2020-2021学年广东省河源中学高二(下)期中数学复习卷(含答案解析)

2020-2021学年广东省河源中学高二(下)期中数学复习卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x 2−3x ≤0}，则A ∩B =( )
A. {−1}
B. {0,1，2}
C. {1,2，3}
D. {0,1，2，3}
2.
是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量
20的样本，则二等品中A 被抽取到的概率为( )
A. 1
5
B. 3
10
C. 2
3
D. 不确定
4. 已知椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的上下顶点为B 、C ，左右焦点为F 1、F 2，直线BF 2与椭圆的另
一个交点为D ，若直线BF 2的斜率为k 1，直线CD 的斜率为k 2，且k 1k 2=−1
4，又△BF 1D 的周长为8，则△BF 1F 2的面积为( )
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
5. 如图是一个正三棱柱体的三视图，该柱体的体积等于
A. B. 2
C. 2
D.
6. 设函数f(x)=2xe x +2m x
−3m ，对任意正实数x ，f(x)≥0恒成立，则m 的取值范围为( )
A. [0,1]
B. [0,e
3]
C. [0,2e]
D. [0,4e 2]
7. 已知△ABC 为等腰三角形，∠A =∠B =30°，BD 为AC 边上的高，若
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3
2a ⃗ +b ⃗ B. 32a
⃗ −b ⃗
C. 3
2b ⃗ +a ⃗ D. 3
2b ⃗
−a ⃗ 8. 若函数y =cosωx(ω>0)的图象向右平移π
6个单位后与函数y =sinωx 的图象重合，则ω的值可
能是( )
A. 1
2
B. 1
C. 3
D. 4
9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是腰长为2的等腰梯形，则该几何体的全面积为
( )
A. 40+6√3
B. 40+12√3
C. 12√3
D. 24√3
10. 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ⃗ =(1,0，1)，b ⃗ =(0,1，1)，
那么这条斜线与平面所成的角是( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
11. 设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a +b 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 2√2
12. 定义符号函数sgnx ={1,x >00,x =0−1,x <0
，设f(x)=sgn(12−x)+12⋅f 1(x)+sgn(x−1
2)+1
2
⋅f 2(x)，x ∈[0,1]，若f 1(x)=2(1−x)，f 2(x)=x +1
2，若f(x)=a 有两个解，则a 的取值范围是( )．
A. (3
2,2]
B. [1,2]
C. {1}∪(3
2,2]
D. (1,3
2]
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知a =0.60.7，b =0.70.6，c =ln0.6，将a ，b ，c 按从小到大的顺序排列______． 14. 已知x ，y 满足{x −y ≥1
x +y ≤2y ≥0
，则2x −y 的最大值是______．
15.已知直线3x+4y+2=0与(x−1)2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为______．
16.直线x+y−2=0与两条坐标轴围成的三角形面积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.(本小题满分14分)
在数列中，为其前项和，满足．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列为公比不为1的等比数列，求
18.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在
直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)若N是BC的中点，证明：AN//平面CME；
(2)证明：平面BDE⊥平面BCD．
(3)求三棱锥D−BCE的体积．
19.大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修(也可不选)，假设学生是否选修哪门课彼此互
不影响．已知某学生只选修甲一门课的概率为0.08，选修甲和乙两门课的概率为0.12，至少选修一门的概率是0.88．
(1)求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少？
(2)用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，求ξ的分布列和数学期望．
20. 已知椭圆C ：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)过点(1,√
3
2
)，左焦点为F 1(−√3,0)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值．
