2005-2006高二数学(理科A)答案

珠海市2005-2006学年度质量检测试卷 高二数学（理科A 卷，两个一中用）
参考答案及评分标准
考试用时120分钟，共150分．本次考试允许使用函数计算器，不得相互借用．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将所选答案标号填入下表：
1．等差数列}{n a 中,a 3=7, a 9=19,则a 5=
（A ）10 （B ）11 （C ） 12 （D ）13
2．数列}{n a 满足：n n n a a a +=++12, a 1=1,a 2=2,则该数列前5项之和为 （A ）11 （B ）18 （C ）19 （D ）31 3． 在ΔABC 中，a=5，B=30°，A=45°，则b= （A ）
225 （B ）335 （C ）2
6
5 （D ）25
4．不等式0)2(>-x x 的解集是
（A ）（-∞，2） （B ）（0，2） （C ）（-∞，0） （D ）（-∞，0）∪（2，+∞）
5．已知两正数ａ、ｂ满足：1622=+b a ，则ab 的最大值是 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
6．已知q 是r 的必要不充分条件，s 是r 的充分且必要条件，那么s 是q 成立的
（A ）必要不充分条件 （B ）充要条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7． 双曲线14
22
=-y x 的一个焦点坐标是
（A ）)0,5(- （B ）)5,0( （C ）)3,0( （D ）)0,3(- 8．抛物线的顶点在原点，准线是x=4，它的标准方程是
（A ）x y 162-= （B ）y x 162-= （C ）x y 82-= （D ）
y x 82= 9．椭圆上116
92
2=+y x 一动点P 到两焦点距离之和为
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）不确定 10．已知空间两点A （4，a ，-b ），B （a ，a ，2），则向量AB = （A ）（a-4，0，2+b ） （B ）（4-a ，0，-b-2） （C ）（0，a-4，2+b ） （D ）（a-4，0，-b-2） 11．向量a =（0，1，2），b =（1，0，-1），则数量积a •b=
（A ）（1，1，1） （B ）0 （C ）-2 （D ）（0，0，-2）
12．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1123
OM xOA OB OC =++，
则x 的值是
（A ）0 （B ）1/2 （C ）1/3 （D ）1/6
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线
上. 13．在ΔABC 中，ab c b a -=+222，则角C=120°(或
3
2π
)． 14．已知点P(x,y)满足：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≥-0
,020
y x y x y x ，则y x z +=21可取
得的最大值为３／２． 15．命题“
x ∈R ，x 2- x ≥0.”的否定是0,2<-∈∃x x R x .
16．椭圆的两个焦点恰好将长轴三等分,则椭圆的离心率是_1/3_． 17．斜率为1的直线与抛物线x y =2只有一个公共点，这条直线的方程是
4
1+
=x y ． （其它形式如0144,04
1
=+-=+
-y x y x 等均给满分） 18．在三棱锥P-ABC 中,三侧棱两两垂直,且PB=PC=2PA,PO 垂直于面ABC,O
是垂足,如果设=PA a =PB b =c ,请用a 、b 、c 表示P ：c b a
6
16132++．
得分 评卷人
三、解答题:本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤. 19．(本小题满分10分)
在下面是电路图（1）、（2）中，分别简述闭合开关A 是
灯泡B 亮的什么条件？
解：在图（１）中，闭合开关Ａ是灯泡Ｂ亮的充分但不必要条件．（２分）当开并Ａ
闭合时，灯
泡
Ｂ一定亮，但灯泡Ｂ亮时，开关Ａ不一定闭合（可以是开关C 闭合）．（５分）
在图（２）中，闭合开关Ａ是灯泡Ｂ亮的
必要但不充分条件．（７分）当开关Ａ闭合时，灯泡Ｂ不一定亮（由开关Ｃ的状态决定），但灯泡Ｂ亮时，开关Ａ一定是闭合的（此时C 也是闭合的）．（10分）
(注:如果只说出一半,则按一半计分.没有理由,扣理由分)
20．(本小题满分12分) 三个数成等比数列，且它们的和为21，积是64．求这三个数．
图
(1)
图(2)
解:设这三个数依次为a/q,a,aq (2分) 根据题意,有 a/q+a+aq=21(4分)和64=⋅⋅aq a q
a ,(6分)
解得:a=4,(8分)q=4或1/4(10分) 这三个数依次为1,4,16或16,4,1(12分)
2１．(本小题满分12分)
已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、
BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是2，求点M 的轨迹方
程，并说明曲线的类型． 解
:
设
M(x,y),
则
),0(0
)
1(),0(01≠---=≠--=
