高考数学试题-2018年陕西省普通高等学校高三第五次适

2018年陕西省普通高等学校高三第五次适应性训
数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知复数
z =
，则z 在复平面上对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列有关命题说法正确的是( )
A ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件
B ．命题“∃x R ∈,210x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2
10x x ++<” C ．三角形ABC 的三内角为A 、B 、C ，则sin sin A B >是A B >的充要条件 D ．函数()()sin f x x x x R =-∈有3个零点
3．函数1(0)y x =<的反函数是（ ）
A ．0)y x <
B ．0)y x =<
C ．2)y x =>
D ．2)y x =>
4．直线0Ax By C ++=与圆224x y +=相交于两点M 、N ，若满足222
C A B =+， 则
·（Ｏ为坐标原点）等于（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）
，则()()20092010f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
6．如图所示，墙上挂有一边长为2的正方形木板，上面画有抛物线型的图案（阴影部分），某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都
一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A ．65
B ．4
5 C ．32 D ．43
7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=S ，186=S ，则=5
10
S S （ ）
A ．33
B ．-3
C ．-31
D ．17
8．如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的
两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左
支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 C 1 D ．1
9．有专业机构认为甲型N 1H 1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人” ．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A ．甲地:总体均值为6,中位数为8
B ．乙地: 总体均值为5,总体方差为12
C ．丙地:中位数为5,众数为6
D ．丁地:总体均值为3,总体方差大于0
10．计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．4i >
B ．4i ≤
C ．5i >
D ．5i ≤
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．某班有60名学生，一次考试后，数学成绩ξ服从正态分布()
2
100,10N ，已知
()901000.3
P ξ≤≤=，估计该班数学成绩在110以上的学生人数为 ． 12
．如图是函数()()sin f x A x B ωϕ=++，
()()
2
0,0,0,A πωϕ>>∈图像的一部分，则()f x 的解析式
为
13． 某工厂有三个车间生产不同的产品，现将7名工人
全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有 种．
14．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，则这个
正四面体的主视图的面积为 cm 2
．
15．（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）（选修4—4坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是1,,
x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，则直
线l 与曲线C 相交所得的弦长为 ．
（2）（选修4—5 不等式选讲）已知,,x y z ∈R ，且
3x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 ．
（3）(选修4—1 几何证明选讲）如图：若PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4PB =，3PD =，则AD DC ⋅= ．
A B
D
P
C
-π
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）
16．(12分)
已知向量()
2cos a x x =
，sin()sin 3b x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，函数()f x a b =⋅ ．
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若[,0]2
x π
∈-时，求()f x 的单调递减区间；
17．(12分)某电视台综艺频道主办一种有奖过关游戏，该游戏设有两关，只有过了第一关，才能玩第二关，每关最多玩两次，连续两次失败者被淘汰出局．过关者可获奖金,只过第一关获奖金900元，两关全过获奖金3600元．某同学有幸参与了上述游戏，且该同学每一次过关的概率均为23
，各次过关与否互不影响．在游戏过程中，该同学不放弃所有机会． （1）求该同学仅获得900元奖金的概率；
（2）若该同学已顺利通过第一关，求他获得3600元奖金的概率； （3）求该同学获得奖金ξ的数学期望（精确到元）．
18．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1 的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；
(2)求面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角余弦值的大小．
19．(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
2n n S a n n N +
=-∈．
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）若数列{}n b 中，11b =，点P （n b ，1n b +）在直线20x y -+=上，记{}n b 的前n 项和为n T ，当2n ≥时，试比较2n S 与n T n +的大小．
20．(13分)已知椭圆C
的中心在坐标原点，离心率e ，且其中一个焦点与抛物线
2
1y x
=的焦点重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点S (13
-，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(14分)已知函数()3
2
2f x x bx cx =+++．
（1）若()f x 在1x =时，有极值1-，求b 、c 的值．
（2）当b 为非零实数时，()f x 是否存在与直线()
2
10b c x y -++=平行的切线，如果
存在，求出切线的方程，如果不存在，说明理由．
（3）设函数()f x 的导函数为()'f x ，记函数()()'
11f x x -≤≤的最大值为M ，求证
32M ≥．
2018年普通高等学校招生全国统一考试第五次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：
11．12 12．()()2362sin 1
f x x π
=++ 13．1050 14．．（1（2）3 （3）7
三、解答题：