21. 已知函数f(x)=1
2x 2−mlnx +(m −1)x ，m ∈R ．
(Ⅰ)若函数f(x)在x =2处有极值，求m 的值； (Ⅱ)当m ≤0时，讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)求证：当m =−2时，对任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
>−1．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+1
2t
y =−√3
2t
(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；
(2)设点P(2,0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|PA|⋅|PB|．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：B={x|0≤x≤3}；
∴A∩B={0,1，2，3}．
故选：D．
解出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：A
解析：试题分析：根据题意，由于复数=2+i，因此可知实部和虚部为正数，故可知，复数对应的点在第一象限，故选A．
考点：复数的概念
点评：主要是考查了复数的几何意义的运用，以及复数的运算，属于基础题。

3.答案：A
解析：
先求出每个个体被抽到的概率，用应抽取的样本数除以个体的总数，即得每个个体被抽到的概率．本题考查分层抽样的定义和方法，用应抽取的样本数除以个体的总数，即得每个个体被抽到的概率，属于基础题．
解：每个个体被抽到的概率等于20
100=1
5
，
故二等品中产品A被抽到的概率为1
5
，
故选A．
4.答案：C
解析：解：如图所示，
△BF1D的周长为8，∴4a=8，解得a=2．
k1=−b
c ，直线BF2的方程为：y=−b
c
x+b，
联立{y =−b
c
x +b
x 2a 2+y 2b 2=1，化为：(a 2+c 2)x 2−2a 2cx =0，
解得x =0，或x =2a 2c a 2+c 2
．
∴x D =2a 2c a 2+c 2
=
8c 4+c 2
，又
x D
2a 2
+y D
2
b 2=1．
∴y D =b(c 2−4)c 2+4，
∴k 2=
y D −y C x D
=
bc 4
．
∵k 1k 2=−1
4，∴−b
c ×
bc 4
=−1
4，
∴b =1.又b 2+c 2=4． 解得：c =√3．
△BF 1F 2的面积=1
2×2c ×b =bc =√3． 故选：C ．
如图所示，△BF 1D 的周长为8，可得4a =8，解得a.利用斜率计算公式、点斜式可得k 1及其直线BF 2的方程．与椭圆方程联立可得D 的坐标．再利用斜率计算公式及其k 1k 2=−1
4，解得b ，c ，即可得出面积．
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.答案：A
解析：试题分析：根据长对正，宽相等，高平齐，可得底面正三角形高为2，三棱柱高为1，由此可求正三棱柱的体积．那么底面的三角形的面积为
，那么根据三棱柱的体积公式可知为
v =sℎ=，故选A ．
考点：三视图的运用
点评：本题考查三视图，考查几何体的体积，确定底面正三角形边长是关键．
6.答案：C
解析：
f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −2
3)，则由题意有，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −2
3)的上方，结合图象即可求得答案．
本题考查与导数有关的不等式恒成立问题，通过转化为两个比较简单的函数，再利用数形结合思想，研究这两个函数图象的位置关系，是解决这类问题的常见方法，属于中档题． 解：f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −2
3)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −2
3)，
则y 1′=2xe x (x +2)，令y 1′=0，可得x 1=0，x 2=−2，绘制y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −2
3)的图象，如图所示，
满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方，设y 1=2x 2e x 与y 2=3m(x −2
3)相切，切点坐标为P(x 0,y 0)，x 0>0，
则{y 0=3m(x 0−2
3)=2x 02e
x 0
2x 0e x 0
(x 0+2)=3m
，解得x 0=1，m =2e ，
结合函数图象可得m ∈[0,2e]． 故选：C ．
7.答案：D
解析：解：∵△ABC 为等腰三角形，∠A =∠B =30°，BD 为AC 边上的高， ∴∠BCD =60°，
∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1
2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1
2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |； 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ ，
∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ⃗ +b ⃗ )+12b ⃗ =32b ⃗ −a ⃗ ；