x x y k x x y k AM BM (4
分),t k k AM BM -=⋅(5分)
)0(0
)1(01≠-=---⋅--x t x y x y ,(7分)整理得)0(1122
≠=+x t
x y (10分,少了限制扣1分)
(1) 当t ∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除去A 和B 两点);(12分)
(2) 当t=1时,M 的轨迹为圆(除去A 和B 两点).(14分,多了两点扣2分)) 22．(本小题满分14分)
已知抛物线方程为212x y =，直线l 过其焦点，交抛物线于
A 、
B 两点，|AB|＝１６．１）求抛物线的焦点坐标和准线方程；２）求Ａ、Ｂ中点的纵坐标．
解：1）由抛物线方程为212x y =，对比标准方程)0(22>=p py x 可得2P=12，P=6
得焦点F （0，3），准线方程为：3-=y ．(4分)
２）（解法一）设直线l 的斜率为k,设),(),,(2211y x B y x A ,A 、B 的中点M ),(00y x ． 直线的方程：ｙ＝ｋｘ＋３，联立方程组得：(5分)
⎩⎨⎧=+=y
x kx y 123
2
，(7分)消去ｙ，整理得：036122=--kx x (9分) 方程中，0144144)36(4)12(22>+=---=∆k k ，有两个不同的根． 由根与系数的关系得：36,122121-==+x x k x x (10分)
由|AB|＝１６得：16)4))((1(||21212=-++=x x x x k AB ，(11分) 代入，整理得：916)1(22=
+k ，得3
1
2=k ．(12分) M ),(00y x 在直线l 上，有：300+=kx y ，3632
22
10+=++⋅
=k x x k y （１３分）
∴50=y ，即Ａ、Ｂ中点的纵坐标为5．（１４分）
（解法二）：设直线l 的斜率为k,设),(),,(2211y x B y x A ,A 、B 的中点M ),(00y x ， 过Ａ、Ｂ分别作准线的垂线，垂足分别为Ｐ、Ｑ，焦点F 在弦AB 上，（5分）
|FA|+|FB|=|AB|=16，（6分）由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，（8分） 而|AP|=3211+=+
y p y ，
（9分） |BP|=32
22+=+y p
y ，（10分） 163321=+++y y ，1021=+y y ，（12分） 52
2
10=+=y y y （13分） 即Ａ、Ｂ中点的纵坐标为5．（１４分）
23．(本小题满分14分)
已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中的底面是菱形，且∠DAB=∠A 1AB
=∠A 1AD =60°，AD=1，AA 1=a ，F 为棱BB 的中点，M 为线
段AC 的中点．设AB =e 1，AD =e 2，1AA =e 3．试用向量法解下列问题：
１）求证：直线ＭＦ//平面ABCD ； ２）求证：直线ＭＦ
面A 1ACC 1；
３）是否存在a ，使平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角是30°？如
果存在，求出相应的a 值，如果不存在，请说明理由．（提示：可设出两面的交线）
1）证明：|e 1|=|e 2|=1，|e 3|= a ，e 1 e 2=1/2，e 1 e 3= e 2 e 3= a /2，（2分）
1AC = e 1+ e 2 +e 3，AM =（e 1+ e 2 +e 3）/2，
得分 评卷人
F
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
11
2
AF AB BF AB AA =+=+
= e 1+ e 3/2， MF AF AM =-=（e 1- e 2）/2，
（3分） DB AB AD =-= e 1- e 2=2MF ，
DB 在面ABCD 内，MF 在面ABCD 外， 直线ＭＦ//平面ABCD ；（4分）
２）证明：1MF AA ⋅＝（e 1- e 2）e 3/2＝０，（5分）
MF AC ⋅=（e 1- e 2）（e 1+ e 2 +e 3）/2＝０，（6分）
ＭＦ AA 1，ＭＦＡＣ，ＡＣ和AA 1是面ABCD 内的相交直线,
直线ＭＦ面A 1ACC 1；（7分）
3）解：设平面AFC 1与平面ABCD 的交线为ｃ，两平面有一个公共点Ａ，Ａ在直线ｃ上；ＭＦ在面AFC 1内，直线ＭＦ//平面ABCD ，有ＭＦ//直线ｃ，
由２）知，,直线ＭＦ面A 1ACC 1, 直线ＡＣ和直线AC 1在平面A 1ACC 1内, ＭＦ
AC 1，ＭＦ
ＡＣ，因此，有AC 1
直线ｃ，ＡＣ
直线ｃ，
平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角是óC １AC ， （10分） 假设存在这样的a ，使óC １AC ＝30°，则1cos30cos ,AC AC ︒=〈〉
111cos ,||||
AC AC AC AC AC AC ⋅〈〉=
⋅=333a +⋅（12分）
整理,得方程:24390a a -+=,
=(-3)2-4
49=9-4
4
9<0,方程无
解,（13分）
因此不存在这样的a值,使平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是30°
（14分）
以上答案和评分标准仅供参考。

如有其它解法，请参照设计评分细则。