2005年高考理科数学(北京卷)试题及答案

2005北京卷试题及答案
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l 至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分考试时阃120分钟考试结束，将本试卷和答题卡—并交回
第1卷(选择题 共40分)
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上
一、本大题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项
(1)设全集U=R ，集合M={x ∣x>l}，P={x ∣x 2
>l}，则下列关系中正确的是
(A)M=P (B) M P ⊂ (C) P M ⊂ (D) ∅=⋂P M C U (2)“m=
2
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)
1=
．c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 (A)300
(B)600
(C)1200
(D)1500
(4)从原点向圆27122
2+-+y y x =0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为 (A)π (B)2π (C)4π (D)6π (5)对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
(A)sin(α+β)>sin α+sin β (B)sin(α+β)>cos α+cos β (C)cos (α+β)<sin α+sin β (D)cos (α+β)<cos α+cos β
(6)在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是
(A)BC∥平面PDF (B)DF ⊥平面PAE
(C)平面PDF ⊥平面ABC (D)平面PAE ⊥平面ABC
(7)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)1412C
124C 84C (B)1214C 4
12A 48A
(C)3
3
4
8
4121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A
(8)函数x
x
x f cos 2cos 1)(-=
(A)在[0，
2π)，(2
π
，π]上递增，在[π，23π)，(23π，2π]上递减
(B)在[0，2π)，[π，23π)上递增，在(2π
，π]，(23π，2π]上递减
(C)在(2π，π]，(23π，2π]上递增，在[0，2
π
)，[π，23π)上递减
(D)在[π，23π)，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，(2
π
，π]上递减
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上
(9)若z l =a+2i ，z 2=3-4i ，且
2
1
z z 为纯虚数，则实数a 的值为 (10)已知tan 2α=2，则tan α的值为 ，tan(α+4
π
)的值为 (11)6)1(x
x -
的展开式中的常数项是 (用数字作答)
(12)过原点作曲线y=x
e 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为
(13) 对于函数()f x 定义域中任意的12,x x (12x x ≠)，有如下结论：
①1212()()()f x x f x f x +=； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③
2121)()(x x x f x f -->0； ④)2(21x x f +<2
)
()(21x f x f +
当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是
(14) 已知n 次多项式()n P x =n n n n a x a x a x a ++++--11
10
如果在一种算法中，计算k
x 0(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：00()P x =0a n+1(x )=x P n (x )+1+k a (k=0,
l ，2，…，n-1)．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需
要 次运算
三、解答题：本大题共6小题共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15 （本小题共13分）
已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3
(I)求)(x f 的单调递减区间；
(Ⅱ)若)(x f 在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值
(16)(本小题共14分)
如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中
,12,AB AD DC AA AD DC ====⊥,
AC BD ⊥垂足为E
(Ⅰ)求证1BD A C ⊥;
(Ⅱ)求二面角11A BD C --的大小; (Ⅲ)求异面直线AD 与1BC 所成角的大小
(17)(本小题共13分)
甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为
12,3
(Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ; (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;
(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率
如图,直线1:(l y kx k =＞0)与直线2:l y kx =-之间的阴影区域(不含边界)记为W ,其左半部分记为1W ,右半部分记为2W
(Ⅰ)分别有不等式组表示1W 和2W
(Ⅱ)若区域W 中的动点(,)P x y 到12,l l 的距离之积等于2
d ,求点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅲ)设不过原点O 的直线l 与(Ⅱ)中的曲线C 相交于
12,M M 两点,且与12,l l 分别交于34,M M 两点.求证
△12OM M 的重心与△34OM M 的重心重合
(19)(本小题共12分)
设数列{}n a 的首项114a ≠,且11
214
n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，是偶，是奇
,记211,1,2,34n n b a n -=-=⋅⋅⋅
(Ⅰ)求23,;a a
(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求12lim()n n b b b →∞
++⋅⋅⋅
设()f x 是定义在[0，1]上的函数，若存在)1,0(∈*
x ，使得()f x 在[0，x ]上单调递增，在[x ，1]单调递减，则称()f x 为[0，1]上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间
对任意的[0，1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法
（Ⅰ）证明：对任意的12,x x )1,0(∈, 12x x <,若)()(21x f x f ≥，则（0，2x ）为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则（1x ，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r （0<r <0.5），证明：存在12,x x )1,0(∈,满足r x x 212≥-，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r ;
(Ⅲ)选取12,x x )1,0(∈,12x x < 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，2x ）或（1x ，1），在所得的含峰区间内选取3x ,由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，2x ）的情况下，试确定123,,x x x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
2005北京卷试题及答案
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）
38 （10）－34；－7
1
（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）2
1
n (n ＋3)；2n
三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（I ） 2
()369f x x x '=-++． 令()f x ' <0，解得x <－1或x >3，
