河南高三高中数学高考模拟带答案解析

河南高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）
A．B．C．D．
2.已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知命题，则命题的否定为（）
A．，B．，
C．，D．，
4.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）
A．B．C．D．
5.已知向量，若，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
6.已知，则=（）
A．B．C．D．
7.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为35，则输入的值为（）
A．B．C．D．
9.某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨
产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过
50吨，160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可
获得最大利润为（）
A．14000元B．16000元C．18000元D．20000元
10.已知函数，或对任意的，且时，则实数的取
值范围是（）
A．B．C．D．
11.已知正项数列的前项和为，且，，现有下列说法：①；
②当为奇数时，；③.则上述说法正确的个数为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知函数的部分图象如图所示，其中（点为图象的一个最
高点），则函数=___________.
2.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接,，则
向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．
3.若圆过点，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为_________．
4.已知关于的方程在上有两个不相符的实数根，则实数的取值范围为
__________．
三、解答题
1.在中，，，，.
（1）求的面积；
（2）若，求的长度以及的正弦值.
2.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示开业第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
经过进一步的统计分析，发现与具有线性相关关系.
（1）如从这7天中随便机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率；
（2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出与的线性回归方程，并估计若该活动持续10天，共有多少名顾客参加抽奖.
参考公式：，，，.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上上，若点与点关于原点的对称，连接，并延长与椭圆的另一个交点为，连接，求面积的最大值.
4.已知函数，
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）证明：在上恒成立.
5.已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的极坐标方程；
（2）求直线与曲线交点的极坐标.
6.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为，且
（1）求的值以及实数的取值集合；
（2）若实数满足，证明.
河南高三高中数学高考模拟答案及解析
1.已知集合，，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，阴影部分表示集合，故.选C.
2.已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】依题意，，设，故，故，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限.选D.
3.已知命题，则命题的否定为（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为，.选C.
4.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，故，故，故，解得，注意到该数列中均为正数，故.选A.
5.已知向量，若，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选D.
6.已知，则=（）
A．B．C．D．
【解析】，故
，故.选B.
7.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积
.选B.
点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为35，则输入的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，
，；第三次循环后，，；接着计算
，跳出循环，输出.令，得.选A.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
9.某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨
产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（）
A．14000元B．16000元C．18000元D．20000元
【答案】A
【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：
设该公司一天内安排生产产品吨，产品吨，所获利润为元.依据题意得目标函数为，约
束条件为欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，
如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线
过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故，所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获
得最大利润，为14000元.选A.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10.已知函数，或对任意的，且时，则实数的取
值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故函数在上单调递增；易知，当时，在上是增函数，，解得；当时，，令，解得，由
对勾函数性质可知，函数的单调递增区间为，故，得，综上所述，实
数的取值范围为.选B.
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间
的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合
函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
11.已知正项数列的前项和为，且，，现有下列说法：①；
②当为奇数时，；③.则上述说法正确的个数为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，故，即；当时，
，故；当时，，所以
，即，又，所以，所以，所以当为奇数时，；
，所以；综上所述，①②③都正确.选D.
二、填空题
1.已知函数的部分图象如图所示，其中（点为图象的一个最
高点），则函数=___________.
【答案】
【解析】依题意，，故，故，将点代入可得
，故，因为，故.
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
2.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接,，
则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．
【答案】
【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部
分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积
，故所求概率.
3.若圆过点，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为_________．
【答案】或
【解析】依题意，设圆的方程为，则，解得，或，，故圆的方程为或.
4.已知关于的方程在上有两个不相符的实数根，则实数的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】因为，分离参数可得，故问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根；令函数，，则；令函数，，则在上有，故
在上单调递增，∵，∴当时，有，即，∴单调递减：当时，有，即，∴单调递增；∴
，，注意到，，故实数的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但
要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
三、解答题
1.在中，，，，.
（1）求的面积；
（2）若，求的长度以及的正弦值.
【答案】（1）或.（2）
【解析】（1）先由余弦定理解得或；再利用三角形面积公式求的面积，（2）由同角三角函数关
系求出,再由正弦定理可得，最后利用两角和正弦公式及三角形内角关系求的正弦值.
试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理，得，解得或；故的面积或.
（Ⅱ）因为，所以，在中，由正弦定理，得.
即,.
2.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着
抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表
示开业第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
经过进一步的统计分析，发现与具有线性相关关系.
（1）如从这7天中随便机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率；
（2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出与的线性回归方程，并估计若该活动持续10天，
共有多少名顾客参加抽奖.
参考公式：，，，.
【答案】（1）（2）140
【解析】（1）先利用枚举法确定7天中随便机抽取两天总事件数，从中确定至少有1天参加抽奖人数超过10的
事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求平均数，代入公式求，利用
求，即得线性回归方程，再利用线性回归方程估计时参加抽奖的人数，得到此次抽奖活动总人数.
试题解析：（Ⅰ）这7天中参加抽奖的人数没有超过10的为第1，2，3，4天，超过10的为第5，6，7天，从
这7天中任取两天的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中至少有1天参加抽奖人数超过10的有15种，所以.
（Ⅱ）依题意：.
，，，
，，
则关于的线性回归方程为，
预测时，时，，时，
则此次活动参加抽奖的人数约为人.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上上，若点与点关于原点的对称，连接，并延长与椭圆的另一个交
点为，连接，求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得，由点在椭圆上得，解方程组得，，
（2）根据对称性得坐标原点O到直线距离为△高的一半；联立直线方程
与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可得底边边长，由面积公式可得△面积为
，根据非负可得面积取值范围，最后考虑直线斜率不存在的情形，确定面积最值.
试题解析：（Ⅰ）依题意，，，，解得，，
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立方程化简得，
设，，则，，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴，
综上，△面积的最大值为.
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
4.已知函数，
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）证明：在上恒成立.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求出切线方程，（2）要证：，即证：；令，利用二次求导得，
;可得当时，利用，，直接得.
试题解析：（Ⅰ）依题意，，又，，
故所求切线方程为，即，
（Ⅱ）依题意，要证：，即证，
即证：；
当时，，，
故，即；
当时，令，故，
令，，
当时，，所以，故在上单调递增，
故，即，所以，
即，即；
综上所述，在上恒成立.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
5.已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的极坐标方程；
（2）求直线与曲线交点的极坐标.
【答案】（1）（2）和.
【解析】（1）根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）根据直线的普通方程与曲线的直角坐标方程。

联立方程组，解出交点直角坐标，再根据化为极坐标.
试题解析：（Ⅰ）依题意，，故；
因为，故，
故极坐标方程为.
（Ⅱ）联立，化简得：
，则或，即，或，
又因为，，则或，
则直线与曲线的交点的极坐标为和.
6.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为，且
（1）求的值以及实数的取值集合；
（2）若实数满足，证明.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据绝对值三角不等式可得函数最小值，再根据不等式等于号取法确定实数的取值集合，（2）利用基本不等式可得，，相加即得结论.
试题解析：（Ⅰ）依题意，，故的值为；当且仅当，即时等号成立，则的取值集合为.
（Ⅱ）因为，故；
因为，当且仅当时等号成立；
因为，当且仅当时等号成立；
故，故（当且仅当时等号成立）.。