2020届河南省郑州市高三上学期12月月考数学（理）试题

2020届河南省郑州市第一中学高三上学期12月月考数学
（理）试题
一、单选题
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U
P Q ⋃=
A ．{1}
B ．{3，5}
C ．{1，2，4，6}
D ．{1，2，3，4，
5} 【答案】C
【解析】试题分析：根据补集的运算得
{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．
2．在复平面内，复数12i
z i
+=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】
由题意可得：221222
21
i i i i z i i i ++-====--，
则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21
a b
+的最小值为（ ）
A ．12
B ．8+
C ．15
D ．10+
【答案】B
【解析】由m ∥n 可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21
a b
+）（3a +2b ），利用基本不等式可得结果． 【详解】
解：∵m =（a ，﹣1），n =（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，
∴21a b +=（21
a b +）（3a +2b ） ＝843b a
a b
+
+
≥8+＝
8+ 当且仅当
43b a a b =，即
a 36
-=，
b 14=，时取等号， ∴
21
a b
+的最小值为：
8+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．
4．已知,x y 满足2080
20,x x y y -≥+-≤⎧
-≥⎨⎩时, ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线
10ax by +-=过定点（ ）
A ．()3,1
B ．()1,3-
C ．()1,3
D ．()3,1-
【答案】A
【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a b ， 的关系，再代入直线ax by 10+-=由直线系方程得答案．
详解：
由z ax by(a b 0)=+≥>，得
a z a y x 1
b b b ⎛⎫
=-+-≤- ⎪⎝⎭
，画出可行域，如图所示，数形结合可知在点()B 6,2处取得
最大值，6a 2b 2+=，即： 3a b 1+=，直线ax by 10+-=过定点()3,1. 故选A.
点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ：
6的有
,,CFG
CFE
CDG
S
S
S
6．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先判断0ab =和函数()f x x x a b =++是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性. 【详解】
由0ab =,a b ⇒中至少有一个为零；由函数()f x x x a b =++是奇函数，
()0
()x x a b x x a b x x a b x x a b a b f x f x --++=-+-⇒--=++⇒⇒-⇒===-，
显然由,a b 中至少有一个为零，不一定能推出0a
b ，但由0a b ，一定能推出
0ab =，故“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的必要不充分条件，故本题
选B. 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判断，由函数()f x x x a b =++是奇函数，推出
0a b 是解题的关键.
7．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有 A ．168种
B ．156种
C ．172种
D ．180种
【答案】B 【解析】分类：
（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共222
242A C C 12=种安排方案； （2）小王、小李一人去甲、乙展区，共11122
22442C C C C C 96=种安排方案； （3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共24
24A A 48=种安排方案，
故一共N 129648156=++=种安排方案，选B ．
8．已知数列：()12,,,11
k
k N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个
新的数列{}n a ：121238
1,,,,,,,213219
⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的
A ．第44项
B ．第76项
C ．第128项
D ．第144项
【答案】C
【解析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定8
9
的项数. 【详解】
观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，
把数列重新分组：1
1212312(),(,),(,,),(,,,)12132111
k k k -， 可看出8
9
第一次出现在第16组，因为12315120++++=，
所以前15组一共有120项；
第16组的项为1278(
,,,
,)1615
109
，所以89是这一组中的第8项，故8
9
第一次出现
在数列的第128项，故选C. 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养. 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =
，E ，F ，G 分别是AB ，
BC ，1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则
1BB P 面积最小值为（ ）
A ．
3 B ．1 C ．
3 D ．
12
【答案】A
【解析】找出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过D 1与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置． 【详解】 解：如图，
