湘教版九年级上册数学第3章 图形的相似 成比例线段

10．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞PB，则有( B )
A．AB2＝AP·PB B．AP2＝PB·AB
C．PB2＝AP·AB
D．AP＝
25－1AB
11．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点 的方法．如图所示，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连接 BE，延长 DA 至 F，使得 EF＝BE，以 AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点．若 记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是( C ) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
12．如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，BC＝12AC，以点 B 为圆 心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，再以点 A 为圆心，
AD 长为半径画弧，交 AC 于点 E，下列结论错误的是( )
A.BACB＝
5 5
C.EACC＝3＋2 5
B.AAEC＝
5－1 2
D.AACB＝2 5 5
第3章图形的相似
3.1 比例线段 第2课时
成比例线段
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1比
1B
2C
6C
7C
新知笔记
2 5－1 2
3D
4 3∶1
答案显示
5 2∶1
8 8cm 9 见习题 10 B
11 C
12 C
13 见习题 14 见习题 15 见习题
1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的 ___比____，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段．
解：存在. 如图，P1，P2，P3 即为所求． (ⅰ)以 CD 为底边的黄金三角形：作 CD 的垂直平分线分别交直 线 AB，BC 于点 P1，P2. (ⅱ)以 CD 为腰的黄金三角形：以点 C 为圆心， CD 长为半径画弧交 BC 于点 P3.
2．将一条线段 AB 分成不相等的两部分，其中较短的线段 CB 与
较长的线段 AC 的比等于较长的线段 AC 与原线段 AB 的比，
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫作线段 AB 的黄金 5－1
分割点，黄金分割比为____2____．
1．在比例尺是 1∶6 000 的地图上，某路的长度约为 25 cm，它 的实际长度约为( B ) A．1 200 m B．1 500 m C．2 000 m D．2 400 m
7．已知在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为 1.5 米， 在地面上的影长为 2 米，同时一古塔在地面上的影长为 40 米，则古塔的高为( C ) A．60 米 B．40 米 C．30 米 D．25 米
8．在△ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 上的点，AB＝12 cm， AE＝6 cm，EC＝3 cm，且ABDD＝AEEC，则 AD 的长为__8_cm_____．
(2)我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形．它
的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割
比
5－1 2.
①写出图中所有的黄金三角形；
解：黄金三角形：△BDC，△CDA，△BAC.
(2)我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形．它
的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割
9．如图，有矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′，其中 AB＝8 cm， BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(1)求AA′BB′和BB′CC′； 解：∵AB＝8 cm，BC＝12 cm， A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm， ∴AA′BB′＝48＝12，BB′CC′＝162＝12.
9．如图，有矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′，其中 AB＝8 cm， BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(2)线段 A′B′，AB，B′C′，BC 是成比例线段吗？
解：由(1)知AA′BB′＝BB′CC′＝12， ∴线段 A′B′，AB，B′C′，BC 是成比例线段．
比
5－1 2.
②求 AD 的长；
解：∵△BAC 是黄金三角形，
∴ABCC＝
5－1 2.
∵BC＝2，∴AC＝ 5－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝ 5－1，
∴AD＝BA－BD＝2－( 5－1)＝3－ 5.
③在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P(点 A，B 除外)，使△PDC 是黄金三角形？若存在，在图中画出点 P，简要说明画出点 P 的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
3．直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4，那么斜边与斜边上的
高的比是( D )
A．5∶3
B．5∶4
C．5∶12 D．25∶12
4．延长线段 AB 到 C，使 BC＝2AB，则 AC∶AB 为_3_∶__1____．
5．正方形的对角线的长与边长的比是__2_∶__1___．
6．下列四条线段是比例线段的是( C ) A．1 cm，2 cm，4 cm，6 cm B．3 cm，4 cm，7 cm，8 cm C．2 cm，4 cm，8 cm，16 cm D．1 cm，3 cm，5 cm，7 cm
【答案】C
13．已知三条线段的长分别为 1 cm，2 cm， 2 cm，如果另外一
条线段与它们组成成比例线段，求另外一条线段的长. 解：设另外一条线段的长为 x cm，则有三种情况：
①1×2＝ 2x，解得 x＝ 2；
②2× 2＝1·x，解得 x＝2 2；
③1×
2＝2x，解得
x＝
2 2.
综上所述，另外一条线段的长为 2
2．【易错题】下列说法正确的是( C ) A．线段 m，n 的比就是线段 n，m 的比 B．若线段 m∶n＝4∶5，则 m＝4 cm，n＝5 cm C．线段 a 与 b 的比值没有单位，且比值是一个正数 D．若线段 a＝10 cm，b＝30 dm，则 a∶b＝1∶3
【点拨】本题易错点是根据两条线段的比为 m∶n, 直接认定这 两条线段的长分别为 m，n.
22 2
cm.
14．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的 矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形长与宽 的比．
解：设原矩形的长是 a，宽是 b，则 DE＝CF＝a－b.
由题意得BACB＝CCDF，即ab＝a－b b，整理得 a2－ab－b2＝0，
两边同除以 b2，得ab2－ab－1＝0，
【点拨】设 BC＝a，则 AC＝2a，由勾股定理，得 AB＝
AC2＋BC2＝ 5a.由题意，得 AE＝( 5－1)a，EC＝(3－ 5)a.
∴BACB＝
a＝ 5a
55，A
正确，不符合题意；AAEC＝
52－1，B 正确，
不符合题意；EACC＝3－2 5，C 错误，符合题意；AACB＝2 5 5，
D 正确，不符合题意．故选 C.
解得ab＝ 52＋1或ab＝1－2 5(舍去)．
∴原矩形长与宽的比为
5＋1 2.
15．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB＝DC＝AC， 已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B 的度数；
解：∵BD＝DC＝AC，∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A. 设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x. 又∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°， 即 x＋2x＝108°，解得 x＝36°.∴∠B＝36°.