数学概念教学中创设问题情境的类型

数学概念教学中创设问题情境的类型
作者：崔宝蕊
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第04期
【摘要】
数学概念是数学学习的基础，在数学教学中具有关键地位.概念的建立不可能一蹴而就，需要一个心理加工的过程，这就为概念教学带来了困难.情境化的概念教学，为学生学习数学概念提供了缓冲的时间，是一种有效的教学途径.基于曹广福教授《变化率与导数》一课，结合实际教学内容，分析概念教学中创设问题情境的类型.在概念教学中，发现可以创设日常生活问题情境、学科问题情境、数学问题情境.
【关键词】概念教学；问题情境；教学途径
曹广福教授为首届（2003年）百名国家级教学名师之一，于2014年获得首届国家基础教育教学成果二等奖，2015年又成为国家“万人计划”中的百名教学名师中一员.作为国家级教学名师，面向中学生讲授课程是不多见的.曹教授面向中学生所讲的《变化率与导数》一课，采用丰富新颖且多样化的教学内容，以一种利于学生理解的教学方式，成功地突出这一课的重点，并化解难点.
《变化率与导数》一课的内容位于人教版选修教材11和选修22.教材通过实际背景和具体应用的实例，引入导数的概念，借助气球膨胀率、高台跳水等实际问题，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识到瞬时变化率就是导数.然而，由于教材中所选择的实际问题已经渐渐脱离学生的日常生活，教师直接采用教材中的教学内容，往往无法达到预期的教学效果.实际问题的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用.如果所选的实际问题无法引起学生的兴趣，带动学生的思考，就无法使学生理解，甚至阻碍学生的理解，这样的实际问题便形同虚设.曹广福教授以其丰富的学识，以及对导数深刻的认识，采用多样化的教学内容，创设大量的问题情境，巧妙地解释了平均变化率、瞬时变化率、以及导数的思想与内涵.借助问题情境进行概念教学，创造出另一种有效的教学途径.
目前，有关概念教学和问题情境的研究较多，例如，《数学概念教学应该帮助学生形成七种数学观念》[1]提出，数学概念教学要培养学生状态变换观念、本质结构观念、时空坐标观念、依存关系观念、系统集合观念、量化测度观念、无穷逼近和极限观；《GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究——以导数概念为例》[2]基于APOS理论，借助GeoGebra软件设计数学概念教学；《概念多元表征的教学设计对概念学习的影响》[3]指出直接学抽象的数学概念是很困难的，用数学概念的多元表征学习数学概念是一种新理念和策略.《数学“情境——问题”教学对数学探究学习的思考》[4]指出“情境——问题”教学的积极作用；《创设数学问题情境应关注的几个关系》[5]提出创设情境过程中应关注5组关系：形式和内容，预设和生成，同一性与多样性，生活化与数学化，继承和创新；《小学数学教材中情境的
类型及作用与原则》[6]指出小学教材中情境的类型，情境对小学生数学学习的作用，以及情境创设的原则等等.然而，这些研究关注的只是概念教学或问题情境教学的其中之一，本文试图将二者结合，在概念教学中创设问题情境.相关研究[7-10]分别围绕概念教学中创设情境的意义和注意问题；创设情境的主要方式和原则；问题情境与数学概念教学的关系；以及创设数学概念形成问题情境的方法等方面进行了思考，但是对概念教学中，创设问题情境的类型尚未详细介绍.本文以概念教学为背景，基于曹广福教授的《变化率与导数》一课，对问题情境的类型进行初步研究.1日常生活问题情境
曹教授所创设的问题情境可以划分成三种类型.第一种为生活情境，即从日常生活中挖掘问题.数学情境是校外数学走向学校数学的中介[11]，就教学而言，从学生的生活经历出发，依据学生的日常体验发现问题，是一个非常好的教学角度.与生活相关的情境，尤其是学生每天亲身经历的事情，可以减少学生对复杂问题的距离感.在《变化率与导数》的引入过程中，问题1和问题2都与学生的生活息息相关.
