第37课 等比数列

第37课 等比数列
【自主学习】
第37课 等比数列
(本课时对应学生用书第97~98页
)
自主学习 回归教材
1. (必修5P49习题1改编)已知数列{a n }为正项等比数列，a 2=9，a 4=4，则数列{a n }的通项公式a n = .
【答案】9·
-2
23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2=42a a =4
9.
又因为q>0，所以q=2
3，所以a n =9·
-2
23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
2. (必修5P49习题1改编)如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么b= ，a ·c= . 【答案】-3 9
【解析】由等比数列的性质可得ac=(-1)×(-9)=9；b×b=9，且b 与奇数项的符号相同，故b=-3.
3. (必修5P58练习6改编)若对于实数x ，有a n =x n ，则数列{a n }的前n 项和S n = .
【答案】
00
1
(1-)
01 1-
n
x
n x
x x
x x
x
⎧
⎪=
⎪⎪
=
⎨
⎪
⎪≠≠⎪⎩
，，
，，
，且
【解析】当x=0时，S n=0；当x=1时，S n=n；当x≠0且x≠1时，S n=
(1-) 1-
n
x x
x.
4. (必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为a n=4×31-n，则数列{a n}是数列.(填“递增”或“递减”)
【答案】递减
5. (必修5P67习题3改编)设{a n}是等比数列，给出下列四个命题：
①{
2
n
a
}是等比数列；②{n
a
a n+1}是等比数列；
③
1
n
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭是等比数列；④{lg|a
n
|}是等比数列.
其中正确的命题是.(填序号)
【答案】①②③
【解析】④是等差数列.
1.等比数列的定义及通项
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比.
等比数列的通项公式：a n=a1q n-1=
1
a
q·q n(n∈N*)；
推广：a n =a m q n-m .
2.等比数列求和公式
S n =11(1-)11-1n a q q q na q ⎧≠⎪
⎨⎪=⎩，，，=11-11- 1.n a a q
q q na q ⎧≠⎪⎨⎪=⎩，，，
3.等比数列的性质
设数列{a n }是等比数列，公比为q.
(1)若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m a n =a p a q ；
(2)数列{ka n }(k 为非零常数)，1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭，{k
n a }(k ∈Z 且为常数)也是等比数列；
(3)每隔k 项取出一项(k ∈N *)，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列； (4)若{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k -S k ，S
3k -S 2k ，
…仍组成等比数列(各项不为
0).
【要点导学】
要点导学 各个击破
等比数列的基本量运算
例1 (2015·苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调)已知等比数列{a n }的各项
均为正数，若a 4=
2
2a
，a
2+a 4=
5
16，求数列{a n }的通项公式.
【思维引导】将a4=a2q2代入a4=
2
2
a
，a2+a4=
5
16，求出q及a
2
，再求a n.
【解答】设等比数列{a n}的公比为q.因为a4=
2
2
a
，
所以a2q2=
2
2
a
.又a2≠0，所以a2=q2.
因为
2
2
a
+a2-
5
16=0，所以a
2
=
1
4或a
2
=-
5
4(舍去)，
所以q2=1
4.又q>0，所以q=
1
2，
所以a n=a2q n-2=q n=
1
2
n ⎛⎫
⎪⎝⎭.
【精要点评】此题主要考查等比数列的通项公式.求等比数列的通项就是要求基本量a1和q，要注意q=1的情况.
【高频考点·题组强化】
1.(2015·广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+
2，c=5-
2，则b=.
【答案】1
【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2=ac=(5+
2)(5-
2)=1.又
因为b>0，所以b=1.
2.(2016·苏州期中)已知等比数列{a n}的公比大于1，若a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=.
【答案】4
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知4113
11-15-6a q a a q a q ⎧=⎨=⎩，，解得
112a q =⎧⎨
=⎩，
或
1-1612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，(舍去)，故a 3=a 1q 2=1×22=4.
3.(2014·扬州一模)设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 5+2a 10=0，则2010
S S = .
【答案】54
【解析】设等比数列公比为q ，则由a 5+2a 10=0，得q 5=-1
2，所以2010
S
S =201101(1-)1-(1-)1-a q q a q q
=1+q 10=1+14=5
4.
4. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列，那么91078
a a
a a ++= . 【答案】3+
【解析】依题意可得2×312a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭=a 1+2a 2，即a 3=a 1+2a 2，则有a 1q 2=a 1+2a 1q ，可得q 2=1+2q ，解得q=1
+或q=1
-(舍去)，所以91078a a a a ++=891167
11a q a q a q a q ++=23
1q q q
++=q 2=3+
.