16．解：（1）3()2cos sin()sin )f x x x x x x π
=+-sin 2x x =
2sin(2)3x π
=+，所以T π=………………………（6分）
（2）0,22633x x ππππ-≤≤∴≤+≤，当22332x πππ-≤+≤-，即5212
x ππ
-≤≤-
()f x 递减，所以单调递减区间为5,212ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
………………………（12分）
17．解：（1）设该同学仅获得
900
元奖金的事件为
A ，则
()()8
11
11333381
()1P A =-⋅⋅=………………………（4分） （2）因为该同学已顺利通过第一关，当他通过第二关即可获得3600元奖金，所以他获
得3600元奖金的概率811
339
1P =-⋅=………………………（8分） （3）该同学获得奖金ξ可取的值为0，900，3600
111
339(0)P ξ==⋅=；881(900)P ξ==；88649981
(3600)P ξ==⋅=． 8
64818190036002933
E ξ=⨯+⨯=，该同学获得奖金ξ的数学期望为2933元．…………… （12分）
18．解：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知得D (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，2，0)、C (0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、E (1，0，2 )、F (0，2，1)．
（1）取AD 1中点G ，则G （1，0，1），CG -→
=（1，-2，1），又EF -→
=（-1，2，-1），由EF -→
=-→
-CG ， ∴EF -→与CG -→
共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG ⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. ………………………（6分）
（2）设n (x,y,z)= 面EFB 的一个法向量，由n FE,n FB ⊥⊥ 得321
2x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，故可取
32n (1,,2)
= ，………（8分）取底面ABCD 的一个法向量m (0,0,1)=
，由
m n
cos m,n
m n
⋅
〈〉===
⋅
．…………（12分）
19．（1）解：已知2
n n
S a n
=-①
当2
n≥时，
11
2(1)
n n
S a n
--
=--②
②-①得
1
21
n n
a a
-
=+………………………（2分）
1
12(1)
n n
a a
-
∴+=+又
11
21
a a
=-
1
1
a
∴=12n
n
a
∴+=21
n
n
a
∴=-…（4分）
由于
1
1
a=也适合上式，所以()
21
n
n
a n N+
∴=-∈…………（6分）
（2）点P（
n
b，
1
n
b
+
）在直线20
x y
-+=上，所以
1
2
n n
b b
+
-=，
1
1
b=，所以21
n
b n
=-，
2
n
T n
=．…………（8分）
2
2224
n
n
S n
+
=--2
n
T n n n
+=+当2
n=时，28
n
S=，6
n
T n
+=，
2
n n
S T n
>+．…………（9分）
下证当2
n>时，2
n n
S T n
>+
因为2222
2234(11)34
n n
n n
S T n n n n n
++
>+⇔>++⇔+>++
2
n>
，20122
222
(11)2()58
n
n n n
C C C n n
+
+++
∴+≥++=++
综上可得：当2
n≥时，2
n n
S T n
>+…………（12分）
20．解：(Ⅰ)设椭圆的方程为()
22
22
10
x y
a b
b a
+=>>，
离心率e
，
c
a
=，抛物线2
1
4
y x
=
的焦点为()
0,1
，所以1,1
c a b
===，椭圆C的方程是x2+
2
2
y
=1. …………（4分）(Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+
1
3
)2+y2=
16
9
．
由
22
22
1,
116
(),
39
x y
x y
⎧+=
⎪
⎨
++=
⎪⎩
解得
1,
0.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即两圆相切于点(1，0)．
因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）
事实上，点T(1，0)就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+
1
3
)．
由
2
2
1
(),
3
1.
2
y k x
y
x
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
即(k2+2)x2+
2
3
k2x+
1
9
k2-2=0.
记点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则2122212223,2
12
9.2k x x k k x x k ⎧
-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩
…………（9分）
又因为TA =(x 1-1, y 1), TB
=(x 2-1, y 2), TA ·TB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+13)(x 2+13
)
=(k 2
+1)x 1x 2+(13k 2-1)(x 1+x 2)+19k 2+1
=(k 2
+1) 221292k k -++(13k 2-1) 2
2232k k -++ 219
k +1=0，
所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (1，0)．
所以在坐标平面上存在一个定点T (1，0)满足条件． …………（13分） 21．（1）1,5b c ==-；…………（3分）
（2）假设()f x 图像在x t =处的切线与直线()
2
10b c x y -++=平行，
()'232f t t bt c =++，直线()210b c x y -++=的斜率为2c b -，∴2232t bt c c b ++=-，
即22
320t bt b ++=，()
222438b b b ∆=-=- ，又 0b ≠，∴0∆<．从而
22320t bt b ++=无解，因此不存在t ，使()'2f t c b =-，故()f x 图像不存在与直线
()2
10b
c x y -++=平行的切线．…………（8分）
（3）()2
2
'
333b b f x x c ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭ ，
①若13
b -
>，即3b >或3b <-时，M 应为()'1f -与()'1f 中最大的一个，
()()()()''''21111412M f f f f b ∴≥-+≥--=>，32
6M ∴>>…………（10分） ②若30b -≤≤时， ()()()
2
''''13
2113333b b M f f f f b ⎛⎫
⎛⎫≥-+-≥---=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
32
M ∴≥……（12分）
③若03b <≤时， ()()()
2
''''13
2113333b b M f f f f b ⎛⎫⎛⎫≥+-≥--=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
32
M ∴> 综上，32
M ≥…………（14分） 法二：|(1)||32||(1)|32||(0)|||M f b c M f b c M f c '≥=++⎧⎪
'≥-=-+⎨⎪'≥=⎩
4|(1)||(1)|2|(0)||(1)(1)2(0)|6M f f f f f f ''''''⇒≥+-+≥+--=
3∴M≥
2。