问题驱动的常微分方程案例教学设计

问题驱动的常微分方程案例教学设计
汪凯
【摘要】从实际问题出发,提出了基于问题驱动的高校常微分方程案例教学设计.通过生动具体的案例来调动学生的学习积极性,提高其学习常微分方程的兴趣,从根本上改变被动消极的学习现状.
【期刊名称】《宁夏师范学院学报》
【年(卷),期】2015(036)003
【总页数】5页(P86-89,101)
【关键词】常微分方程;案例教学;数学模型
【作者】汪凯
【作者单位】安徽财经大学统计与应用数学学院,安徽蚌埠233030
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
微分方程反映客观世界运动过程中量与量之间的相互作用关系，它在自然科学的众多领域中,如经济、生物、工程、医学以及社会等有着广泛的应用.作为高等数学的一个重要分支，常微分方程和代数、几何、拓扑等其它数学分支一样，具有非常强的理论性和高度的抽象性.对教师而言,如何把高度抽象的微分方程知识具体生动地向学生演绎是一个挑战.目前，常微分方程教科书内容的编排，大部分仍停留在20世纪70年代，所选择的例题和模型大多数来源于物理，如东北师大微分方程教研室编写的教材
[1]以及王高雄
[2]等编写的教材.这无疑增加了非物理学专业学生学习这门课程的难度，
尤其是财经类院校.但鉴于微分方程在经济和管理等学科中有着广泛的应用，目前
我校除了应用数学和信息与计算科学两个专业开设了这门课程，统计学专业也开设了这门课程.这就对如何结合我校学生的知识结构特征上好这门课程提出了新的要求.在此背景下提出了基于问题驱动的案例教学方法，以实际问题来驱动和引导学
生自主学习，使他们对实际问题转化为微分方程模型的过程有全面而深刻的了解和认识，真正参与到课堂学习中来，增强他们在学习过程中的主体地位，提高他们的学习兴趣.
背景在研究江河水质变化情况的过程中，降解系数是一个重要的指标.通常认为，水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水.一般来说，江河自身对污染物有
一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等，可使水中污染物的浓度逐渐降低.而反映江河自然净化能力的指标称为降解系数
[3].
问题1 (污染物降解)长江干流的自然净化能力可认为是近似均匀的，根据检测主
要污染物氨氮的降解系数通常介于0.1-0.5(单位: 1/天)之间.根据《长江年鉴》中公布的相关资料，2005年9月长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据为: 湖南岳
阳城陵矶 0.41，江西九江河西水厂0.06，已知从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂的长江河段全长500 km，该河段长江水的平均流速为0.6 m/s.试求:
1)氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程;
2)研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律，并确定该河段氨氮的降解系数;
3)若氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？
解1)设
t时刻氨氮的浓度为N(t)，日降解系数为
k，0时刻的氨氮浓度为N
0，则氨氮浓度随时间变化所满足的方程为
2)该河段氨氮浓度随时间的变化规律满足方程N′(t)=-kN(t)，解得
lnN-
lnN
0=-kt,带入边界条件N(0)=0.41,N(9.6451)=0.06得k=0.1993.从而该河
段氨氮浓度随时间的变化规律为N′(t)=-0.1993N(t).
3)从2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点.
对上述问题分析建模，得到的是一阶线性齐次微分方程，利用分离变量法很容易求解，也可以直接利用一阶线性齐次方程的通解公式求得其通解，从而此问题可以用来训练学生对这类方程的求解.
背景相对封闭环境中的传染病传播问题.假设N个人共同生活在一个相对封闭的环境中，如果其中的一个人感染了某种传染疾病，而这种传染病又有一定的潜伏期，
因而未发病时人们是不知道的，一旦发现患者发病，即使立刻被隔离起来，实际上这种疾病已经在传播了.在这种情况下，研究传染病在人群中的传播情况
[2].
问题2 (疾病传播)
[3]在大洋上航行的一只船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病.由于该传染病没有早期症状，故感染者不能被及时被隔离，直升机将在60小时~72小时间运来疫苗.试估算疫苗运到时患此传染病的人数并计算传染病高潮到来的时刻.
分析设I(t)为发现首例病人后t时刻被感染的人数，则N-I(t)就表示t时刻未被感染的人数.由于在传染病传播初期I(t)较小，从而能接触到的感染者人数较少，因而单位时间内被感染的人数也少，从而传播速度相对较为缓慢; 但在后期，由于大多数人已被感染上疾病，即I(t)较大，未被感染者的数量N-I(t)已经很少了，从而单位时间内被感染的人数也很少，因而传播速度也很慢.排除上述两种极端情况，在疾病传播中期，即感染者和未被感染者均较多的情形下，传染病的传播速度是很快的.因此，传染病的发病率不仅受到已感染者数量的影响，而且也受到未感染者人数的制约，从而传染病的传播率与二者成正比.