5. (2015·全国卷)在数列{a n }中，已知a 1=2，a n+1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126，则n= .
【答案】6
【解析】由a1=2，a n+1=2a n可知数列{a n}为等比数列，公比为2，所以S n=2(1-2) 1-2
n
=126，得n=6.
等比数列的通项公式
例2设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*)，若b n=a n+1-2a n，求数列{b n}的通项公式.
【思维引导】由S n+2=4a n+1+2，a n+2=S n+2-S n+1=4(a n+1-a n)，得a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)，所以b n+1=2b n，再求出首项b1=3≠0，判定{b n}是公比为2的等比数列.
【解答】因为a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*)，
所以S n+2=4a n+1+2，
则a n+2=S n+2-S n+1=4(a n+1-a n)，
所以a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)，
即b n+1=2b n，
所以{b n}是公比为2的等比数列，且b1=a2-2a1.
因为a1=1，a2+a1=S2，
即a2+a1=4a1+2，
所以a2=3a1+2=5，所以b1=5-2=3，
所以b n=3·2n-1.
【精要点评】判断一个数列是不是等比数列，根据定义，看前一项与后一项的比是不是同一个常数，同时还要求b1≠0.
等比数列的求和问题
例3已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=1
2，前n项和为S
n
，且a4+S4，
a5+S5，a6+S6成等差数列.
(1)求等比数列{a n}的通项公式及前n项和S n；
(2)对n∈N*，在a n与a n+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n，求数列{b n}的前n项和T n.
【思维引导】(1)由等比数列的通项公式可求得数列{a n}的通项公式.(2)由等差
数列的前n项和公式可得插入的3n个数的和为b n=
1
2
n n
a a
+
+
·3n，由(1)可求得b n的表达
式，再根据等比数列的前n项和公式即可得到结论.
【解答】(1)设等比数列{a n}的公比为q，
因为a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，
所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5，
即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因为q≠1，
所以q=1
2，所以等比数列{a
n
}的通项公式为a n=
1
2n.
S n=11
1-
22
1
1-
2
n
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
=1-
1
2
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭.
(2)b n=
1
2
n n
a a
+
+
·3n=
33
42
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭，
所以T n=3
4·
1
33
-
22
3
1-
2
n+
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
93
-1
42
n
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦.
【精要点评】本题主要考查等比数列前n项和公式的运用，同时考查构造新数列求通项、求和的方法.
变式(2015·四川卷)设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a3，且a1，a2+1，a3成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列
1
n
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭的前n项和T
n
.
【解答】(1)因为S n=2a n-a3，
所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2)，
即a n=2a n-1(n≥2)，
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1.
又因为a1，a2+1，a3成等差数列，
即a1+a3=2(a2+1)，
所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2，
所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n=2n.
(2)由(1)得1
n
a=
1
2n，
所以T n=1
2+2
1
2+…+
1
2n=
11
1-
22
1
1-
2
n
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
=1-
1
2n.
等差、等比数列的综合问题
例4(2015·南通二调)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列，记c n=a n+b n.
(1)求证：数列{c n+1-c n-d}为等比数列；
(2)已知数列{c n}的前4项分别为4，10，19，34，求数列{a n}和{b n}的通项公式.
【解答】(1)由题意得c n+1-c n-d=(a n+1+b n+1)-(a n+b n)-d=(a n+1-a n)-d+(b n+1-b n)=b n(q-1)≠0，
从而
21
1
--
--
n n
n n
c c d
c c d
++
+=
1
(-1)
(-1)
n
n
b q
b q
+
=q.
又因为c2-c1-d=b1(q-1)≠0，
所以{c n+1-c n-d}是首项为b1(q-1)，公比为q的等比数列.
(2)方法一：{c n+1-c n-d}的前3项为6-d，9-d，15-d，
则(9-d)2=(6-d)(15-d)，
解得d=3，从而q=2.
又因为
11
11
4
3210
a b
a b
+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
，
解得a1=1，b1=3，
所以a n=3n-2，b n=3·2n-1.
方法二：由题意得
11
11
2
11
3
11
4
10
219
334 a b
a d
b q
a d
b q
a d
b q
+=
⎧
⎪++=
⎪
⎨
++=
⎪
⎪++=
⎩
，
，
，
，
消去a1，得
11
2
11
32
11
-6
-9
-15 d b q b
d b q b q
d b q b q
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
，
，
，
消去d，得
2
111
32
111
-23
-26
b q b q b
b q b q b q
⎧+=
⎨
+=
⎩
，
，消去b
1
，得q=2，
从而解得a1=1，b1=3，d=3，
所以a n=3n-2，b n=3·2n-1.