故选：D ．
利用平面向量的三角形法则，表示出向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了平面向量的三角形法则以及应用问题，是基础题．
8.答案：C
解析：解：把函数f(x)=cosωx的图象向右平移π
6个单位，得到函数y=cosω(x−π
6
)=cos(ωx−π
6
ω)
的图象．
而y=sinωx=cos(ωx−π
2
)，
∴−π
6ω=−π
2
+2kπ，k∈z．
∴ω=3−12k，k∈z，
观察所给的选项，只有ω=3.满足条件，
故选：C．
把函数f(x)=cosωx的图象向右平移π
6
个单位，求出变换后得到的函数解析式，利用诱导公式化简，结合所给的选项得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，属于中档题．
9.答案：A
解析：解：由三视图判断几何体为直四棱柱，其直观图如图：
其底面为等腰梯形，由侧视图知梯形的高为√3，由正视图知棱柱的高为4，
侧面积s1=(4+2+2+2)×4=40，底面积s2=(4+2)×√3×1
2
=3√3．
该几何体的全面积为40+6√3．
故选：A．
根据三视图画出其直观图，利用三视图的数据求出底面等腰梯形的面积，代棱柱的体积公式计算即可．
本题考查的知识点是由三视图求表面积积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．属于中档题
10.答案：B
解析：解：∵斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ⃗ =(1,0，1)，b ⃗ =( 0,1，1)， ∴cosθ=
a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b
⃗ |=1
2，可得θ=60°．
因此a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°． 故选：B ．
要求斜线与平面的夹角的大小，即分别求出斜线和它在这个平面上的射影的方向向量，然后利用向量的夹角公式即可求出向量的夹角，从而求出线面角的大小．
本小题要考查直线与平面所成的角、空间向量的夹角公式等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力．
11.答案：B
解析：解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lga +lgb =0，即ab =1， a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立， 故选：B ．
由lg a 和lg b 的等差中项是0，可得ab =1，利用基本不等式即可求得a +b 的最小值． 本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
12.答案：D
解析：解：①x =1
2，sgn(1
2−x)=0=sgn(x −1
2)，则f(x)=1
2f 1(x)+1
2f 2(x)，∵f 1(x)=2(1−x)，f 2(x)=x +1
2，∴f(x)=5
4−1
2
x ，代入x =1
2，得f(x)=1； ②1
2<x ≤1，sgn(1
2−x)=−1，sgn(x −1
2)=1，f(x)=f 2(x)=x +1
2，f(x)在(1
2,1]上是增函数，则1<f(x)≤3
2；
③0≤x <1
2，sgn(1
2−x)=1，sgn(x −1
2)=−1，f(x)=f 1(x)=2(1−x)，f(x)在[0,1
2)上是减函数，则1<f(x)≤2，
分段函数f(x)={
5
4−1
2x,x =1
2时
x +12,1
2<x ≤1时2(1−x),0≤x <12
时
又因为f(x)=a 有两个解，所以1<a ≤3
2． 故选：D ．
分三种情况讨论：①x =1
2②1
2<x ≤1③0≤x <1
2，借助函数单调性分别求出这三种情况的函数值域，在根据f(x)=a 有两个解，容易求出a 的范围．
本题给出了一个含有符号函数的综合式为例，以求函数的值域为载体，考查了函数的单调性和值域问题，属于中档题．
13.答案：c <a <b
解析：解：∵0<0.60.7<0.60.6<0.70.6，ln0.6<ln1=0， ∴c <a <b ．
故答案为：c <a <b ．
根据指数函数和幂函数的单调性即可得出0<0.60.7<0.70.6，根据对数函数的单调性即可得出ln0.6<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．
本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的单调性，指数函数的值域，考查了推理能力，属于基础题．
14.答案：4
解析：解：根据x ，y 满足{x −y ≥1
x +y ≤2y ≥0画出可行域，
如图：
由图得当z =2x −y 过{x +y =2
y =0的交点A(2,0)时，
Z 最大为4． 故答案为：4．
根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x −y 中，求出2x −y 的最大值．
在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
15.答案：1
解析：解：由(x−1)2+y2=r2，可知圆心坐标为(1,0)，半径为r，
∵直线3x+4y+2=0与(x−1)2+y2=r2圆相切，
=1，
由圆心到直线的距离d=|1×3+0×4+2|
√32+42
可得圆的半径为1．
故答案为：1．