解建立如下微分方程模型
上式中k是比例常数，可根据发病的统计数据来算得，I
0表示初始时刻已感染的人数.变量分离后积分得解为I(t)=NI
0[I
0+(N-I
0)e
-Nkt]
-1，代入条件I(0)=1,I(12)=3得k=0.0001147，于是
疫苗运到时患此传染病的人数为
传染病高潮到来的时刻: 对(1)两边关于t求导并令其等于0，得
从而得I=0.5N为拐点，即当I<0.5N时I′′>0，此时I′(t)是递增的，而当I>0.5N 时I′′<0，此时I′(t)是递减的.从而感染高潮时的人数为I=0.5N=400(人)，代入(2)式得
这与(1)中计算的72小时的感染人数约为385人是一致的(注:
I(72.8035)=400.001≈400).
针对一阶非线性微分方程，设计了上面的传染病问题所驱动的案例，以促进学生对此类方程的推导过程和求解方法的理解和掌握.同时也体现了微分方程在疾病传播领域中的应用，使学生对疾病传播的特征以及利用数学方法来描述和分析疾病传播的特征有一定的认识和了解.
背景溶液浓度问题是工农业生产和治理环境污染中经常遇到的问题，这类问题可以描述为: 一个容器有一个入口和一个出口，里面装满了某种溶液，现以均匀的速率从入口向容器内注入一定浓度的相同溶液或清水，搅拌均匀后以同样的速率从出口排出，在忽略搅拌的时间后，容器内溶液浓度的变化规律是怎样的呢?
[3]
问题3 (溶液浓度)
[3]容器内盛有1000公斤清水，若以5公斤/分钟的速率注入浓度为0.2的盐水并不停地搅拌，并以同样的速率排出搅拌后的盐水，问容器内的含盐量达到100公斤所需要的时间是多少？
解设t时刻容器内的含盐量为y(t)，则此时溶液的浓度为0.001y(t)，于是在时间间隔[t，t+dt]内，进盐量: 0.2×5×dt=dt,出盐量: 0.001y×5×dt=0.005ydt.从而含盐量的微元即为dy=dt-0.005ydt 或y′+0.005y=1，这是一阶线性非齐次微分方程.易求得该微分方程满足初始条件y(0)=0的解为y=200(1-e
-0.005t). 这就是容器内的含盐量y随时刻t变化的规律.将y=100代入上式得t≈138.62分，即经过约2小时18分37秒可使容器内的含盐量达到100公斤.
上述问题可进一步推广，如流入容器内的溶液和流出容器的溶液的速度可以不同.另外，容器中原有的是盐水，而流入的是清水等情况.这些问题均可以让学生自己建立微分方程模型求解，以培养其独立思考和解决实际问题的能力.
背景正常驾驶条件对跟车距离的要求大约是每16公里的速率可以允许一辆车长度的跟随距离，但是在不利天气或道路条件下要有更长的跟车距离.驾驶员发现危险并刹车到使车辆停止的距离=反应距离+刹车距离，其中反应距离就是从司机意
识到要刹车的时刻到真正刹车的时间间隔内车辆所通过的距离，刹车距离就是刹车开始后使车辆完全停止所通过的距离.这里我们感兴趣的是刹车距离，在忽略掉诸
如刹车的效率、轮胎的类型和状态、道路表面的情况以及天气条件等不确定因素外，影响刹车距离的两个重要因素是车辆的重量和车速，由此提出下面的刹车距离问题 [4].
问题4 (刹车距离)
[4]假设汽车最大刹车力的增加与汽车质量成正比，预测驾驶员发现危险后从刹车开始到使得车辆完全停止的距离.
解记刹车开始时刻车辆的行驶速度为v
0，刹车距离为d
b,s(t),v(t)分别表示刹车开始后t时刻车辆的位移和速度，并假设应急停车时所施加的最大刹车力F是连续作用的，则F=-km，其中k是某个正的比例常数，负号表示减速.从而由牛顿运动定律可得
其中a表示加速度，整理得二阶微分方程s′′(t)=-k，这是右端函数不显含自变量、未知函数及其各阶导数的特殊形式的二阶方程，可采用多次积分的方法求解，即s′(t)=-kt+v
0，这里利用了速度与位移的关系s′(0)=v
0，由于初始时刻s
0=0，车辆停止时刻t
b，s(t
b)=d
b，从而得
+v
0t
b.
另一方面，由v(t)=-kt+v
0，当汽车完全停止时，即t=t
b时v(t
b)=0，可得t
b=v
0/k，代入上式得
/k.这表明刹车距离与刹车开始时刻汽车行驶速度的平方成正比，常数k合理的取值是0.6g(g为重力加速度)，一般可解释为乘客所感觉到的车辆的减速.