问题1
你的朋友从东莞开车去深圳，与此同时，你从广州开车去深圳，理想状态下，速度是均匀的（但是实际上是不可能的，路况比较复杂，一会快，一会慢，因此假设是理想状态，两人匀速）.你花了两个小时十分钟，你的朋友比你提前一个小时到，你能由此断定谁比谁快吗？
交流片段一
师：速度不仅和时间有关，还和距离有关.假设从广州到深圳的距离是s1，从东莞到深圳的距离是s2，你花的时间是t1，你朋友花的时间是t2，在匀速直线运动下，速度分别是多少？
生：v1=s1t1，v2=s2t2.
师：但是实际路况比较复杂，你在不同时段行驶的速度是不同的.假设你在t1时刻到了s1的位置，在t2时刻到了s2的位置，这个时候，你在t1时刻到t2时刻的这个时间段里，你行驶的速度是多少？
生：v=s2-s1t2-t1.
师：这个比值就是你在这个时间段的速度，这个就叫变化率.假如说这个分母实际上正好是单位时间，比如说一小时，一分钟，一秒钟，这个时候比值就是路程的差.所以我们在物理上定义速度的时候，也可以这么讲：在单位时间内，一个物体走过的路程就是速度.但是通常实际问题中，自变量的改变量未必是一个单位，而可能是若干单位，这个时候，在自变量改变的范围内，函数值改变了多少？函数值关于自变量的变化率又应该如何刻画？
师生共同：假设自变量x从x0变到x1，而函数值f（x）从f（x0）变到f（x1），这个时候，比值f（x1）-f（x0）x1-x0就是变化率.
问题2
在一个寒冷的早晨，你爸爸开车送你上学，由于交通拥堵，路况复杂等原因，一路走走停停，好不容易将你按时送到学校，为了报答你爸爸送你上学时的辛苦，请你用数学方法描述一下你爸爸送你上学时的状况.
提示：汽车行走涉及哪些因素？
（1）能不能用牛顿定律描述路程、速度与时间的关系？为什么？
（2）汽车在任意时刻的速度有没有发生变化？假如时间间隔很短，速度的变化会不会很大？如何描述在某个很短的时间间隔内汽车的平均速度？
（3）如何描述汽车在任意时刻的速度？
交流片段二
师：把我们生活中出现的问题，用数学的方法表示出来的同时，要清楚数学上的模型和生活中的问题是有误差的，不是精确的表达方式，是一个大概的表达方式.换句话说，影响你爸开车速度的因素很多，但是真正有关的最主要的因素是什么？
生：速度和时间.
师：比如路变窄，或者有很多车，主要影响的还是你的速度和时间，我们在讨论这类问题的时候，通常是首先假设一个关键的变量，比如说，我们假设路程和时间有关.s=s（t），另外速度是在变的，题目中说的很清楚，由于交通拥堵，一路走走停停，速度是不断变的，速度也和时间有关v=v（t）.实际上，如果速度发生变化，你想想看，这意味着什么？你们学过物理的牛顿三大定律.
生：加速度.
师：实际上还有一个加速度，它和时间有关系a=a（t），所有的这些量都和时间有关，而且随着时间不断变化.我们刚才说，你朋友从东莞到深圳，你从广州到深圳，我们是做了一个假设，你假设在这条路上我是匀速行驶，但实际上是在变的.大家想想看，一开始汽车是静止的，然后你爸开始发动汽车，然后汽车行走，从静止状态到开始行走，这个中间是有加速度的.速度是在变化的，但是这个变化是突然变化吗？还是渐渐变化的？
生：渐渐变化.
师：我们可以用刚才的比值s（t2）-s（t1）t2-t1得到平均速度.现在要想求他在每一时刻的速度是多少？这要怎么算？我们刚刚有一句话很重要，这个速度不管快慢，它是渐渐变化的，就是说，当时间间隔很短时，它的变化会很大吗？
生：不会很大.
