数定义为：
代入定义式，
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3、由动量时间关联式求布朗运动的位移
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§10.1 涨落的准热力学理论 1、按统计学的方法求涨落 热力学平均量： 偏差的平均值：
偏差平方的均值：
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2、涨落的准热力学理论： 由热力学基本公式由已知量的涨落求未知量的涨落
因为传统热力学理论不能处理涨落问题，因此 这一理论被称为准热力学理论
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第i个粒子在时刻t受到的随机力
这个量表示相临间隔τ内，粒子所受随机力的关系 由随机力的性质可以知，经过某一特征时间
后，随机力必相互无关
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如有： c 1/ 则可写成：
即不同时量的散差为：
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粒子的典型大小： 107 m 106 m
受液体分子的碰撞瞬间不平衡
2、朗之万（Langevin）方程
设粒子： m, xt
牛顿方程
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介质分子的静作用力
外场力
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将f(t)分解成两部分：
f t v Ft
第一部分称为粘滞阻力，源于粒子与分子碰撞 的平均效果，v为粒子速度；当分子为球形时， 系数α与粘滞系数η的关系：
表示温度、体积及粒子数相对平衡值有偏差 ΔT、ΔV及ΔN时概率
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概率表示为： 因此，可求得：
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与正则系综相同， 是由系统与源的 能量交换引起
粒子数交换引起的。
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§10.5 布朗运动理论
1、布朗运动现象及机理
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将上式与朗之万方程比较 对应关系：
因此由对应关系
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得到：
Nyquist定理
它指出涨落电压的不同频率分量是统计独立的，其涨落 的方均值与电阻R和温度T成正比，与频率无关。
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白噪声的特点
(1). 谱密度是delta函数，与频率无关，类比 于白光，因此称为白噪。
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因此，
W
0 0
e S 0 S 0 / k
eS 0 / k
理解为系统偏离平衡态的概率
4、应用到粒子数不变的系统与热源组成的孤立系
系统
E, V
热源
Er , Vr
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由熵的广延性： 由热力学基本方程
T、p是平衡时热源的，也是系统的温度与压强 得：
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因此：
此为随机过程的典型结果； 机械动动的位移平方与t平方成正比
此为朗之万方程的解，后为皮兰的实验所证实。
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3、从扩散的观点研究布朗运动 定义粒子密度n(x,t) 粒子流量J(x,t) 菲克定律：
连续方程：
扩散系数
得扩散方程：
设初始条件为：
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将朗之万方程改写为：
将方程两边乘以
其解为：
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上式作系综平均：
其中的p(0)为初始动量， 是布朗运动的特征时间 表示粒子的初动量经过此时间后才发生显著改变。 动量的扩散：
定义动量的散差
因为：
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所以：
F F ' 称为涨落力的时间关联，其定义为：
(2). 谱强度与R、T成正比，R或T趋于零时， 强度趋于零。因此只在超导或零温下才不 为零。
电路中除白噪声外，还有一种称为散粒噪声的涨落现象。 它是电荷粒子性的必然结果。必须在有宏观电流时才存 在。由于是量子不确定性引起的噪声，即使T=0也存在。
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stokes关系
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第二部分为随机力，理解为静止粒子受到的净作用力 其值可正可负。
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因此 以x乘上式，注意到
朗之万方程 无外场时令为零
得：
作系综平均，利用
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（因为F与位置无关）
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及
（能均分定理）
得：
方程的解为：
第二部分在很短时间后变为零
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这是随机过程的典型结果，
动量扩散系数
t 1
p2 p2 Dp
据能均分定理，达到热平衡后
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因此，
涨落耗散定理
涨落力导致动量的聚集与扩散 粘滞阻力导致动量的耗散
涨落耗散定理给出了涨落与耗散的关联。
通过涨落耗散定理，可以计算近平衡下的非平衡态下的耗散
因此也可写成
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由此求热力学量的涨落值：
T 2 T 2 W T, V dT dV W T, V dT dV
可以求得：
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对于磁介质：
表示系统与平衡态具有偏差ΔT、Δm的概率 据此，
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6、巨正则系综的涨落
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以上公式可以用于小涨落及大涨落的情况 5、小涨落情况：
将E看作是S、V的函数，在平衡值附近作泰勒展开
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注意到： 得：
(dE TdS pdV )
T S,V ; T T S T V
S V
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此即系统偏离平衡态的概率 注意上式中只有两个自变量，以Δp、ΔV为自变量：
粒子数、内能、体积等的涨落：存在对应的微观量
温度、熵等物理量的涨落：无对应的微观量，应从热力 学函数关系理解。
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3、孤立系热力学量涨落
热平衡状态时： 0, E ,V
偏离热平衡时：
0 eS 0 / k
0, E,V
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0 eS0 / k
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