由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．
本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
16.答案：2
解析：解：令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=2．
×2×2=2．
∴直线x+y−2=0与两条坐标轴围成的三角形面积S=1
2
故答案为：2．
令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=2.即可得到：直线x+y−2=0与两条坐标轴围成的三角×2×2．
形面积S=1
2
本题考查了直线与坐标轴的交点坐标和三角形的面积计算公式，属于基础题．
17.答案：(1)(2)
解析：试题分析：解：(1)当时，所以，即
……3分所以当时，；当时，
所以数列的通项公式为…6分(2)当时，，
，，若，则，
从而为公比为1的等比数列，不合题意；
若，则，，
由题意得，，所以或．
当时，，得，，不合题意；
当时，，从而
因为，为公比为3的等比数列，，所以，从而．
考点：数列的通项公式和求和
点评：解决的关键是能结合前n项和与通项公式的关系来求解通项公式，同时结合等比数列的求和公式得到结论，属于基础题。

18.答案：(1)证明：连接MN，则MN是△BCD的中位线，∴MN//CD，MN=1
2
CD．
由侧视图可知AE//CD，AE=1
2
CD，
∴MN=AE，MN//AE
∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN//EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，
∴AN//平面CME．
(2)证明：由俯视图可知AC=AB，∵N是BC的中点，
∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN⊂平面ABC，
∴AN⊥平面BCD.由(1)知AN//EM，
∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．
(3)解：由俯视图得AB⊥AC，AB=AC=2，
∴BC=√2AB=2√2，
∵N是BC中点，∴AN=1
2
BC=√2，∴EM=√2．
由侧视图可知CD=4，CD⊥BC，
∴S△BCD=1
2BC⋅CD=1
2
×2√2×4=4√2．
∴V D−BCE =V E−BCD =13S △BCD ⋅|EM|=13×4√2×√2=8
3．
解析：(1)连接MN ，则MN−//1
2CD ，由侧视图可知AE−//1
2
CD ，故MN−//
AE ，于是四边形ANME 为平行
四边形，得出AN//EM ，于是AN//平面BDE ；
(2)由AB =AC 可得AN ⊥BC ，由侧面BCD ⊥底面ABC 可得AN ⊥平面BCD ，故而EM ⊥平面BCD ，于是平面BDE ⊥平面BCD ；
(3)以平面BCD 为棱锥的底面，则EM 为棱锥的高，利用直棱柱的结构特征计算棱锥的底面积和高，得出体积．
本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
19.答案：解：(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z
由题意知{x(1−y)(1−z)=0.08
xy(1−z)=0.121−(1−x)(1−y)(1−z)=0.88，(4分)
解之得{x =0.4
y =0.6z =0.5
，
∴该学生选修甲、乙、丙的概率分别是0.4，0.6，0.5.(6分) (2)依题意知ξ的可能取值为0，2，(7分)
∴P(ξ=0)=xyz +(1−x)(1−y)(1−z)=0.4×0.5×0.6+(1−0.4)(1−0.5)(1−0.6)=0.24，(9分)
∴P(ξ=2)=1−P(ξ=0)=0.76
(或：仅仅选甲的概率为0.08，仅仅选乙概率为0.18，仅仅选丙的概率为0.12，合计为0.38，同样仅仅不选甲、仅仅不选乙、仅仅不选丙的概率和也为0.38，故P(ξ=2)=0.38+0.38=0.76)(9分) 则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52.(12分)
解析：(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出该学生选修甲、乙、丙的概率．
(2)依题意知ξ的可能取值为0，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．
20.答案：解：(1)椭圆的焦点为F 1(−√3,0)，则c =√3．
a 2=
b 2+
c 2，即a 2=b 2+3， 则椭圆的方程为：
x 2b +3
+
y 2b =1，将点(1,√
3
2
)代入椭圆方程得：
1b 2+3
+
34b 2
=1，解得：b 2=1，a 2=4，
∴椭圆C 的方程：x 24
+y 2=1．
(2)由题意知，|m|≥1．
当m =1时，切线l 的方程x =1，点A 、B 的坐标分别为(1,√3
2)，(1,−√3
2)此时丨AB 丨=√3；
当m =−1时，同理可得丨AB 丨=√3，
当|m|>1时，设切线l 的方程为y =k(x −m)，(k ≠0)， 由{y =k(x −m)
x 24+y 2
=1得：(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0， 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，