补全截面EFG 为截面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，设BR ⊥AC 于点R ， ∵直线D 1P ∥平面EFG ，
∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小， 由等积法：
12BR ×AC 12=BA ×BC 得BR 3
2
=，又BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形， 故112BB P
S
=
×BB 1×BP 3= 故选：A ． 【点睛】
本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与转化能力．
10．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
图象过点(0,1)B -，且在区间,183ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调.又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫
∈--
⎪⎝
⎭
，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） A 3B 2
C ．1
D ．-1
【答案】D
【解析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值． 【详解】
解：由函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1）， ∴2sinφ＝﹣1，解得sinφ1
2
=-， 又|φ|2
π
＜
，∴φ6
π
=-
，
∴f （x ）＝2sin （ωx 6
π-
）； 又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为 g （x ）＝2sin[ω（x +π）6π-
]＝2sin （ωx +ωπ6
π-）， 由两函数图象完全重合知ωπ＝2k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ； 又
318
2T π
π
πω
-
≤
=， ∴ω185
≤，∴ω＝2；
∴f （x ）＝2sin （2x 6π-
），其图象的对称轴为x 23k ππ
=
+，k ∈Z ； 当x 1，x 2∈（1712π-，23π-），其对称轴为x ＝﹣37236πππ
⨯+=-，
∴x 1+x 2＝2×（76π-）73π
=-，
∴f （x 1+x 2）＝f （73π
-）
＝2sin[2×（73π-）6π
-]
＝2sin （296π
-）
＝﹣2sin 296π
＝﹣2sin 56
π
=-1． 应选：D ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．
11．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，
与y 轴交于点C ，记BCF ∆面积为1S ，ACF ∆面积为2S ，
若1
2
1
4
S
S
=
，则抛物线的标准方程为
A．22
y x
=B．28
y x
=C．24
y x
=D．2y x
=
【答案】C
【解析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p 的值。

【详解】
因为直线斜率为2，经过定点()
2,0
D
所以直线方程为()
22
y x
=-，即240
x y
--=
作BM y
⊥轴，AN y
⊥轴
因为1
2
1
4
S
S
=，即1
4
CB
CA
=，所以
1
4
BM
AN
=
联立方程
2
240
2
x y
y px
--=
⎧
⎨
=
⎩
，化简得()
2
2880
x p x
-++=
根据一元二次方程的求根公式，得
2
816
p p p
x
+±+
=
所以
22
12
816816
,
p p p p p p
A y
B y
⎫⎫
++++-+
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
因为
1
4 BM
AN
=，所以
2
2
8161
4
816
p p p
p p p
+-+
=
+++
化简得216360
p p
+-=，即()()
1820
p p
+-=
因为0
p>，所以2
p=即，24
y x
=
所以选C
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题。

12．已知函数
3
1
,0
()
9,0
x x
f x x
x x
⎧
+>
⎪
=⎨
⎪+≤
⎩
，若关于x的方程2
(2)()
f x x a a R
+=∈有六个不同的实根，则a的取值范围是( )
A．)9,8(B．(]
8,9C．(]
2,9D．(]
2,8
【答案】B
【解析】试题分析：设u（x）=x²+2x，则u（x）≥-1，在区间[-2,-1]减，u<0；在区间[-1,-0]增，u<0；在区间[-1-√2，-2），在区间（0，-1+√2]，u∈（0,1]；在区间（-∞，-1-√2）和（-1+√2，+∞），u>1.所以函数f（x）的图象大致如题图，由图像可知满足关于x的方程2
(2)()
f x x a a R
+=∈有六个不同的实根，a的取值范围是(]
8,9,故选B.
【考点】1.分段函数；2.复合函数.
二、填空题
13．设双曲线
22
22
1
x y
a b
-=左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上，且异于A，B两点.O 为坐标原点，若直线PA，PB的斜率之积为
7
9
，则双曲线的离心率为________.
【答案】
43
【解析】由于A ，B 连线经过坐标原点，所以A ，B 一定关于原点对称，利用直线P A ，PB 的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率． 【详解】
解：根据双曲线的对称性可知A ，B 关于原点对称， 设A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），P （x ，y ），
则2211221x y a b -=，双曲线22
22x y a b -=1， ∴k P A •k PB 11y y x x -=-•
21217
9
y y b x x a +==+， ∴该双曲线的离心率
e 43
==．
故答案为：4
3
． 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．
14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[3,0]x ∈-时，
()6x f x -=，则(2019)f =________.
