山东阳谷县第五中学2025届高考仿真卷数学试卷含解析

山东阳谷县第五中学2025届高考仿真卷数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
2．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ） A ．
B ．[1,3]
C ．
D ．[3,2]
3．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足
1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．
53
D ．5
4．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
5．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2018
D ．2017
6．已知随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若
212
11
p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<
D ．()()12
E E ξξ>，()()12D D ξξ>
7．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A 5π B 25π
C 45π
D 85π
8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
9．若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=
，则
ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A ．83π
B ．3π
C ．(833)π
D ．(16312)π
11．设0.3
80.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数f （x ）＝x 2﹣xlnx 的图象在x ＝1处的切线方程为_____. 14．()()5
21a b c --的展开式中，32a b c 的系数是______.
15．已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是__．
16．如图，两个同心圆O 的半径分别为2和2，AB 为大圆O 的一条 直径，过点B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为M ，点P 为劣弧BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则()AM
BP CP +的最大值是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，
直线的参数方程为
（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II ）设
，若
，
，
成等比数列，求的值．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的
中点.
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.
19．（12分）已知函数()(1)1x
f x ax e ax =-++，其中e 为自然对数的底数，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y -+=平行，求a 的值； （2）若1
2
a =
，问函数()f x 有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由． 20．（12分）已知AB 是圆O ：2
2
4x y +=的直径，动圆M 过A ，B 两点，且与直线20y +=相切. （1）若直线AB 的方程为0x y -=，求
M 的方程；
（2）在y 轴上是否存在一个定点P ，使得以MP 为直径的圆恰好与x 轴相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数()(
)1e x
f x x a =+-，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a ≥时，证明：()ln 1f x a a a -+≤.
22．（10分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.
（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.
（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率. （i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；
（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数. 【详解】
由三视图还原原几何体如图，
其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形. ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3. 故选：C. 【点睛】
本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题. 2、C 【解析】
试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得
sin 30sin b a θ
=
︒
，所以
sin 2sin sin 30a b θθ=
⨯=︒
，所以02b <≤，故选C ．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质． 3、B 【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】
1221
55
642
F F e PF PF =
=
=--.选B. 【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 4、D 【解析】
利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积． 【详解】
在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得12
.33
AM AB AC =
+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=21221
3347.3332
AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 5、D 【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：2017sin 2018,32S i π
=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52S i π
=+=-==，不满足条件；
第三次：52017sin 2018,72S i π
=+==，不满足条件；
第四次：72018sin 201812017,92S i π
=+=-==，不满足条件；
第五次：92017sin 2018,112S i π
=+==，不满足条件；
第六次：112018sin 201812017,132
S i π
=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ．
6、B 【解析】
根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据
212
11
p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】
因为随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.
所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，
因为
212
11
p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，
由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 7、C 【解析】
设1B B 的中点为H ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM ⊥平面DCH ，这样可以确定动点P 的轨迹，最后求出动点P 的轨迹的长度.
设1B B 的中点为H ，连接,CH DH ，因此有CH BM ⊥，而DC MB ⊥，而,DC CH ⊂平面CDH ，DC
CH C =，
因此有BM ⊥平面DCH ，所以动点P 的轨迹平面DCH 与正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的交线. 正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以内切球O 的半径为1R =，建立如下图所示的以D 为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有(1,1,1),(0,2,0),(2,2,1)O C H ，设平面DCH 的法向量为(,,)m x y z =，所以有
20
0(1,0,2)2200y m DC m DC m x y z m DH m DH ⎧⎧=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨
++=⊥⋅=⎩⎩⎩，因此O 到平面DCH 的距离为：55m OD d m
⋅=
=
，所以截面圆的半径为：22255r R d =-=，因此动点P 的轨迹的长度为45
25
r ππ=. 故选：C
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 8、C 【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 9、D 【解析】
画出可行域,将2z x y =+化为122z
y x =-
+,通过平移12
y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
解:由约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
作出可行域如图,
化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122
z
y x =-+.由图可知 当直线122
z
y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移
y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
10、B 【解析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】
根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，
ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为224S rl ππ==⨯=.
