山东省日照市2020学年度高三第一次数学调研考试试题(理工类)

山东省日照市2020学年度高三第一次数学调研考试试题（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试用时120分 钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔填涂在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设2
:x x f →是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 等于 （ ）
A ．φ
B ．{1}
C ．φ或{2}
D ．φ或{1} 2．在中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是
（ ）
A ．==,
B ．DA OD AD =+
C ．+=+
D ．=++
3．已知=-∈=+απαπαtan )0,2(,31)2sin(，则
（ ）
A ．22-
B ．22
C ．4
2-
D ．4
2
4．设n *N ∈，如果命题)(n P 对于n=k 成立，则它对n=k ＋2也成立，又)(n P 对n=2成立，则下列结论正确的是
（ ）
A ．)(n P 对所有的正整数n 成立
B ．)(n P 对所有的正偶数n 成立
C ．)(n P 对所有的正奇数n 成立
D ．)(n P 对所有比1大的自然数成立
5．设向量a =（1，2），b =（x ，1），当向量a +2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于 （ ）
A ．
2
5
B ．2
C ．1
D ．2
7 6．下列说法正确的是
（ ）
A ．若x 2=y 2，则x=y
B ．等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1
C ．命题“)0,2>∈∀x R x ”的否定是“0.,2
<∈∃x R x ”
D ．若a+b>3，则a>1或b>2
7．已知=-+++=∈∈-3
5)1()2)(1(*,M n x x x x M N n R x n x ，例如，规定：Λ（－5）×
（－4）×（－3）=－60，则函数x M x f x 2008
2007
cos )(7
3⋅=- （ ） A ．是偶函数不是奇函数
B ．是奇函数不是偶函数
C ．既是奇函数、又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
8．曲线)2300(cos π
≤≤=x y 与坐标轴围成的图形的面积是
（ ）
A ．2
B ．2
5
C ．3
D ．4
9．已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．
的是 （ ）
A ．)1(-x f 的图象
B ．)(x f -图象
C ．|)(|x f 的图象
D ．|)(|x f 的图象
10．若函数a x x x x f --+-=|34|)(2
恰有三个不同的零点，则实数a 的值是 （ ）
A ．－1
B ．4
3
-
C ．1或
4
3 D ．－1或－
4
3
11．下列命题中的真命题是
（ ）
A ．函数)6
,3()32sin(π
ππ-
+
=在区间x y 内单调递增
B ．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为2π
C ．函数)
3
cos(π+
=x y 的图象是关于点（6
π，0）成中心对称的图形
D ．函数)3
cos(π
+
=x y 的图象是关于直线x=
6
π
成轴对称的图形 12．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数
)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足3
3
1)2(++<+a b b a f ，则
的取值范围是
（ ）
x
－2
0 4 )(x f 1 －1
1
A ．)3,7(
B ．)3,5(
C ．)5
6,32(
D ．)3,3
1(-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 13．函数)32(log )(2
2
1++-=x x x f 的单调递增区间为
14．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10浬的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续
航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 浬/小时.
15．函数]2
,0[,sin 2cos sin 32)(2π
∈-=x x x x x f 的最小值为
16．考察下列一组不等式： 23+53>22·5+2·52， 24+54>23·5+2·53， 22
5+52
5>22·52
1+22
1·52，
………………
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=5，S 15=225. （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）设b n =n a
2+2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m =（cosA, sinA ）， n =)cos ,sin 2(A A -，若|m+n |=2. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若24=b ，且c=2a ，求△ABC 的面积.
19．（本小题满分12分）
设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有1
1)()2(≤≤--=+x x f x f ，当时，.)(3
x x f =
（Ⅰ）求证：直线x=1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （Ⅱ）当]5,1[∈x 时，求函数)(x f 的解析式.
20．（本小题满分12分）
新星家具厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌. 2020
年该厂生产的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这个利润是上年利润的
5
4
，以后每年的利润均以此方式产生，预期计划若干后两产品利润之和达到174万元，从2020年起： （1）哪一年两产品获利之和最小？
（2）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
21．（本小题满分12分）
已知函数),1,0(),22(log 2)(log )(R t a a t x x g x x f a a ∈≠>-+==和的图象在x =2处的切线互相平行. （Ⅰ）求t 的值；
（Ⅱ）设2)(]4,1[)()()(≥∈-=x F x x f x g x F 时，，当恒成立，求a 的取值范围.
22．（本小题满分14分）
对⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>∈n nx y y x N n 2,0,
0*，不等式所表示的平面区域为D n ，把D n 内的整点（横
坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：),(),,(2211y x y x ，
),(,),,(33n n y x y x Λ.