【答案】216
【解析】由f （x +4）＝f （x ﹣2），可知周期T ＝6，结合已知函数代入即可求解． 【详解】
解：∵f （x +4）＝f （x ﹣2）， ∴f （x +6）＝f （x ），即周期T ＝6， 则f （2019）＝f （3）＝f （﹣3）， ∵当x ∈[﹣3，0]时，f （x ）＝6﹣x ， ∴f （﹣3）＝63＝216． ∴f （2019）＝216， 故答案为：216． 【点睛】
本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础试题．
15．已知梯形ABCD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB yAD =+，则x y +的取值范围为________. 【答案】41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】根据题意可分别以边AB ，AD 所在直线为x ′轴，y ′轴，建立平面直角坐标系，从而得出A （0，0），B （3，0），C （1，1），D （0，1），设P （x ′，y ′），从而根据AP x AB y AD
=+可得出'3'x x y y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
，从而得出''3x x y y +=+，并设''3x y a +=，从而根据线性规划的知
识求出直线'
'3
x y a =-
+截距的最小值和最大值，即得出x +y 的最小值和最大值，从而得出x +y 的取值范围． 【详解】 解：∵AB ⊥AD ，
∴分别以边AB ，AD 所在的直线为x ′，y ′轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： A （0，0），B （3，0），C （1，1），D （0，1），
∴()()3001AB AD ==，，，，设P （x ′，y ′），则()''AP x y =，， ∴由AP x AB y AD =+得，（x ′，y ′）＝x （3，0）+y （0，1），
∴'3'
x x y y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩， ∴''3x x y y +=
+，设''3x y a +=，则''3x y a =-+表示斜率为1
3
-的一族平行直线，在y 轴上的截距为a ，当截距最大时x +y 最大，当截距最小时x +y 最小，
由图可看出，当直线''3x y a =-+经过点D （0，1）时截距最小为1，当直线'
'3
x y a =-+经过点C （1，1）时截距最大为4
3
，
∴x +y 的取值范围为413⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，． 【点睛】
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC 的欧拉三角形.如图，111A B C △是
ABC 的欧拉三角形（H 为ABC 的垂心）.已知3AC =，2BC =，
tan 22ACB ∠=，若在ABC 内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为
________.
【答案】
764
【解析】由三角函数的余弦定理得：AB ＝3，建立平面直角坐标系，利用坐标法得到阴影三角形的面积，从而利用几何概型公式得到结果. 【详解】
解：因为tan ∠ACB ＝2，所以cos ∠ACB 13
=， 又因为AC ＝3，BC ＝2， 由余弦定理可得：AB ＝3， 取BC 的中点O ，则OA ⊥BC ，
以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则B（﹣1，0），C（1，0），A（0，22），设H（0，y），因为BH⊥AC，
所以
22
11
y
⨯=-
-
1，
所以y
2
4
=，从而S
11
111272
22
222
A B H
⎛⎫
=⨯⨯⨯-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
故所求概率为：
72
7
32
164
222
2
=
⨯⨯
，
故答案为：
7
64
．
【点睛】
本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题．三、解答题
17．数列{}n a的前n项和为n S，已知11
a=，
1
(21)(23)
n n
n a n S
+
-=+. 其中*
n N
∈
（1）证明：数列
21
n
S
n
⎧⎫
⎨⎬
-
⎩⎭
是等比数列；
（2）求数列{}n S的前n项和n T.
【答案】(1)见解析;(2)(23)23
n
n
T n
=-⋅+.
【解析】(1)由
11
23
21
n n n n
n
a S S S
n
++
+
=-=
-
，可得
()
1
221
21
n n
n
S S
n
+
+
=
-
，即
122121n n S S n n +=⋅+-，从而可得结论；（2）由（1）知，1
221
n n S n -=-，可得()1212n n S n -=-⋅，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果. 【详解】
（1）证明：∵1123
21
n n n n n a S S S n +++=-=-， ∴()122121
n n n S S n ++=-，
∴
122121
n n S S
n n +=⋅+-， 又11a =， ∴
1
101
S =≠， ∴数列21n S n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，1221
n n
S n -=-， ∴()1
212
n n S n -=-⋅，
∴()2
2
13252232n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅ ()1
212
n n -+-⋅，①
()2312123252232n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅ ()212n n +-⋅. ②
①-②得
()
()12112222212n n n T n --=+⨯++⋅⋅⋅+--⋅ ()1222
1221212
n n n --⨯=+⨯--⋅-
()3223n n =-⋅-，
∴()2323n
n T n =-⋅+.