师：比如1秒到11秒这个时间段之间，这时速度变化不会很大.就是说，当t2和t1的时间很接近时，这个式子（比值）就非常接近t1时刻的速度.你们觉得这个说的通吗？
生：说的通.
师：这个（式子）称为平均变化率，或者说是时刻t1到时刻t2的平均速度.当时刻t2和时刻t1越来越接近时，在这个小区间上速度的变化就很小，近似为时刻t1的速度，这时就是瞬时速度，或者说是瞬时变化率.那怎么得到最后的精确速度呢？我们暂时不管，至少我们直观上已经了解了平均速度或者平均变化率和瞬时速度或者瞬时变化率之间的关系.
曹教授从日常生活这一角度，引入问题，进行问题情境教学，它包括两个方面.一方面是从日常生活中发现数学问题，利用这种问题，创设问题情境进行教学.另一方面是，把抽象的数学内容，根据教学内容的需要，赋予某种生活含义，从而使所讲内容更有利于学生的理解和接受.
问题1和问题2都是常见的生活问题，情境中主体都是学生.曹教授借助问题1揭示了什么是“变化率”，这是这节课的起点，也是基础部分.而后借助问题2引出平均变化率和瞬时变化率的含义，这两个数学概念是这节课的重点，需要学生的理解和掌握.曹教授在分析问题情境的过程中，没有把具体的数学符号或者概念直接给学生，而是让学生逐步参与进来，不断地去发现概念，接受概念，进而对这两个概念有深刻感知.
同时，这两个问题情境之间也有一定的内在联系.例如，在解释问题2的过程中，借助问题1的情境让学生明白“变化”不仅是突然发生的，也可能是逐步的.同时向学生传递一种辩证法思想，即“变是绝对的，不变是相对的”，万事万物都是在不断变化的.这种思想的渗透使学生更好地接受变化，理解平均变化率和瞬时变化率的含义，为之后导数的学习打下基础.
不难发现，创设日常生活问题情境要结合教学内容的实际需求，不能随意编造，要和学生的真实经历与生活体验相联系.同时，情境之间可以互相映衬，共同解决问题.创设情境的过程中要注意，不要将情境一味的生活化，让情境“喧宾夺主”，从而失去了数学的味道.创设问题情境的目的是理解数学概念，应该以概念为中心，借助生活问题情境开展概念教学.
2 相关学科问题情境
曹教授所创设的第二种问题情境，是从其他相关学科中挖掘问题.研究表明[12]，恰当创设相关学科问题情境，对学生的学习效果有积极影响，在《变化率与导数》的教学过程中，问题3、问题4、问题5都是利用相关学科问题情境，间接化解这节课的教学难点.
问题3
如果大米与水的价格均上涨或下降了，大米与水的需求量将发生什么样的变化？你能粗略模拟出大米和水的需求量与价格的关系曲线吗？它们揭示了什么道理？
提示：人没有了水能不能活？人没有了大米能不能活？
交流片段三
师：人没有了水能不能活？
生：不能.
师：可是人没有了大米呢？
生：能.
师：为什么？
生：可以吃面粉、肉、玉米等等.
师：大米有许多替代产品，但是没有水就无法生存.有人说喝牛奶，但是牛奶也是由水构成.那么我们能够得到什么？显然，需求量和价格之间是有关系的，比如说价格上升，那么我们就节俭一点，假如价格下降，我们可能就会浪费.但是有一点是肯定的，人没有了水会不能活，你每天对水的最低需求量是一定的，假如水的价格上升，人对水的最低需求量会变少吗？
生：不会.
