辽宁省锦州市2021届新高考四诊数学试题含解析

辽宁省锦州市2021届新高考四诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．
2．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．2【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】
正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】
本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
3．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数
4f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有
()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3
π
；其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
化()f x )4x π
-
可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得
353[
,]444
x π
ππ
-
∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由
()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2
T
x x -=可判断④.
【详解】
由题意，())4f x x π
=
-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
)]
44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，353[
,]4
44
x π
ππ
-
∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为
23
T π
=，故④正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
4．双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）
A B ．C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
根据双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.
【详解】
∵双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，
1
2
=，∴4m =，
∴双曲线的离心率2
c e a ==
. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
5．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．3
4
-
B ．
34
C ．43
-
D ．
43
【答案】C 【解析】 【分析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】
因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43
a =-. 故选：C 【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 6．设复数z ＝
213i
i
-+，则|z|＝（ ）
A ．
13
B ．
3
C ．
12
D ．
2
【答案】D 【解析】 【分析】
先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】
解：z ＝
213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710
i --＝﹣110﹣710i ,
则|z|2. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
7．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．
3
5
B ．
710
C ．
45
D ．
910
【答案】D 【解析】 【分析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有
,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时
期专著的概率为9
10
m P n ==．故选D ． 【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
8．设0.3
80.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
【答案】D 【解析】 【分析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.3
10
log 4log 13
<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,
0.341>,即1c >,
所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 9．复数12i
2i
+=-（ ）． A ．i B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
【答案】A 【解析】 试题分析：
12(12)(2)242
2(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 10．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种
C ．36种
D ．48种
【答案】C 【解析】 【分析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.
把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1
个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有3
3A 种方法，由分步计数原理，共有23
4336
C A ⋅=种方案。

故选：C. 【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.
11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布35
31
尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，35
31
m S =，求m 的值． 因为()51512512
a S -==-，解得1531a =，()5
1235311231
m m
S -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6
π
B ．
12
π
C ．
1112
π
D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．
将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合， 则226
k π
ϕπ=+
，即12
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
∴当0k =时，ϕ取得最小值为12
π
ϕ=
，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在等差数列{}n a （n *∈N ）中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是______. 【答案】-15 【解析】 【分析】
{}n a 是等差数列，则有1524a a a a +=+，可得5a 的值，再由83a =-可得d ，计算即得.
【详解】
Q 数列{}n a 是等差数列，1524a a a a ∴+=+，又124a a a =+，50a ∴=，
853
1853
a a d --∴=
==--，故2051515a a d =+=-. 故答案为：15- 【点睛】
本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出1a 和公差d ，再计算20a . 14．设1ln ()x f x x
+=
，若关于x 的方程2
()2f x x x k =-+有实数解，则实数k 的取值范围_____． 【答案】(,2]-∞ 【解析】 【分析】 先求出2
()lnx
f x x '=-
，从而得函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．即可得()f x 的最大值为()11f =，令2()2g x x x k =-+，得函数()g x 取得最小值()11g k =-，由2
()2f x x x k =-+有
实数解，11k -…，进而得实数k 的取值范围． 【详解】
解：2
()lnx
f x x '=-
Q ， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，)0f x '<； ∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．
所以()f x 的最大值为()11f =， 令2()2g x x x k =-+，
所以当1x =时，函数()g x 取得最小值()11g k =-，
又因为方程2
()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -„，即2k „，
所以实数k 的取值范围是：(,2]-∞． 故答案为：(,2]-∞ 【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.
