高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》难题汇编附解析

【最新】数学复习题《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．变换T 1是逆时针旋转
2
π
角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】
试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.
试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
, 则M 00x y ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00
{y y x x y =-= 所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换
2．已知矩阵11m A m ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m（2
）1)1)40
x y
''
--=（3
）存在，
1
:
3
l y x
=
，2
:
l y=．
【解析】
【分析】
（1）计算2
A，由24
A I
=可求得m；
（2
）由
1
1
x x
y y
⎛
'
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎪
'-
⎝⎭⎝⎭
⎭
，得
x x
y y
⎧=+
⎪
⎨
=-
'
'
⎪⎩
，解得
4
4
x x
y y
⎧=+
⎪
⎨
='
-
''
'
⎪⎩
．代入1
y x
=+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l方程为
(0)
y kx b k
=+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k，可分类0
b≠和0
b=．
【详解】
（1）0
m>
Q，
2
2
2
1110
10
4
1101
01
m m m
A
m m m
⎛⎫
+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪
⎪⎪ ⎪
--+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
m
∴=
（2
）
1
1
x x x
y y y
⎛⎛⎫
'+
⎛⎫⎛⎫
==⎪
⎪ ⎪
⎪⎪
'--
⎝⎭⎝⎭
⎭⎭
Q，
即
x x
y y
⎧=
⎪
⎨
=-
'
'
⎪⎩
，
4
4
x x
y y
⎧=+
⎪
∴⎨
='
-
''
'
⎪⎩
．
∵点(,)
P x y在直线1
y x
=+上，
4
y x
''''
-=++，
即点()
','
Q x y
的轨迹方程1)1)40
x y
''
--+-=．
（3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)
l y kx b k
=+≠，(,)
P x y
，()
Q x y
+-
()
y k x b
-=++
Q，
1)(
y k x b
∴-+=+
当0
b≠
时，1)1,k k
-+==，无解．
当0
b=
时，2
1)
20
1
k
k
k
-+-
=⇒+-=,
解得
3
k=
或k=
∴所求直线是1:3
l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A
A c
B
B B -=-求角
C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=⇒++=-
sin sin 22A B C +⎛⎫
⇒+= ⎪
⎝⎭
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫
+=⇔+= ⎪
⎝⎭
，
sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ
+=∴，
解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
4．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
2
1
x g a
x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710
x x x ⎧
≥⎪⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当7
2
x <时，不等式可化为7
2
7210
x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩，故8
3
x ≤
. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1
211
2
x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及
a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
5．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a
【答案】（1）1341,15,28a a a ===，2
2n a n n =-；证明见解析 （2）
2=1
n n n a n
，
2111
01=0
01
n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】
（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测2
2n a n n =-,根据数学归纳法证明即
可；
（2）由（1）可构造二阶行列式为
21
n n n
,根据要求可构造三阶行列式为
2111
010
01
n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】
（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；
猜测2
2n a n n =-,
证明：当1,2,3,4n =时,2
2n a n n =-成立； 假设当()5n k k =≥时,2
2k a k k =-成立,
则()()()1111k k k a k a +-=+-, 所以()()()()()222
1112121123121111
k k k a k k k k k k k k k k +++=
--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,
综上,2
2n a n n =-成立
（2）由（1）,因为2
221n a n n n n n =-=⋅-⋅,
则可构造二阶行列式为
21
n n n
；
因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为
2111010
01
n n -,检验,()()()2211101211102120
01
n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】
本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力
6．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+-
233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.
7．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】
22242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
8．已知关于,x y 的方程组42
1
mx y x y +=⎧⎨+=⎩.
（1）求,,x y D D D ；
（2）当实数m 为何值时方程组无解；
（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =
（3）4m ≠方程组有唯一解24
24x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4
011
m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】
（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
4D m =-，2x D =-，2y D m =-
（2）由411m A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，当||0A =， 即
4
4011
m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解
（3）当
4
011
m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩
①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-，
∴方程的解集为：24
24x m m y m -⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
．
【点睛】
本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计
算能力，属于中档题．
9．已知方程组()()()11
,232
a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨
+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；
（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值1
3
，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用二阶行列式证明
（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）
22
111123230,3,4,
23232234,33
y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a a
x y --==+---=-≠==-+==-++++--∴=
=，
即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33
a a
x y --=
=，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；
（3）1||||(|3|3x y a +=
-1
|4|)3
a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值1
3
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题
10．解关于x 、y 的方程组(1)20
24160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩
，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)20
24160x m y m mx y +++-=⎧⎨
++=⎩
化成矩阵形式Ax b =
则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
()()()24212242111
24
2m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,
()()()421611221
16422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,
()()()162222412216
y D m m
m m m m =
=----+-=-
当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m =
=-，4
1y D m y D m
-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解． 当2m =-时，原方程为40
44160x y x y --=⎧⎨
-++=⎩
无解，
当1m =时，原方程组为210
24160x y x y +-=⎧⎨++=⎩
，无解．
【点睛】
本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．
11．设变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；
（2）求曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2
y x =-.
【解析】 【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin
012
210sin cos 2
2M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫
⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y
y x =⎧⎨=-⎩，
因为00x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
在曲线2
:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=， 即2
y x =-，
所以曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-. 【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
12．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 求AB;
若曲线C 1;22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.
【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
（2）22
8x y += 【解析】
试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．
试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以22
00188x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=.
因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：
2
2
8x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．
13．已知矩阵111A a -⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.
【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】
根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】 由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
， 则矩阵A 的特征多项式为221
1
()(1)4234
1
f x -=
=--=---λλλλλ，
令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=，
所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．
14．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r
， 故2343x y x x y y +=⎧⎨
-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
15．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】1
311010125
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【解析】
试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，所以1
311010125
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
．
B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以1
311010125
5M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
．
16．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）1
2132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）1
2x y =⎧⎨=⎩
【解析】 【分析】
（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵； （2）由AX B =可得1
214327X A B --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】
（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而1
2132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到1
21413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ∴12x y =⎧⎨=⎩
.
【点睛】
本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.
17．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡
⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧
+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下
得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .
【答案】1102-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线
220x ay bx y +++-=，对比得到答案.
【详解】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，
其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上，
所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，
故1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵1
11202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】
（1）依题意，利用矩阵变换求得11
112124
()2
2101022
2B B --⎡⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．
（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】
（1）解：1
11202B -⎡
⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
Q ，11112124
()221010222B B --⎡
⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 1202AB ⎡⎤
∴=⎢⎥
-⎣⎦
1511
4410102⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦
． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----，
可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，
可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则1
1
1221
122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
，1
3001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，
10
11
15904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢
⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.
20．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】
解：(1)不等式
2
01x a
x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．
1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得1
2
tan α=-.
【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。