师：对水的需求量有一个最低限，价格再高，对水的需求量也不能减少.假设价格是P，这个P通常是离散的，我们现实生活中，通常是卖多少块一斤，不可能是一个连续不变的量.但是大家要注意，如果你今后从事经济学研究的话，经济学出现的东西很多是离散的.一般都是按一天算，一个小时算，或者是一个月算，一年算.GDP就是这么算的.但是我们利用数学来研究经济学问题的时候，你是可以用连续函数来研究的.现在我们假设价格是P，这个P是可以连续变化的，假定它的需求量是Q，那么P和Q之间有一个函数关系Q=Q（P）.现在我们假设Q1是水，Q2是大米，它们都是价格的函数，则有Q1=Q（P1），Q2=Q（P2）.根据我们刚才的分析，大米的价格曲线和水的价格曲线相比会是什么样子的？粗略地把他们模拟出来.
生：尝试画出粗略的函数图像.
师：进行引导.当价格是P1时，有一个需求量Q（P1），当价格是P2的时候，也有一个需求量Q（P2），在这个价格变化范围内，变化有多大？Q（P2）-Q（P1）P2-P1是水的需求变化大还是大米的需求变化大？
生：Q水（P2）-Q水（P1）P2-P1
师：这个比率在经济学中非常重要，它叫敏感度.什么叫敏感度？就是需求量关于价格的敏感程度的大小.从这个式子可以看出，水相对大米来说，价格是不敏感的，价格提的再高，最终还是要有这么多的需求量.但是大米相对于水来说是比较敏感的.这揭示了一个什么样的道理？水是一个不可替代的生活必需品，这样的商品是不可以市场化的，必须由政府调控，而大米是可以有替代品的，它的价格弹性很大，敏感度相对很高，所以它可以市场化.
问题4
牛顿当年在干什么？
众所周知，牛顿发明了三大定律，你是否知道牛顿处理的非匀速运动？苹果砸在牛顿的头上让牛顿领悟到了什么？他得到了什么重要公式？
交流片段四
师：大家都知道，牛顿发明了三大定律.你在物理上学过的都是匀速运动，还有加速度是一定的常加速运动，只有这两种情况.但实际上，自然界的运动中，速度都是在逐渐变化的，而实际上，牛顿所研究的是非匀速运动.好，那么苹果砸到牛顿的头上，牛顿领悟到了什么？苹果为什么不往上掉呢？
生：万有引力.
师：他得到了万有引力.他是怎么发现这个公式的？他得益于谁的工作？
生：伽利略.
师：对，伽利略.苹果从苹果树上落下来，它是什么运动？
生：自由落体.
师：这与伽利略的自由落体有关：H=12gt2.伽利略做实验，使用两个质量不同的铁球，然后从同一高处放下，如果是同时放下，一定是同时落地，和它们的质量没有关系.当然我们都知道，如果是纸片的话就有问题了，纸片为什么不能同时落地呢？
生：空气阻力.
师：因为有空气阻力.现在大家想想看，那如果落到牛顿头上的不是苹果，而是伽利略实验的铁球，结果如何？有同学说铁球太重，如果铁球比苹果重十倍，但是从头上方很低的地方落下去，也不会把牛顿砸死.这跟什么有关系？
生：高度.
师：跟高度有关系.为什么铁球从很高的地方落下来后，有可能会把牛顿砸死？如果球或者苹果足够高的话，它落下来，越接近地面，速度会怎么样？
生：越大.
师：速度会产生什么？动量，也可以叫冲量.动量越大，对你的冲击力越大，最终取决于速度.所以说为什么铁球落到牛顿头上会把牛顿砸死，因为铁球落得位置比较高，落到地面上时速度比较快.现在已经知道了高度的公式，那么在时刻t的速度是多少呢？我们根据下一个问题算一算.
问题5
假设伽利略的铁球从50米高的天台上落下，请问在铁球下落一秒时距离地面还有多高？这个时刻的速度是多少？下落两秒时情况如何？这时的速度会发生变化吗？
交流片段五
H=12gt2，g=9.8，t=1，则1秒时的高度为H1=50-H（1）=50-12g.这个时候的速度是多少呢？据我们刚才的分析，他从1s再往下落，如果时间间隔很短，比如说在1s与在10001s，这两个时刻的速度则差别不大.现在令t0=1，
在t0到t这个时刻，物体分别下落H（t），H（t0）.自由落体的平均速度是多少？
生：H（t）-H（t0）t-t0.
