鸽巢问题

《鸽巢问题》教学设计
一、联系生活，激趣导入
用一副牌展示“抽屉原理”。

（师生合作完成魔术）
师：同学们，你们喜欢玩游戏吗？
生齐：喜欢。

师：下面我们就来玩个猜猜猜的游戏。

一副扑克牌共有54张，去掉大、小王，就剩52张。

共有4种花色，哪四种？
师：现在我请五位同学上来配合老师玩这个游戏。

听清楚要求：你们任意抽取一张牌，不要让我看到，自己看好牌记在心里就可以了。

师：我敢肯定地说：“这5张扑克牌至少有2张是同一花色的，你们信吗？”
师：那我们来验证一下，把你们的扑克牌翻过来给大家看看。

我猜对了吗？
师：再来一次，我还是肯定地说，这5张牌中至少有2张牌是同一花色的，再次见证奇迹，怎样？
教师：如果让这5位同学反复抽牌，不管怎么样，至少有2张牌是同一花色的。

你们想之道老师为什么猜的这么准吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理----鸽巢问题（板书课题）现在请大家齐读这节课的学习目标。

二、操作探究，发现规律
师：为研究这个原理，老师课前让大家准备了什么？
生：笔和杯子（板书：笔、杯子）
（一）第一步：研究3枝笔放入2个杯子中的现象。

1、请看大屏幕：
师：3人为一组，把3枝笔放进2个杯子里，该怎样放？有几种放法？小组长把结果和发现写在记录单上。

2.汇报展示
要求学生边摆边说，教师在黑板上记录。

可能会出现以下几种放法：
记作（3 0）（0 3）（2 1）（1 2）
(引导学生明确虽然摆放的顺序不一样，但是同一种放法)
师：观察这所有的摆法，你们发现总有一个杯子里至少有几根小棒？（2根）（二）第二步：研究4枝笔放入3个杯子中的现象。

1、课件出示：4枝笔放进3个杯子里你感觉会出现什么情况。

师：依此推想下去，4枝笔放在3个杯子里，又可以怎样放？会有什么发现？大家继续小组为单位摆摆看。

2.汇报展示
要求学生边摆边说，教师在黑板上记录。

可能会出现以下几种放法：
记作：（4 0 0）（3 1 0）（2 2 0）（2 1 1）
师：观察所有的摆法，你发现了什么？（总有一个杯子里至少有2枝笔）
教师课件演示，验证结论。

强调“总有”“至少”
(三)第三步：研究5枝笔放入4个杯子中的现象。

1、5枝笔放入4个杯子里，你们感觉一下会出现什么情况？（总有1个杯子里至少有2枝笔）
2、实验验证：那还要像刚才那样把所有的摆法一一列举出来吗？能不能只摆一种情况，就能验证大家的猜想呢？
3、大组合作：摆一摆，说一说。

大组汇报展示：把这5枝笔放入4个杯子里，每个杯子里先放一根，再把剩下的一根放在任意一个杯子里，就能得出总有一个杯子里至少有2枝笔。

看清楚了吗？
课件演示过程，这种分法，实际上是先怎么分？用算式表示5÷4=1……1 1+1=2
师：能解释一下算式里每个数所表示的意义吗？
生：4表示笔的数量，3表示杯子，商1表示平均每个杯子放进1枝笔，余数1表示还剩1枝笔。

3、学以致用---照这样的思路，继续往前走：
师：那如果用这种方法，你知道把7根小棒放在6个杯子里，会有什么样的结果呢？为什么？
生：把7根小棒放在6个杯子里，总有一个杯子里至少有2根小棒。

因为7÷6=1……1,1+1=2. 师：把10根小棒放在9个杯子里呢？
生：把10根小棒放在9个杯子里，也是总有一个杯子里至少有2根小棒。

师：把100根小棒放在99个杯子里呢？
生：还是总有一个杯子里至少有2根小棒。

师：这么快就得出了结论，你们是不是发现了什么规律了？（小棒的数量与杯子的数量有什么关系？）
生：：我发现：笔的数量比杯子的数量多1，那么总有一个杯子里至少放进2支笔。