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，AB AD ⊥，AB=AD=2CD=2，△ADP 为等边三角形．
(1)当PB 长为多少时，平面PAD ⊥平面ABCD?并说明理由；
(2)若二面角P AD B --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）当22PB =时，平面PAD ⊥平面ABCD ，详见解析（2）
253
53
【解析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得AB PA ⊥,利用直角三角形知识可得PB 的长；
(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】
解：（1）当22PB =时，平面PAD ⊥平面ABCD ，
证明如下：在PAB ∆中，因为2,22AB PA PB ===，所以AB PA ⊥， 又AB AD ⊥，AD PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ， 又AB
平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）分别取线段,AD BC 的中点,O E ，连接,PO OE ，因为ADP ∆为等边三角形，
O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，,O E 为,AD BC 的中点，所以//OE AB ,
又AB AD ⊥，所以OE AD ⊥，故POE ∠为二面角P AD B --的平面角，所以
150POE ∠=，
如图，分别以,OA OE 的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，
因为3OP =，150POE ∠=，所以33(0,,)2P -
，
(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)
C -. 可得(0,2,0)AB =，7353(1,),(1,,)222PB PC =-
=--,， 设(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有0,0PB n PC n ⋅=⋅=，
即7
3
022
53
022
x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨
⎪-+-=⎪⎩
，令1x =，
可得(1,2,43)n =--，
设AB 与平面PBC 所成角为θ，则有||
sin ||||
AB n AB n θ⋅=
222
21(2)(43)=
+-+-53
=
所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为253
. 【点睛】
本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养. 19．已知椭圆
()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为
12,A A ,且121FA FA ⋅=-.
（1）求椭圆C 的方程； （2）过焦点F 斜率为k （
）的直线交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分
线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）22k =【解析】【详解】
（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1
,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以2
1
b =.
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）依题直线的方程为(1)y k x =-. 由2
2
(1),{
22
y k x x y =-+=得(
)
2
222
214220k x k x k +-+-=.
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ， 则21
2
2421k x x k ，2122
2(1)21k x x k -=+，2
02221
k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121
k k
M k k -++.
直线MD 的方程为2
2
212()2121
k
k y x k k k +=--++， 令0y =，得22
21D k x k =+，则2
2(,0)21
k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.
所以22232(,)2121
k k
E k k -++.
若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121
k k
k k -+=++.
整理得42k =，解得22k =
所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.
20．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数 5 30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为2
3
，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为
1
3
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：()0.6827P X μδμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈.）
【答案】（1）65μ=，14σ≈，0.8186P =；（2）详见解析.
【解析】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X ～N （65，142），计算P （51＜X ＜93）即可；
（2）列出Y 所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额． 【详解】
解：（1）由已知频数表得：
53040504520
()354555657585200200200200200200
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+10
9565200
⨯
=， 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，
由2196225σ<<，则1415σ<<， 而214.5210.5210=>，所以14σ≈， 则X 服从正态分布(65,14)N ， 所以
(22)()
(5193)(2)2
P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.6827
0.81862
+=
=；
（2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15，30，45，60，
121(15)233
P Y ==
⨯=， 111227
(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=，
1211122
(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，
1111
(60)23318P Y ==⨯⨯=，
所以Y 的分布列为：
所以1721
()1530456030318918
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=. 【点睛】
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题． 21．已知函数()2
12
x
f x e ax =-
（0,x e >为自然对数的底数），f x 是()f x 的导
函数.
（Ⅰ）当2a =时，求证()1f x >；
（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得()2
ln f x x x '≥对一切0x >恒成立？若存在，求出a 的
最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在且为2.