（Ⅰ）求n n y x ,；
（Ⅱ）数列{a n }满足a 1=x 1，且2).111(
221
22212
≥+++=≥-n y y y y a n n n n 证明当时，Λ时，
2
2211
)1(n
n a n a n n =-++； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（)1
1()11()11()11(321n
a a a a +⋅⋅+⋅+⋅+
Λ与4的大小关系.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
DCABA DBCDD CB 二、填空题（每小题4分，共16分）
13．)3,1[ 14．10 15．－2
16．)0,( 525252
>⋅+⋅>+++n m m n n m n m n
m [注：答案不唯一， 如0,,,0,(>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a
m n n m n m n
m ）均可]
三、解答题（共74分）
17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+5.22214
15155
211d a d a …………3分 解得 ⎩⎨
⎧==2
1
1d a
∴a n =2n －1 ………………6分 （Ⅱ）n n b n
a n n
242
122
+⋅=
+=， ∴n n b b b T +++=Λ21
)21(2)444(2
1
2n n +++++++=
ΛΛ …………9分 =
n n n ++-+216
4
4 3
2
432-++⋅=
n n n n ………………12分 18．解：（Ⅰ）|m +n |2=22)cos (sin )sin 2(cos A A A A ++-+
)sin (cos 224A A -+=
)4
cos(44π
+
+=A …………3分 ∴4)4
cos(44=++π
A
∴.0)4cos(=+
π
A
∵),,0(π∈A
∴4
π
=
A ………………6分
（Ⅱ）由余弦定理知：,cos 22
2
2
A bc c b a -+= 即 4
cos 2242)2()24(2
2
2
π
a a a ⨯⨯-+=
解得 24=a ………………10分 ∴c=8 ∴.162
282421=⨯⨯⨯=
∆ABC S …………12分 19．解：（Ⅰ）因为)(x f 为奇函数，所以)()2()()(x f x f x f x f -=+-=-，所以……3分
所以)1()1()]1([]2)1[(x f x f x f x f -=+--=+-，所以 所以直线x=1是函数)(x f 图象的一条对称轴 …………5分 （Ⅱ）因为)()2()4(x f x f x f =+-=+
所以)(x f 是以4为周期的函数 ………………7分 又3
)(11x x f x =≤≤-时，
当3
)2()2()22()(]1,1[2]3,1[--=--=+-=-∈-∈x x f x f x f x x ，所以时，
………………9分
当3
)4()4()44()(]1,1(4]5,3(-=-=+-=-∈-∈x x f x f x f x x ，所以时，
所以当⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈--=∈]
5,3(,)4(]
3,1[,)2()()(]5,1[3
3
x x x x x f x f x 的解析式为时， ……12分
20．解：（Ⅰ）设第n 年太空椅获利x n 万元，办公桌获利y n 万元.
则11
)5
4
(75,)
4
5(48--==n n n n y x ………………3分
∴120)
5
4(75)45(481
1≥+=+--n n n n y x （当且仅当n=2时取等号. ） 故第2020年两产品获利最小 （Ⅱ）令582516)45(174)54(75)
4
5(48111
=+==+=+---t
t t y x n n n n n ，则有，又令
∴16t 2－58t+25=0， ∴2
1
825==t t 或（舍）. ∴8
25
)
4
5
(1
=
-n ………………9分 当n=5时，825
10243125)45(6825256625)45(11<
==<=--n n n 时，，当 当n=7时，8
25
409615625)45(1>
=-n 故从2020年起至少经过7年即超过预期计划 …………12分 21．（Ⅰ）证明：e t x x g e x x f a a log 2
24
)(,log 1)(-+='=
' …………2分 ∵函数)()(x g x f 和的图象在x=2处的切线互相平行， ∴)2()2(g f '=' ∴
e t e a a log 2
4
log 21+= ∴t=6 ………………4分 （Ⅱ）∵t=6，
∴x x x f x g x F a a log )42(log 2)()()(-+=-=
=]4,1[,)42(log 2
∈+x x x a
…………6分 令].4,1[,1616
4)42()(2∈++=+=
x x
x x x x h ∵]4,1[,)2)(2(4164)(22∈+-=-
='x x
x x x x h ∴当0)(420)(21>'≤<<'<≤x h x x h x 时，，当时，
∴)2,1[)(在x h 是单调减函数，在]4,2(是单调增函数 …………8分 ∴.36)4()1()(,32)2()(max min =====h h x h h x h
∴当.32log )(136log )(10min min a a x F a x F a =>=<<时，有，当时，有
∵当2)(2)(]4,1[min ≥∴≥∈x F x F x 恒成立，
时， …………10分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：
⎩⎨
⎧≥<<236log .10a a ① 或⎩⎨⎧≥>232log ,
1a
a ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②，得 241≤<a 综上所述，满足条件的a 的取值范围是]24,1( …………12分
22．（Ⅰ）解：1*,0202=∴∈><⇒>+-x N x x x n nx 且，又 …………2分
故D n 内的整点都落在直线x=1上，且n y ≤，故D n 内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为（1，1），（1，2），…，（1，n ），∴n y x n n ==,1 ……4分 （Ⅱ）证明：当2≥n 时， 由)1
11(
2
1
22212
-+++=n n n y y y y a Λ，得2122212111-+++=n n n y y y y a Λ 即
2
222)1(1
2111-+
++=n n a n Λ …………① ∴2
22211
2111)1(n n a n +++=++Λ …………② …………6分
②式减①式，得
2
2211
)1(n n a n a n n =-++ ……………8分
（Ⅲ）证明：当n=1时，;421
11
<=+
a 当n=2时，（1+
44
5
2)11)(121<⨯=+a a ； 由（Ⅱ）知，当2≥n 时，2
2
1221)
1(11)1(+=+⇒+=+++n n a a n a n a n n n n ……10分
∴当)1
1()11()211()11(3311n
a a a a n +⋅⋅+⋅+⋅+≥Λ时，
1
2
22222221433221133
2211)
1()1(4332412)1(111111111+-+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
+⋅⋅+⋅+⋅+=n n n
n n
n a n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛΛ ]1
)1(131211[2)1(22
22221n
n n a n +-++++=+⋅
=+Λ ∵
)2(111)1(112
≥--=-<n n n n n n
…………12分 ∴上式,42
4)12(2)]111()3121()21
1(1[2<-=-=--++-+-+<n
n n n Λ ∴.4)1
1()11()11()11(321<+⋅⋅+⋅+⋅+n
a a a a Λ …………14分。