15．已知向量(2,1)a =-，(1,)m =b ，若向量+a b 与向量a 平行，则实数m =___________． 【答案】12
- 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得(1,1)m +=-+a b ，因为向量+a b 与向量a 平行，所以2(1)1(1)0m -⨯+-⨯-=，解得12
m =-
． 16．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是______ .（用数字作答） 【答案】80243
【解析】 【分析】
基本事件总数53243n ==，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数235280m C ==g ，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率． 【详解】
解：某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，
该市的任意5位申请人中，基本事件总数53243n ==，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数：
235280m C ==g ，
∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是80243
m p n =
=． 故答案为：80243
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()ln 12
a
f x x x =++
+，其中a 为实常数. （1）若存在1n m >≥-，使得()f x 在区间(),m n 内单调递减，求a 的取值范围；
（2）当0a =时，设直线1y kx =-与函数()y f x =的图象相交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，证明：1222x x k
++>
. 【答案】（1）(4,)+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）将所求问题转化为'
()0f x <在(1,)-+∞上有解，进一步转化为函数最值问题；
（2）将所证不等式转化为12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，进一步转化为
121
21
11
111
x x x x +++>+-+122
1ln 1x x ++，然后再通过构造()ln m t t =-2(1)
1
t t -+加以证明即可. 【详解】
（1）'
2
1()(1)1(2)
a f x x x x =
->-++，根据题意，()f x 在(1,)-+∞内存在单调减区间， 则不等式'
()0f x <在(1,)-+∞上有解，由2101(2)a x x -<++得2(2)1
x a x +>+，设2(2)()1x g x x +=+，
则2(1)2(1)11
()(1)2411
x x g x x x x ++++==+++≥++，当且仅当0x =时，等号成立，
所以当1x >-时，min ()4g x =，所以存在1x >-，使得()a g x >成立， 所以a 的取值范围为(4,)+∞。

（2）当0a =时，()ln(1)f x x =+，则12121212
()()ln(1)ln(1)
f x f x x x k x x x x -+-+=
=--，从而
所证不等式转化为1212122()
2ln(1)ln(1)
x x x x x x -++>
+-+，不妨设121x x >>-，则不等式转化
为
12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，即121211(1)(1)x x x x +++>+-+122
ln(1)ln(1)
x x +-+， 即1212111
111
x x x x +++>+-+1
22
1ln 1
x x ++，令1211x t x +=+，则不等式转化为11t t +>-2ln t ，因为 12110x x +>+>，则1t >，从而不等式化为2(1)
ln 1t t t ->+，设()ln m t t =-2(1)1t t -+，则1()m t t =-()241t +
2
2(1)0(1)
t t t -=>+，所以()m t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0m t m >= 即不等式2(1)
ln 1
t t t ->+成立，故原不等式成立. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题. 18．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
,,2
a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）41
a +，ξ的分布列为 （2）10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝0
1C 112⎛⎫-
⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12
(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·1202C (1－a)2＋0
1
C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭1
2C a(1－a)＝12(1－a 2
)；
P(ξ＝2)＝11C ·12
12C a(1－a)＋0
1C 112⎛
⎫-
⎪⎝
⎭22C a 2＝12
(2a －a 2
)； P(ξ＝3)＝11C
·
1222C a 2＝2
2
a . 所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×2
2
a
＝412a +.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝
1
2[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122
a
-；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－
a 2)－a 2
]＝2122
a -.
由2
(1)0,
12{0,21202
a a a a
-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤
⎥⎝⎦.
19．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的短轴长为1F ，2F ，点B 是椭圆上位于
第一象限的任一点，且当2120BF F F ⋅=u u u u r u u u u r
时，232
BF =u u u u r . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交
C 于另一点M ，交y 轴于点N .
（ⅰ）求ODN △面积最大值；
（ⅱ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值.
【答案】（1）22143x y +=；
（2）（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由23
2
b a =，2b =
（2）（ⅰ）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x ，易得1114ODN
S x y =△，注意到22
11143
x y +=，利用基本不等式得到11x y 的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线AB 斜率为()1
1
0y k k x =>，直线AD 方程为()12
k
y x x =
-，联立椭圆方程得到M 的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
（1）设()2,0F c ，由2120
BF F F ⋅=u u u u r u u u u r
，得212BF F F ⊥. 将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a =，即2232
b BF a ==u u u u r ，
由b =
2a =，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x （ⅰ）易知ON 为ABD △的中位线，所以10,2y N ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
， 所以111111111
2244
ODN y S x x y x y =
⋅-=⋅=△， 又()11,B x y 满足22
143
x y +=，所以
22
11112
432x y x +=≥⋅=，得11x y ≤
故
1114ODN
S x y =≤
△12x =1x =，12
y =时取等号，
所以ODN △面积最大值为
34
. （ⅱ）记直线AB 斜率为()11
0y k k x =
>
，则直线AD 斜率为1122y k x =，
所以直线AD 方程为()12
k
y x x =
-. 由()122
214
3k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222221132120k x k x x k x +-+-=， 由韦达定理得()2112223k x x x k -+=+，所以()
2211212233233k x k x x x k k
+=+=++， 代入直线AD 方程，得3122
3k x y k
=+， 于是，直线BM 斜率()31
122122111
2
332333BM
k x kx y y k k x x k
k x x k --+===--+-+，
所以直线AB 与BM 斜率之积为定值32
-. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
20．如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
【答案】（1）6种；（2）11
64
；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，
I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率； （3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为2
4
6C =条.
