22.3不等式选讲 5年高考3年模拟(江苏版)复习课件

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即x=z=0,y=-4时取等号, 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.
方法技巧
方法一 绝对值不等式的解法与证明方法
1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
⌀
⌀
|x|>a
{x|x>a或x<-a}
3 2
.
解法二:原不等式可化为 x 1 + x 1 ≤3,
2
2
其几何意义为数轴上的点到 1 ,- 1 两点的距离之和不超过3的点的集合,
22
数形结合知,当x= 3 或x=- 3 时,到 1 ,- 1 两点的距离之和恰好为3,故当- 3 ≤
2
2
22
2
x≤
3 2
时,满足题意,则原不等式的解集为x
3 2
x
3 2
.
方法二 不等式的证明方法
不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5) 放缩法.
例2 (2017江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设x,
y,z均为正实数,且xyz=1,求证:
1 x3 y
+
1 y3z
+
1 z3x
≥xy+yz+zx.
考向突破 考向一 含绝对值不等式的解法 例1 (2019届江苏南师附中月考)解不等式|x+2|-|x-1|≤1. 解析 令f(x)=|x+2|-|x-1|.当x≤-2时,x+2≤0,x-1<0,则f(x)=-(x+2)-(1-x)=-3, 此时f(x)=|x+2|-|x-1|≤1恒成立; 当-2<x<1时,x+2>0,x-1<0,则f(x)=(x+2)-(1-x)=2x+1,令f(x)≤1,即2x+1≤1, 解得x≤0,由于-2<x<1,则有-2<x≤0; 当x≥1时,x+2>0,x-1≥0,则f(x)=(x+2)-(x-1)=3,此时f(x)≤1不成立. 综上所述,不等式|x+2|-|x-1|≤1的解集为(-∞,0].
例1 在实数范围内解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.
解析 解法一:当x> 1 时,原不等式转化为4x≤6⇒ 1<x≤ 3;
2
2
2
当- 1 ≤x≤ 1 时,原不等式转化为2≤6,恒成立;
2
2
当x<- 1 时,原不等式转化为-4x≤6⇒- 3≤x<- 1.
2
2
2
综上,原不等式的解集为
x
3 2
x
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考向基础
考点二 不等式证明
1.均值不等式
定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当① a=b 时,等号成立.基
ab
本不等式:如果a,b>0,那么② 2 ≥ ab ,当且仅当a=b时,等号成立.
abc
三个正数的算术—几何平均不等式:如果a,b,c>0,那么③ 3 ≥ 3 abc ,
当且仅当a=b=c时等号成立.基本不等式的推广:对于n个正数a1,
a2,…,an,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即 a1 a2 an
n
≥ n a1 a2 an ,当且仅当④ a1=a2=…=an 时,等号成立.
2.柯西不等式 二元柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,a,b,c,d∈R,当且仅当⑤ ad=bc 时 等号成立. 柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且 仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 类似地,从空间向量的几何背景也能得到|α·β|≤|α||β|.将空间向量的坐标 代入,可得到三元柯西不等式:(a12 +a22 +a32 )·(b12 +b22 +b32 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2, 当且仅当α,β共线时,即β=0,或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号 成立. 一般形式的柯西不等式:设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则( a12+ a22+… + an2 )( b12 + b22 +…+bn2 )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存 在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
b.把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间. c.分别在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不 等式在这个区间上的解集. d.这些解集的并集就是原不等式的解集. 2.含绝对值的三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:若a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等 号成立. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|. 推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.
将上述三个不等式左、右两边分别相加,并除以2,得 x + y + z ≥ 1 + 1 +
yz zx xy x y
1.
z
考向二 柯西不等式的应用 例2 已知x,y,z∈R,且x+2y+3z+8=0.求证:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14. 证明 因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](12+22+32)≥[(x-1)+2(y+2)+3(z-3)]2=(x+ 2y+3z-6)2=142, 当且仅当 x 1= y 2 = z 3 ,
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解. ②利用零点分段法求解. ③构造函数,利用函数的图象求解. 2.证明绝对值不等式的常用方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明. (2)利用绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明. (3)转化为函数问题,数形结合进行证明.
高考数学（江苏专用）
22.3 不等式选讲
考点清单
考点一 含绝对值的不等式
考向基础 1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: 若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b ≤-c,然后根据a、b的值解出即可. 若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. (2)解|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的一般步骤: a.令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.
Байду номын сангаас
证明 因为x,y,z均为正实数,且xyz=1,
所以
1 x3 y
+xy≥2
1 x2
=
2 x
=2yz,即
1 x3 y
≥2yz-xy.
同理,得
1 y3z
≥2zx-yz,
1 z3x
≥2xy-zx,当且仅当x=y=z=1时取等号.三式相加,
即得 1 + 1 + 1 ≥xy+yz+zx.
x3 y y3z z3x
考向突破
考向一 均值不等式的应用 例1 已知x,y,z均为正数,求证: x + y + z ≥ 1 + 1 + 1 .
yz zx xy x y z
证明 因为x,y,z均为正数,
所以
x yz
+
y zx
=
1 z
x y
y x
≥
2 z
.
同理可得 y + z ≥ 2 , x + z ≥ 2 .
zx xy x yz xy y
考向二 含绝对值不等式的证明
例2
已知x,y∈R,且|x+y|≤
1 6
,|x-y|≤
1 4
,求证:|x+5y|≤1.
证明 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| =3|x+y|+2|x-y|≤3×1 +2× 1 =1,所以|x+5y|≤1.