所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，
所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上()f x ' >0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]
上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2
＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（16）（共14分）
（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．
∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ；
（II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．
与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，
∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°， 又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12
＝A 1E 2
＋C 1E 2
， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°．
（III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1， 则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1，
∴ BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1
在△BFC 1
中，1cos C BF ∠=
=
∴ ∠C 1BF
=arccos 5 即异面直线AD 与BC 1
所成角的大小为arccos 5
． 解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
连结111 1.,,A E C E AC
与(1)同理可证,11,BD A E BD C E ⊥⊥, ∴11A EC ∠为二面角11A ED C --的平面角.
由113(0,2A C E
得11(,22EA =
-
13(,22
EC =- ∴1139
30,44
EA EC ⋅=-
-+= ∴11,EA EC ⊥即
11.EA EC ⊥ ∴二面角11A ED C --的大小为90
（Ⅲ）如图,由(0,0,0)D ,(2,0,0),
A 1C B
得1(2,0,0),(AD BC =-=- ∴1
16,2,15,AD BC AD BC ⋅===
∴111
,6cos ,2AD BC AD BC AD BC =
=
=
∵异面直线AD 与1BC 所成角的大小为arccos 5
解法三：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结1111,,A E C E AC
.
与（Ⅰ）同理可证11,,BD A E BD C E ⊥⊥ ∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角
由11(0,0,0),(0,1E A C -
得11(0,1,3),EA EC =-= ∵11330,EA EC =-+=
∴11EA EC ⊥即
11,EA EC ⊥ ∴二面角11A BD C --的大小为90
（17）（共13分）
解：（I ）P (ξ＝0)＝0
3311()28C =
，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23
313()28C =，
P (ξ＝3)＝33
311()28
C =，
ξ的概率分布如下表：
E ξ＝13310123 1.5888
8⋅+⋅+⋅+⋅
=, （或E ξ=3·2
1
=1.5）
； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927
； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为
事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件
1231121
()()()8278924
P A P B P B =+=⋅+⋅=
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为1
24
（18）（共14分） 解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y
＝0，由题意得
2
d =, 即22222
||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2
－y 2
>0，
所以 222
22
1
k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=,
所以动点P 的轨迹C 的方程为22222
(1)0k x y k d --+=；
（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，
△OM 3M 4的重心坐标都为（
3
2
a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）
由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩
，得2222222
()20k m x mnx n k d d -----=
由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2
－m 2
≠0且
△=2
2
2
2
2
2
2
(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则1222
2mn
x x k m +=
-, 1212()2y y m x x n +=++,
设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kx
y kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨
⎨=+=+⎩⎩
得34,n n
x x k m k m -==
-+ 从而341222
2mn
x x x x k m +=
=+-，
所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+
41=a +41，a 3=21a 2=21a +8
1
； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21
a 4=41a +316,
所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4
1
),
猜想：{b n }是公比为2
1
的等比数列·
证明如下：
因为b n +1＝a 2n +1－
41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2
1
b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2
1
的等比数列
（III ）11121(1)
12lim()lim
2()1141122
n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---
. （20）（共14分）
（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，
在[x *, 1]上单调递减．
当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间
当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间 （II ）证明：由（I ）的结论可知：
当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得
21
0.510.5x r
x r +⎧⎨
-+⎩≤≤ ①
由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得
x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r
所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r
（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④
在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤
由④与⑤可得21
3
1112x x x x =-⎧⎨
=-⎩,
当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．
由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32。