【精要点评】等差数列与等比数列的综合运用主要还是考查基本量的运算，同时考查学生综合分析问题的能力.
变式(2015·北京卷)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4-a3=2.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等?
【解答】(1)设等差数列{a n}的公差为d.
因为a4-a3=2，所以d=2.
又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，
解得a1=4，
所以a n=4+2(n-1)=2n+2.
(2)设等比数列{b n}的公比为q.
因为b2=a3=8，b3=a7=16，
所以q=2，b1=4，
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2，得n=63，
所以b6与数列{a n}的第63项相等.
1. (2015·泰州二模)在等比数列{a n}中，已知a3=4，a7-2a5-32=0，则a7=. 【答案】64
【解析】设公比为q，则有a3q4-2a3q2-32=0，即q4-2q2-8=0，解得q2=4(负值舍去)，所以a7=a3q4=64.
2.在正项等比数列{a n}中，若a3a11=16，则log2a2+log2a12=.
【答案】4
【解析】因为等比数列{a n}中，a3a11=16，所以a2a12=a3a11=16，所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.
3.在等比数列{a n}中，若S5=4，S10=12，则S15=.
【答案】28
【解析】由等比数列的性质知S 5，S 10-S 5，S 15-S 10成等比数列，S 5=4，S 10-S 5=8，所以S 15-S 10=16，则S 15=28.
4.(2016·苏北四市期中)在等比数列{a n }中，若a 1=1，a 3a 5=4(a 4-1)，则a 7= . 【答案】4
【解析】由题知a 3a 5=4(a 4-1)=24
a ，得a 4=2，又a 1=1，
所以由2
4
a =a 1·a 7，得a 7=4.
5.(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =1
1n n n a S S ++，求数列{b n }的前n 项和T n .
【解答】(1)由题设知a 1a 4=a 2a 3=8，
联立a 1+a 4=9，解得1418a a =⎧⎨=⎩，或1481a a =⎧⎨
=⎩，(舍去).
由a 4=a 1q 3，得公比q=2， 所以a n =a 1q n-1=2n-1.
(2)S n =1(1-)
1-n a q q =2n -1，
又b n =11n n n a S S ++=11-n n n n S S S S ++=1n S -11
n S +，
所以T n =b 1+b 2+…+b n =1211-S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2311-S S
⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+111n n S S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=11S -11n S +=1-112-1n +.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第73~74页.
【检测与评估】
第37课等比数列
一、填空题
1．(2015·全国卷)若等比数列{a n}满足a1=1
4，a
3
a5=4(a4-1)，则a2=.
2．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，那么此数列的公比q=.
3．(2015·湖南卷)设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=.
4．若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n的值为.
5．(2015·泰州期末)在等比数列{a n}中，若a1+32a6=0，a3a4a5=1，则{a n}的前6项和为.
6．(2015·镇江期末)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a7+a8+a9=.
7．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+…+ln a20=.
8．已知a n=1
n sin
π
25
n
，S n=a1+a2+…+a n，那么在S1，S2，…，S100中，正数的个数
是.
二、解答题
9．(2014·福建卷)在等比数列{a n}中，已知a2=3，a5=81．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.
10．(2015·苏州调查)已知数列{a n}共有2k项(k≥2)，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=(p-1)S n+2(n=1，2，…，2k-1)，其中常数p>1．
(1)求证：数列{a n}是等比数列.
(2)若p=
2
2-1
2k，数列{b
n
}满足b n=
1
n log
2
(a1a2…a n)(n=1，2，…，2k)，求数列{b n}的
通项公式.
11．(2015·湖南卷)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3．
(1)求证：a n+2=3a n.
(2)求S n.
三、选做题
12．(2015·桐乡一中模拟)在数列{a n}中，S n为它的前n项和，已知a2=4，a3=15，且数列{a n+n}是等比数列，则S n=.
13．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1·a n=2n，则S2 017=.
【检测与评估答案】
第37课等比数列
1．1
2【解析】因为{a
n
}为等比数列，所以a3a5=4(a4-1)=
2
4
a，得a
4
=2．又a1=
1
4，
故
4
1
a
a=
2
1
4=8=q3，得q=2，所以a
2
=
1
4×2=
1
2.
2．3【解析】由a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减得a6-a5=2a5，得a6=3a5，所以公比q=3.