【解析】（Ⅰ）要证明函数不等式()1f x >（0x >），注意到(0)1f =，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；
（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式2
'()ln f x x x ≥为2ln x e ax x x -≥，注意到特
殊情形，1x =时，不等式为a e ≤，因此a 的值只有为1或2，因此只要证2a =时，不等式2ln x e ax x x -≥恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为
了确定导数的正负的方便性，把不等式变为22
ln 0x e x x x
--≥，因此只要研究函数
22
()ln x e g x x x x
=--的单调性，求得最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()2
x
f x e x =-，则()2x
f x e x '=- ，
令()()12x
f x f x e x ='=-，则()12x
f x e =-' ，
令()10f x '=，得ln2x =，故()f x '在ln2x =时取得最小值，
()()ln222ln20,f f x =->∴'在()0,+∞上为增函数， ()()01f x f ∴>= ，
（Ⅱ）()x
f x e ax '=- ，
由()2
ln f x x x '≥，得2ln x e ax x x -≥对一切0x >恒成立，
当1x =时，可得a e ≤，所以若存在，则正整数a 的值只能取1,2. 下面证明当2a =时，不等式恒成立，
设()22ln x e g x x x x =-- ，则()()()()
3232221x x
x e x x e g x x x x x ---=+-=' ， 由（Ⅰ）212x e x x x >+≥> ，0(0)x
e x x ∴->> ，
∴当02x <<时，()0g x '< ；当2x >时，()0g x '> ，
即()g x 在()0,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，
()()()()
()22111
244ln2 2.744ln23ln160444
g x g e ∴≥=
-->-->-> , ∴当2a =时，不等式恒成立
所以a 的最大值是2.
【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．
22．在平面直角坐标系xoy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点()21A -，
.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1
2sin 3
ρθ
ρ
+=
（1）写出曲线C 的普通方程;
（2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M N ，，求AM AN +的取值范围. 【答案】(1) 2
2
230x y y ++-=.
(2) (
4,.
【解析】分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线C 的普通方程为
22230x y y ++-=.
(2)联立直线的参数方程与C 的二次方程可得()2
4t cos sin αα-- 40t +=.结合直线
参数的几何意义有()12AM AN t t +=-+ = 4πα⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
.利用三角函数的性
质可知AM AN +的取值范围是(
4,. 详解：(1)由
1
2sin 3
ρθ
ρ
+=
得2
23sin ρρθ+=.
将222x y y sin ρρθ⎧=+⎨=⎩
，代入上式中,
得曲线C 的普通方程为2
2
230x y y ++-=.
(2)将l 的参数方程2,1x tcos y tsin αα
=-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)代入C 的方程22230x y y ++-=,
整理得()2
4t cos sin αα-- 40t +=.
因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，
所以()2
24cos sin αα∆=- 240->,化简得0cos sin αα<. 又0απ≤<,所以
2
π
απ<<，且0,0cos sin αα.
设方程的两根为12,t t ,则()1240t t cos sin αα+=-<，1240t t =>， 所以120,0t t <<,
所以()12AM AN t t +=-+ ()4sin cos αα=-= 4πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
.
由
2
π
απ<<，得
34
4
4
π
π
πα<<
<
，
所以
124sin πα⎛
⎫<-≤ ⎪⎝
⎭,
从而4<
4πα⎛
⎫-≤ ⎪⎝⎭
即AM AN +
的取值范围是(
4,.
点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．已知函数(),f x x x a a R =-∈.
（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式()5
4
f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）1(,)2
-∞-（2）(0,5]
【解析】（1）结合a 取不同范围，去绝对值，计算a 的范围，即可。

（2）结合函数性质,计算()f x 的最大值,结合题意,建立关于a 的不等式，计算a 的范围，即可。

【详解】
（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，
若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立； 若11a -<<，则()111a a --+>，得12a <-
，即112
a -<<-； 若1a ≥，则()()111a a ---+>，得21->，此时不等式无解.
综上所述，a 的取值范围是1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭.
（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需()max min
54f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦.
当(]
,x a ∈-∞时，()2
f x x ax =-+，()2
max
24
a a f x f ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭.
因为55
44
y y a a +
+-≥+，
所以当5,4y a ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，min 5544y y a a ⎡⎤++-=+⎢⎥⎣⎦ 54a =+. 于是25
44
a a ≤+，解得15a -≤≤.
结合0a >，所以a 的取值范围是(]
0,5. 【点睛】
本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大。