高中数学知识点：两角差的余弦公式

高中数学知识点：两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系xoy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ，则(c o s ,s i n ),(c o s O A O B ααββ==
由向量数量积的概念，有
||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-，结合向量数量积的坐标表示，有
cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+
所以cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （*）
（2）由以上的推导过程可知，,αβ是任意角，则αβ-也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的αβ-[]0,π∈．为此，我们讨论如下：
由于αβ-是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角[]0,2θπ∈，使cos cos()θαβ=-．
①若[)0,θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-．
②
若[),2θππ∈，则(]20,πθπ-∈，且c o s (2O A O B πθθαβ⋅=-==- 由以上的讨论可知，对于任意的,αβ，都有：
cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ()C αβ-
2．公式的记忆
右端为,αβ的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．
要点诠释：
(1)公式中的αβ、都是任意角．
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ-≠-．
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．。