故选:B
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
11、D
【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案.
【详解】 由0.30.310log 4log 13
<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,
0.341>,即1c >,
所以b a c <<.
故选:D.
【点睛】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
12、B
【解析】 分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32
；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.
详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122n n b =⨯. 令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、x ﹣y ＝0.
【解析】
先将x ＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得()2ln 1,(1)1,(1)1f x x x f f ''=--==.
故切线方程为y ﹣1＝x ﹣1，即x ﹣y ＝0.
故答案为：x ﹣y ＝0.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
14、40-
【解析】
先将原式展开成()()5522a b c a b ---，发现()5
2a b -中不含32a b c ，故只研究后面一项即可得解.
【详解】 ()()()()5552122a b c a b c a b --=---，
依题意，只需求()52c a b -⋅-中32a b c 的系数，是()225C 240-⋅-=-.
故答案为：-40
【点睛】
本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.
15、2
【解析】
由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数，
所以20a -=，解得2a =.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
16、8
【解析】
以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，从而可得()2,0A -、()2,0B ，()1,1M ，()0,2C ，然后利用向量数量积的坐标运算可得()12cos 64sin 2AM BP CP θθ+=-+-，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，
建立平面直角坐标系，
则()2,0A -、()2,0B ， 由2,2OB OM ==，且OM BC ⊥，
所以45BOM ∠=，所以()1,1M ，即()3,1AM =
又OM 平分BC ，所以90BOC ∠=，则()0,2C ,
设()2cos ,2sin P θθ，
则()2cos 2,2sin BP θθ=-，()2cos ,2sin 2CP θθ=-，
所以()4cos 2,4sin 2BP CP θθ+=--，
所以()()12cos 64sin 2144168AM BP CP θθθϕ+=-+-=++-
()4108θϕ=+-，sin 1010ϕϕ⎛== ⎝
， 所以()AM BP CP +的最大值是108.
故答案为：4108
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I ），；（II ）.
【解析】
（I ）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II ）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I ）曲线：，两边同时乘以 可得，化简得）； 直线的参数方程为（为参数），可得 x-y=-1，得x-y+1=0；
（II ）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得
即 可得
即
解得 【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）32929
-
. 【解析】
（Ⅰ）由正方形的性质得出AC BD ⊥，由PO ⊥平面ABCD 得出AC PO ⊥，进而可推导出AC ⊥平面PBD ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）取AB 的中点M ，连接OM 、OE ，以OM 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D PE B --的余弦值.
【详解】
（Ⅰ）ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥ OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，
又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）取AB 的中点M ，连接OM 、OE ， ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
在Rt POE ∆中，2OE =，3PE =
，PO ∴=
()2,2,0B ∴、()2,2,0D --
、(P 、()0,2,0E ，
设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-
，(0,2,PE =， 由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=. 设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE =
，(0,2,PE =， 由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得222224020x y y +=⎧⎪⎨-=⎪
⎩，取2y =，得22z
=，2x =-
，得()25,n =-. 329cos ,29
m n
m n m n ⋅∴<>==⋅
， 二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为29-
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19、（1）32
a =
（2）没有，理由见解析 【解析】
（1）求导，研究函数在x=0处的导数，等于切线斜率，即得解；
（2）对f (x )求导，构造()(1)1x g x e x =-+，可证得()(0)0g x g =，得到()0f x '，即得解 【详解】
（1）由题意得()e (1)e x x f x a ax a '=+-+，
∵曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y -+=平行，
∴切线的斜率为(0)12f a a '=-+=，解得32a =
． （2）当12a =时，11()1122x f x x e x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
， 1111()e 1e [e (1)1]2222x x x f x x x '⎛⎫∴=+-+=-+ ⎪⎝⎭
， 设()(1)1x g x e x =-+，则()(1)e x x x g x e x e x '=-+=，
则函数()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，
又函数()(0)0g x g =，
故()0f x '
恒成立，
∴函数()f x 在定义域内单调递增，函数不存在极值点．
【点睛】
本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
20、（1）224x y +=或()()22
4436x y ++-=. （2）存在，()0,1P ； 【解析】
（1）根据动圆M 过A ，B 两点，可得圆心M 在AB 的垂直平分线上，由直线AB 的方程为0x y -=，可知M 在直线y x =-上；设(),M a a -，由动圆M 与直线20y +=相切可得动圆M 的半径为2r a =+；又由2AO =，
MO =及垂径定理即可确定a 的值，进而确定圆M 的方程.