师：你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！把你们的发现大声读一遍。

（三）第四步：研究小棒数比杯子数不是多1的现象
质疑：如果小棒数不是比杯子数多1，而是多2、3……结果还是这样吗？请同学们接着探究：
1、课件出示：如果把5根小棒放在3个杯子里，会出现什么情况？请在
小组内摆一摆，看哪个小组最快得出来，开始。

2、交流汇报（小组代表上台边摆边说）
生1：我认为至少有3根小棒，因为把5根小棒平均分给3个杯子，就还剩2根小棒，所以总有一个杯子至少有3根小棒。

生2：我认为总有一个杯子里至少有2根小棒。

我是先把3个杯子里各放1根，这样就还剩下2根小棒，我再把这2根小棒分在两个不同的杯子里，至少就是2根小棒了。

师：他们谁说的对呢？我们一起来摆一摆：先平均分掉3根，没问题吧。

那这剩下的2根小棒该怎么分，才能保证至少有几根小棒？
生：剩下的2根小棒分开放，才能保证至少。

师：同意吗？
师：怎样用算式表示呢？5÷3=1 (2)
师：把7根小棒放在3个杯子里，会有什么结果呢？为什么？
生：总有一个杯子里至少有2根小棒。

因为先平均分了之后还剩3根小棒，再把这3根小棒分别放在不同的杯子里，这样总有一个杯子里至少有2根小棒。

3、研究小棒数比杯子数的2倍多、3倍多…等情况。

师：如果把9根小棒放在4个杯子里，把15根小棒放在4个杯子里，分别又会有什么结果？小组内讨论，再请同学说结果和理由。

生1：把9根小棒放在4个杯子里，总有一个杯子里至少有3根小棒，因为：9÷4=2……1，每个杯子里平均分的2根小棒，剩下的1根小棒无论放在哪个杯子里，都会有一个杯子里至少有3根小棒。

生2：把:15根小棒放在4个杯子里，总有一个杯子里至少有4根小棒，因为：15÷4=3……3，每个杯子里平均分的3根小棒，剩下的3根小棒无论分开放在哪个杯子里，都会有一个杯子里至少有4根小棒。

4、总结规律。

师：我们将小棒看做物体、把杯子看做抽屉，你发现了什么规律？生1:我发现小棒总比杯子要多。

生2：我发现小棒比杯子多1、多2、多3的时候，总有一个杯子里至少有2根小棒。

生3：我认为后面的那个数比商要多1个。

师：也就是总有一个杯子里至少有什么加1？生：商+1.
师：把m个物体放在n个抽屉里（m﹥n），总有一个抽屉至少有“商+1”个物体。

这就是有名的“抽屉原理”。

板书：数学广角—抽屉原理。

5、引导发现得出结论
师：我们刚才研究这么多种情况，大家仔细观察算式，想想：“不管怎么放，总有一个杯子里至少有几根小棒”应该怎样求？
生：应该是商+1，不是商+余数。

全班交流（板书：“商+1”）
教师重点强调是“商+1”还是“商＋余数”得出的答案。

师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，它最早是研究物体放进抽屉里，这里的小棒就是被放的物体，杯子就是抽屉。

、介绍抽屉原理。

出示小黑板：请一名学生读：“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。

“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

下面我们应用这一原理解决问题。

师：把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，n是非0自然数）如果m÷n=b---c，那么一定有一个抽屉至少放进了多少个物体？---板书：b+1个
生：m÷n=b……c，那么总有一个抽屉至少放了b+1个物体。

到一些令人惊异的结果。

这是列举出所有方法之后得出的结论。

我们把这种方法称为“枚举法”（板书）这是数学中常见的一种方法。

4、还有其他方法吗？
4、师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天研究的“抽屉原理”（板书课题）一起看大屏幕（介绍抽屉原理的相关知识）最先发现这一规律的人是德国数学家“狄里克雷”，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，或者“抽屉原理”。

5、师：抽屉原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。

运用它时，关键是要找出谁是“抽屉”，谁是“物体”。

像刚才的问题中，“笔筒”就相当于“抽屉”，“铅笔”就相当于“物体”。

（这里可以让学生说。

）现在，你能利用这一原理解释课一开始时的扑克牌问题了吗？学生回答
三、应用原理。