刹车距离问题导出的是一个比较简单的二阶常系数线性方程，采用初等积分法或特征根法都很容易求得其通解.该问题驱动的案例教学的预期效果有三个:首先，培养学生利用微分方程模型解决类似实际问题的能力; 其次，培养学生对驾车的合理跟车距离的准确判断能力; 最后，使学生认识到超速驾驶所带来的危害的严重性，对于其将来养成良好的驾驶习惯有一定的促进作用.
背景两个国家之间由于互不信任以及各种矛盾的存在和发展而不断增加各自的军事力量，以防御对方可能发动的战争，能否用一个数学模型来描述这种军备竞赛的
过程，从而定性和定量地对竞赛的结果做出预测和分析.在一些合理的假设前提下，L.F.Richardson于1939年建立了描述军备竞赛的模型
[5].
问题5 (军备竞赛)
[6] 甲乙两个国家在时刻t的军备支出分别用x(t),y(t)表示，影响军备的三个主要因素为: 一方军备的增加速度是另一方军备的增函数; 由于受到总的经济力
量的限制，任一方军备越大，对军备增长的制约作用越大; 双方均存在潜在增加军备的倾向.试建立描述两国军备支出的数学模型并加以分析.
解设x(t),y(t)分别表示t时刻国家甲和乙每年的防御支出，并假设前两个因素的
影响是线性的，第三个因素是常数.则可建立如下两个国家军费支出的微分方程组
模型
其中非负常数a,b,c分别表示国家甲防御支出的经济限制、国家甲与国家乙的敌对强度、国家甲对国家乙感到的所有潜在的不安全因素.非负常数m,n,p的意义类似.当an≠bm时，可由方程组
，求得一组常数解，即方程组(3)的平衡点
,
.
设x(t)=Ae
λt,y(t)=Be
λt，代入方程组(3)所对应的齐次方程组为
此方程组有非零解的条件是|λE-C|=0，其中
，
E是单位矩阵.设其特征值为λ
1,λ
2，则齐次方程组的通解为
其中常数A
11,A
12,B
21,B
22由方程组(4)确定.因而方程组(3)的通解为
若特征值λ
1,λ
2的实部为负，则当t→
时，x(t)→x
0,y(t)→y
0，即经过充分长的时间后甲乙两国的军费支出必定接近(x 0,y
0)，这时候称平衡点(x
0,y
0)是稳定的.又矩阵C的特征值可以表示为
)，其中
trC=-(a+n),
detC=an-bm. 从而平衡点稳定的充要条件为
trC<0，
detC>0.由于模型中的常数均为正，从而仅需要an>bm即可，此时平衡
点位于相平面的第一象限.而当an<bm时，矩阵C有两个异号的实特征值，从而
当t→
时，x(t)→
,y(t)→
，即出现两国军备支出失控的局面，最终极有可能导致战争(Richardson
通过建立上述微分方程模型分析了第一次世界大战前夕法俄协约和德奥同盟的军备竞赛情况，估算出b=m=0.9,a=n=0.2，模型所描述的结果基本符合双方实际军
事预算支出增加的情况).
描述军备竞赛问题的数学模型是一阶线性非齐次微分方程组，该微分方程组求解过程中所涉及到的知识面较广，知识点较多，如矩阵的特征值、迹、行列式、线性方程组根的存在情况、一阶线性齐次微分方程组的解、非齐次微分方程组解的结构、平衡点及其稳定性和相平面等知识.教师在运用此案例之前应该对学生的知识面有
全面准确的了解，最好是在课程将近结束之际来使用.同时，应提前通知学生复习
或了解相关方面的内容以确保案例教学的顺利进行.通过该案例的教学可以全面考
察学生微分方程的知识面、理解能力和建模能力.
针对一阶微分方程、二阶微分方程以及一阶微分方程组的课堂教学分别设计了污染物降解、疾病传播、溶液浓度、刹车距离以及军备竞赛等问题驱动的五个案例.这
些案例均来源于发生在我们身边的且背景知识不太专业的实际问题.一方面，这些案例的选择不仅考虑到了对学生学习常微分方程这门课程的促进作用，而且还兼顾了扩大学生视野和丰富他们的知识结构.另外，如污染物降解以及刹车距离问题对于
[1] 东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2005.
[2] 王高雄，周之铭等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2006.
[3] 杨桂元，黄己立.数学建模[M].合肥:中国科技大学出版社，2008.
[4] Frank R G，William P F，et al.A First Course in Mathematical Modelling (Fourth Edition)[M].Cengage Learning，2003.
[5] 姜启源.数学建模[M].北京:高等教育出版社，1993.
[6] 洪毅，贺德化等.经济数学模型[M].广州:华南理工大学出版社，2005.
(
Department
of
Applied
Mathematics，
Anhui
University
of
Finance
and
Economics，
Bengbu，
Anhui，233030)
Key words Ordinary differential equation; Case-teaching; Mathematical model。