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线：
①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313
124432p =⨯⨯⨯=；
②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率213113
2444128p =⨯⨯⨯=；
③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111
124432p =⨯⨯⨯=；
④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率411313
2444128p =⨯⨯⨯=.
所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率
1234331311321283212864
p p p p p =+++=
+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则
①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()134E X =；
②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()239344E X =⨯=；
③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→；
3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫
→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==
综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→. 【点睛】
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题. 21．已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R . （1）若1a b c ===，求不等式()5f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：
()149
18a b c a b b c c a
++>+++++.
【答案】（1）()(),22,-∞-+∞U ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.
（2）利用绝对值三角不等式可得1a b c ++=，然后使用柯西不等式可得结果. 【详解】
（1）由1a b c ===，所以()111f x x x =-+++ 由()5f x >
当1x ≤-时，则()11152f x x x x =---+>⇒<- 所以2x <-
当11x -<<时，则()1115f x x x x =-+++>⇒∈∅ 当1x ≥时，则()11152f x x x x =-+++>⇒> 综上所述：()(),22,x ∈-∞-⋃+∞ （2）由()x b x c x b x c b c -++≥--+=+ 当且仅当()()0x b x c -+≤时取等号 所以()f x x b x c a b c a =-+++≥++ 由()min 0,0,0,1a b c f x >>>=， 所以1a b c ++=
所以
1222
a b b c c a
+++++= 令149222a b b c c a a b b c c a T +++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭=
2
2
2
149
a b b c c a ++=+++++ 222
222a b b c c a +++++=++ 根据柯西不等式，则2
18
T ≥+= 当且仅当
123a b b c c a ==+++，即12
0,,33
b a
c ===取等号 由0,0,0a b c >>>
故2
18T >++=，又1a b c ++=
则
()14918a b c a b b c c a
++>+++++ 【点睛】
本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题. 22．设函数()f x x p =-．
（1）当2p =时，解不等式()41f x x ≥--； （2）若()1f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞U ，
()120,01
p m n m n +=>>-，求证：211m n +≥． 【答案】（1）17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）当2p =时，将所求不等式变形为214x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三段解不等式214x x -+-≥，综合可得出原不等式的解集； （2）先由不等式()1f x ≥的解集求得实数1p =，可得出
1211
m n +=-，将代数式2m n +变形为()212m n +-+，将()21m n +-与
121
m n +-相乘，展开后利用基本不等式可求得()21m n +-的最小值，进而可证得结论. 【详解】
（1）当2p =时，不等式为214x x -+-≥，且23,2211,1232,1x x x x x x x -≥⎧⎪
-+-=<<⎨⎪-≤⎩
.
当1x ≤时，由214x x -+-≥得324x -≥，解得12x ≤-
，此时12
x ≤-； 当12x <<时，由214x x -+-≥得14≥，该不等式不成立，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由214x x -+-≥得234x -≥，解得72x ≥
，此时72
x ≥. 综上所述，不等式()41f x x ≥--的解集为17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
； （2）由()1f x ≥，得1x p -≥，即1x p ≤-或1x p ≥+，
Q 不等式()1f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞U ，故1012
p p -=⎧⎨
+=⎩，解得1p =，12
11m n ∴+
=-， 0m >Q ，0n > ，
()()()
211
22212155911n m m n m n m n n m -⎛⎫∴+-=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
， 当且仅当3m =，4m =时取等号，()22129211m n m n ∴+=+-+≥+=． 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
23．已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；
（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|24}x R x ∈-≤≤（2）2
14
(,][,)33
-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对a 分成2a >和2a <两类，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，求得()f x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】
（1）当2a =时，()31f x x =- 由()9f x ≤得13x -≤ 由13x -≤得313x -≤-≤ 解：313x -≤-≤，得24x -≤≤
∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤
（2）①当2a >时，232a
a <-，()333,233,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧
⎪-+>-⎪
⎪=+-≤≤-⎨
⎪
⎪
-+-<⎪⎩
所以()f x 在,2a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
是增函数，所以()min 3322a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由题设得
3342a -≥，解得143a ≥.②当2a <时，同理求得2
3
a ≤-.
综上所述，a 的取值范围为][214
,,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。