一类非线性桥梁方程解的唯一性

一类非线性桥梁方程解的唯一性
燕艳菊;郭高荣
【摘要】主要考察了满足狄利克莱边界条件及关于变量满足周期条件的一类非线
性桥梁方程．利用变分方法理论，讨论了当方程的非线性项介于特征值之间时，方程解的唯一性．%In this paper, a nonlinear beam equation under the Dirichlet boundary condition is investigated. By using the variational method, uniqueness of solution to the beam equation is proved when nonlinearities are between eigenvalues.
【期刊名称】《河西学院学报》
【年(卷),期】2012(028)005
【总页数】5页(P14-18)
【关键词】特征值;压缩映像原理;变分方法
【作者】燕艳菊;郭高荣
【作者单位】安阳工学院数理学院,河南安阳455000;安阳工学院数理学院,河南安
阳455000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
在狄利克莱边界条件下，且带有周期条件的一类非线性桥梁方程
解的唯一性、多重性，得到了国内外许多学者的广泛研究，如文［1-3］.在文［1，2］中，作者主要考察了当b=0时，方程（1）解的多重性.在文［3］中，作者主
要考察了当f（x，t）属于由特征值φ00，φ10张成的二维空间时，方程（1）解的多重性.在文［4］中，作者考察了波动方程
当非线性项介于特征值之间时，解的唯一性.
在本文中，我们采用文［4］中的方法，讨论当方程（1）的非线性项介于特征值之间时，方程解的唯一性.
设L为微分算子Lu= utt+ uxxxx，那么，关于u( x, t )的特征值问题有无穷多个特征值λmn=(2 n+ 1)4−4 m2(m, n=0,1,2,⋅⋅).
对应于λmn的正交化的特征函数为
n固定，设当，n→∞则有λn+→+∞,λn−→−∞.所以，很容易得到介于（-19，45）之间的特征值有λ20=−15<λ10=− 3< λ00=1<λ41= 17.设Q为及那么，集合{ϕmn,ψmn}是H0中的标准正交基.
设定义H0的子空间范数为则H为完备的赋范空间.因为所以可得一些简单性质. 引理1（1）|||u|||≥|| u||，||u||指的是L2范数.
（2）||u||=0当且仅当|||u|||=0.
（3）若Lu∈ H，则u∈ H.
证明参见［2］.
因为且，所以1属于H0，但不属于H.所以，H是H0的真子空间.
引理2若c不是L的特征值，u∈ H0，则有(L+ c)−1u∈ H .
证明假设c不是L的特征值，由前面知，
当n→∞，有.所以，只有有限个λmn，使得令则有(L+ c)−1u=
所以，存在一个常数C，使得
即.证毕.
由引理2，可得下面的引理3.
引理3若a，b都不是L的特征值，f( x, t)∈ H0，则方程Lu+ au+− bu−= f( x,
t )在H0中的解均属于H.
设μ1，μ2是L的特征值，且μ1，μ2之间不含L的任何特征值.那么，我们将得到下面的唯一性定理.
定理1若f( x, t)∈ H0，−µ2<a, b <−µ1，则方程
在H0中有唯一解.特别，在H中有唯一解.
证明设f( x, t)∈ H0，−µ2<a, b <−µ1.令
方程（2）可写为：Lu+δ u=δ u− au++ bu−+ f( x, t )，
或(L+δ) u=(δ− a) u+−(δ− b) u−+ f( x, t )，
即
这里，(L+δ)−1是H0到H0中紧的，自伴的线性映射，且
令g( u)=(δ− a) u+−(δ− b) u−+ f( x, t )，即方程（2）可写为
简单计算得
所以，
则由压缩映像原理，方程（3）在H0中有唯一解，即方程（2）在H0中有唯一解.另一方面，由引理3知方程（2）在H0中的解均属于H，所以在H中有唯一解. 定理A设L: D( L)⊂ L2(Ω)→ L2(Ω)是线性、自伴算子，H1，H2= H1⊥是其两个不变子空间.σ是L的谱，σi是的谱分段光滑，对所有u∈ R, x∈Ω有fu∈[ c, d].若[c, d]∩σ2=∅，涅米茨基算子u→ F( u)= f( u( x), x )把H1映为自身，则方程Lu= f( u, x)在L2(Ω)中的解均在H1中.
证明参见［5］.
定理2设μ1为位于特征值λm0( m ≥3)最左边的特征值，μ2为位于λm0( m ≥3)最右边的特征值，且−µ2<a<−λm0< b <−µ1.那么，方程
在H0中只有平凡解.
证明设H1为{cosx cos2 mt: m≥0}张成的子空间，H1在算子L及映射u→
au+− bu−下是不变的.在区间(µ1,µ2)中，的谱只有的谱为空集，这里由定理A知，方程在H0中的解均属于H1，即方程的解可写成如下形式：u= y( t)cos x ，其中y以π为周期.
另一方面，因为cosx在为正，把u= y( t)cos x 代入方程（4），则有
方程（5）若有非平凡解，则解以周期.事实上，若y1为常微分方程y′+( a+1) y
=0的解，简单求解知y1以为周期.同理，若y2为常微分方程y′+( b+1) y =0的解，y2以为周期.那么，就是方程（5）的解，y以周期.
因为−µ2<a<−λm0< b <−µ1(m≥3)，所以
所以
这就说明方程（4）无非平凡解.
【相关文献】
［1］Mckenna P.J.and WalterW.Nonlinear oscillations in a suspension bridge［J］.Archive for RationalMechanics and Analysis. 1987，98（2）：167-177.
［2］ChoiQ.H.and Jung T.S.The study ofa nonlinear suspension bridge equation by a variational reductionmethod［J］.Applicable Analysis，1993，50：73-92.
［3］Yin Lun，Pei Lianshu and Jin Zhengguo.Jumping problem in a nonlinear beam equation［J］.Journalof Yanbian University，2001，27（1）：1-5.
［4］Jin Zhengguo，Pei Lianshu and Zhao Meihua.Uniqueness theorems in the ambrosetti type semilinear wave equation［J］. Journalof Yanbian University，2000，26（1）：1-5.
［5］Mekenna P.J.Topologicalmethods for asymmetric boundary value problems
［C］.Lecture Notes，Seoul national university，1993，11：54-57.。