（2）方法一：设(),M x y ，可得圆的半径为2r y =+，根据MO AO ⊥，可得方程为()22242x y y ++=+并化简
可得M 的轨迹方程为24x y =.设()00,P y ，()11,M x y ，可得MP 的中点101,2
2y y x O +⎛⎫' ⎪⎝⎭，进而由两点间距离公式表示出半径，表示出O '到x 轴的距离，代入化简即可求得0y 的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得M
的轨迹方程为24x y =，由抛物线定义可求得11MF y =+，表示出线段MF 的中点O '的坐标，根据O '到x 轴的距
离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.
【详解】
（1）因为M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.
由已知AB 的方程为0x y -=，且A ，B 关于于坐标原点O 对称，
所以M 在直线y x =-上，故可设(),M a a -.
因为M 与直线20y +=相切，所以M 的半径为2r a =+.
由已知得2AO =，MO =
，又MO AO ⊥， 故可得()22242a a +=+，解得0a =或4a =.
故M 的半径2r 或6r =， 所以M 的方程为224x y +=或()()224436x y ++-=.
（2）法一：设(),M x y ，由已知得M 的半径为2r y =+，2AO =.
由于MO AO ⊥，故可得()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹方程为24x y =.
设()00,P y ，()11,M x y ，则得2114x y =，MP 的中点101,22y y x O +⎛⎫' ⎪⎝⎭
，
则以MP 为直径的圆的半径为：
12MP == O '到x 轴的距离为
1010122y y y y +=+，
1012
y y =+，① 化简得011y y y =，即()0110y y -=，
故当01y =时，①式恒成立.
所以存在定点()0,1P ，使得以MP 为直径的圆与x 轴相切.
法二：设(),M x y ，由已知得M 的半径为2r y =+，2AO =.
由于MO AO ⊥，故可得()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹方程为24x y =.
设()11,M x y ，因为抛物线2
4x y =的焦点F 坐标为()0,1， 点M 在抛物线上，所以11MF y =+， 线段MF 的中点O '的坐标为111,2
2x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则O '到x 轴的距离为
112y +， 而11122
y MF +=， 故以MF 为径的圆与x 轴切，
所以当点P 与F 重合时，符合题意，
所以存在定点()0,1P ，使得以MP 为直径的圆与x 轴相切.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.
21、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求导得()1e x f x a ='-，分类讨论0a ≤和0a >，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的()f x 的单调性，得出()f x 在ln x a =-处取得最大值为
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，构造函数()ln 1ln g a a a a a a =---+，利用导数，推出()()11g a g ≤=，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于()()1e x f x x a =+-，得()1e x
f x a ='-， 当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上递增；
当0a >时，由()0f x '=，解得ln x a =-，
若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，
若()ln ,x a ∈-+∞，()0f x '<，
此时()f x 在(),ln a -∞-递增，在()ln ,a -+∞上递减.
（2）由（1）知()f x 在ln x a =-处取得最大值为：
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭
， 设()ln 1ln g a a a a a a =---+，则()11ln g a a a
'=--， 令()11ln h a a a =--，则()2110h a a a
'=-≤， 则()h a 在[)1,+∞单调递减，∴()()10h a h ≤=，
即()0g a '≤，则()g a 在[)1,+∞单调递减
∴()()11g a g ≤=，
∴()ln ln 1f a a a a --+≤，
∴()ln 1f x a a a -+≤.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
22、 (1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】
（1）利用上线人数除以总人数求解；
（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解
【详解】
（1）估计本科上线率为4678560%50
++++=. （2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，
则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.
（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ，
依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .
因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，
所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23
p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为
2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.。