3．3n-1【解析】设等比数列{a n}的公比为q.由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2=3S1+S3，即3S2-3S1=S3-S2，所以3a2=a3，得q=3，所以a n=a1q n-1=3n-1．
4．1
4【解析】设方程x2-5x+m=0的两根为x
1
，x2，方程x2-10x+n=0的两根为x3，
x4，则
12
12
5
x x
x x m
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
34
34
10
.
x x
x x n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
由题意知x1=1，x2=4，x3=2，x4=8，所以m=4，
n=16，所以m∶n=1 4.
5．-21
4【解析】由a
1
+32a6=0，得
6
1
a
a=-
1
32=q5，所以q=-
1
2.又a
3
a4a5=1，即
3
4
a=1，
所以a4=1，则a1=
4
3
a
q=-8，所以{a
n
}的前6项和S6=
6
1
-81--
2
1
1
2
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
+
=-
21
4.
6．448【解析】因为a1+a2+a3=7，a1+a2+a3+…+a6=63，所以a4+a5+a6=56．因
为a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等比数列，所以a7+a8+a9=
2
56
7=448.
7．50【解析】由题意得2a10a11=2e5⇒
a10a11=e5，所以ln a1+ln a2+…+ln
a20=ln(a1·a2·…·a20)=ln(a10a11)10=10×ln e5=50.
8．100【解析】当1≤n≤24时，a n>0；当26≤n≤49时，a n<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，a n>0；当76≤n≤99时，a n<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值.所以当1≤n≤100时，均有S n>0.
9．(1)设等比数列{a n}的公比为q.
依题意得
1
4
1
3
81
a q
a q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
解得
1
1
3
a
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
所以a n=3n-1．
(2)因为b n=log3a n=n-1，
所以S n=
1
()
2
n
n b b
+
=
2-
2
n n
.
10．(1)因为a n+1=(p-1)S n+2(n=1，2，…，2k-1)，所以a n=(p-1)S n-1+2 (n=2，3，…，2k)，
两式相减得a n+1-a n=(p-1)(S n-S n-1)，即a n+1-a n=(p-1)a n.
所以a n+1=pa n(n=2，3，…，2k-1).
原式中，令n=1，得a2=(p-1)a1+2=2(p-1)+2=2p=pa1，
所以a n+1=pa n，即
1
n
n
a
a
+
=p≠0(n=1，2，…，2k-1)，
所以数列{a n}是等比数列.
(2)由(1)得a n=a1p n-1．
所以b n=1
n log
2
(a1a2…a n)
=1
n log
2
(a1·a1p·a1p2·…·a1p n-1)
=1
n log
2
(1
n
a·12-1n
p+++ )
=log2(a1·
-1 2 n
p)=1+
-1
2
n
log2p
=1+
-1
2
n
·
2
2-1
k
=1+
-1 2-1 n k.
11．(1)因为对任意的n∈N*，
有a n+2=3S n-S n+1+3，
所以对任意的n∈N*，n≥2，
有a n+1=3S n-1-S n+3．
两式相减得a n+2-a n+1=3a n-a n+1，
即a n+2=3a n，n≥2．
又因为a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1，所以对一切n∈N*，a n+2=3a n.
(2)由(1)知a n≠0，所以
2
n
n
a
a
+
=3，于是数列{a2n-1}是首项a1=1、公比为3的等比数列；
数列{a2n}是首项a2=2、公比为3的等比数列.
因此a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1．
于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-
1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3-1)
2
n
，从而S2n-1=S2n-a2n=
3(3-1)
2
n
-2·3n-1=
3
2
(5·3n-2-1).
综上，S n=
-3
2
2
3
(53-1)
2
3
(3-1).
2
n
n
n
n
⎧
⋅
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
，为奇数，
，为偶数
12．3n-
22
2
n n
++
【解析】因为{a n+n}是等比数列，所以q=
3
2
3
2
a
a
+
+=3，a
2
+2=6，
所以a n+n=6·3n-2=2·3n-1，所以a n=2×3n-1-n，S n=2(1-3)
1-3
n
-
(1)
2
n n+
=3n-
22
2
n n
++
.
13．21 010-3【解析】根据题意知a2=2．由a n+1·a n=2n，得a n+2·a n+1=2n+1，两式相除
得
2
n
n
a
a
=2，所以{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，而{a n}的前2 017项中有1
009项奇数项和1 008项偶数项，而且奇数项和偶数项构成的数列分别是以1和2为首
项，以2为公比的等比数列，所以S2 017=
1009
1-2
1-2+
1008
2(1-2)
1-2=21 010-3.。