则△=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=4k 2−k 2m 2+1>0，∴−2≤m ≤2， ∴x 1+x 2=8k 2m
1+4k ，x 1⋅x 2=
4k 2m 2−41+4k ，
由于x 2+y 2=1相切，√k 2
+1
=1，即m 2k 2=k 2+1，得k 2=1
m 2−1， ∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2
]=
4√3|m |
m 2+3
， ∴|AB|=
4√3丨m 丨
m 2+3
， |m|>1，|AB|=
4√3丨m 丨m 2+3
=
4√3丨m 丨+
3丨m 丨
≤2，
当且仅当m =±√3时，|AB|=2， 由于当m =±1时，|AB|=√3， 综上可知：|AB|的最大值为2．
解析：(1)利用已知条件c =√3，由椭圆的性质可知a 2=b 2+3，将椭圆方程转化成，x 2
b 2+3+y 2
b 2=1，
将点(1,√3
2
)代入方程即可求得a 和b 的值，即可求椭圆C 的方程；
(2)利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|表示为m的函数，通过基本不等式求解弦长的最大值．
本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用，属于中档题．
21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x−m
x
+m−1
∵函数f(x)在x=2处有极值∴f′(2)=2−m
2
+m−1=0
∴m=−2，经检验m=−2符合题意．∴m=−2．
(Ⅱ)∵f′(x)=x−m
x +m−1=x2+(m−1)x−m
x
=(x−1)(x+m)
x
∴(1)当−1<m≤0时，若x∈(0,−m)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(−m,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(2)当m=−1时，f′(x)=(x−1)2
x
≥0，f(x)在(0,+∞)上为增函数．(3)当m<−1即−m>1时，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(1,−m)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(−m,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(Ⅲ)当m=−2时，函数f(x)=1
2
x2+2lnx−3x．
构造辅助函数g(x)=f(x)+x，并求导得
g′(x)=x+2
x
−2=
x2−2x+2
x
=
(x−1)2+1
x
∴g′(x)>0，g(x)为增函数．
∴对任意0<x1<x2，都有g(x1)<g(x2)成立，即f(x1)+x1<f(x2)+x2．
即f(x1)−f(x2)>x1−x2．
又∵x1−x2<0，
∴f(x2)−f(x1)
x2−x1
>−1
解析：(Ⅰ)由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′(x)=0的根，从而求出m；(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，分类讨论m，判断f′(x)的符号，进而得到f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当 m =−2时，对任意的 x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，要证明f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
>−1，
即证明f(x 1)−f(x 2)>x 1−x 2，即证f(x 1)+x 1<f(x 2)+x 2，
故我们可以构造辅助函数g(x)=f(x)+x ，通过讨论辅助函数g(x)=f(x)+x 的单调性证明结论． 本题考查导数的综合应用，函数单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2+1
2
t
y =−√3
2t (t 为参数)，消去参数t 可得普通方程：√3x +y −2√3=0．
曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，即ρ2sin 2θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y 2=4x ． (2)把直线l 的参数方程{x =2+1
2
t
y =−√3
2t
(t 为参数)代入方程y 2=4x 可得：3t 2−8t −32=0． ∴t 1t 2=−32
3． ∴|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=
323
．
解析：(1)直线l 的参数方程为{x =2+1
2t
y =−√3
2t
(t 为参数)，消去参数t 可得普通方程．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，即ρ2sin 2θ=4ρcosθ，利用互化公式即可得出直角坐标方程． (2)把直线l 的参数方程{x =2+1
2
t
y =−√3
2t
(t 为参数)代入方程y 2=4x 可得：3t 2−8t −32=0.|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|.
本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。