师：如果t和t0接近，那么这个速度就是瞬时速度.这个结论很重要，用极限来表示接近，极限用英文字母前三位lim表示，记为limt→t0H（t）-H（t0）t-t0，即当t和t0接近时，这个速度就是瞬时速度.现在我们把时间带入，就能得到1秒时自由落体的速度：limt→1H （t）-H（1）t-1=limt→112g t2-12gt-1=limt→112gt2-1t-1=limt→112g（t+1）=g.在2s的时候，算法是一样的：limt→212g（t+2）=2g.我们化成一般情况，则在时刻t0的速度为gt0.这和我们物理上学过的是不是一样的？就是说自由落体是匀加速运动.这是我们数学上推导出来的，但是和物理上的结果一样，这个就叫瞬时变化率.如果我们讨论一般的数学函数，瞬时变化率是什么？
PPT：假设函数y=f（x）定义在区间[a，b]内，x0是区间内的一点，y=f（x）在x0处的瞬时变化率为limx→x0f（x）-f（x0）x-x0.
师：书上用简略符号代替，Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），当x→x0时，它的差Δx就趋向于0.这个极限就是f（x）在点x0处的导数，就是所谓的瞬时变化率.它由平均变化率取极限得来.
曹教授借助问题3，看似创设了一个与生活相关的问题情境，但实际上与简单的经济学内容相联系，利用数学式子，解释了一个经济学道理.使得日常生活、数学、经济学这三者融为一体.同时让学生模拟画出这种“变化”的函数图像，揭示了一个思想，即“函数与我们的生活同在”，设计的非常巧妙.
问题4和问题5都围绕着物理情境展开，其中问题4可以说是问题5的一个铺垫.问题4创设了一个物理背景，先简单解释物理学中的一个基本内容，并对物理知识进行简单的回顾和联想.最后使学生发现，可以利用数学运算，推导出物理公式，验证了学生已有认知结构中的物理知识，揭示学科之间的相互贯通的思想.最终回归到这节课的教学重点和难点上，明确指出瞬时变化率和导数的概念，同时揭示平均变化率、瞬时变化率、导数这三者之间的关系.
相关学科的问题情境不仅利于学生进行数学模式抽象，而且对数学的应用提供了具体的背景.[13]恰当创设这三个问题情境，利用学生认知结构中的其他学科知识，也可以带动学生的思考和学习数学.以其他相关学科问题为背景，有助于培养学生的发散性思维，开拓学生的视野，提高学生思考的深度与广度.从本节课的数学教学中，插入了物理学和经济学内容，发现可以利用数学去推导这两门学科的学科知识.经过归纳、类比，除了这两门学科，数学与其他相关学科也具有一定的联系.然而，在创设这种问题情境之前，要充分分析学情，不仅分析学生对数学学科的学习情况，还要了解他们对其他学科的学习内容与学习程度，从而与学生已有认知结构中的内容建立联系.3数学问题情境
创设问题情境不能忽略数学的本质，过度“生活化”或者“兴趣化”，大幅度的去掉“数学化”.这样的问题情境不但不会促进学生对新概念的学习，还会造成学生的认知负荷，对学习内容的接受发生阻碍.为了进一步强化学生对三个数学概念的理解，即平均变化率、瞬时变化率以及导数的理解.曹教授创设的最后一个问题情境是数学自身情境，即与数学相关，回归数学的本质，以数学为核心强化对概念的理解，同时规范数学的表达方式.
问题6
你能不能通过函数图像，分析一下函数在一点的变化率是什么？瞬时变化率是什么？用图像说明.
交流片段六
师：这是一道课后思考题.建议大家不要直接看书，要在看书之前，先自己分析这个问题.实际上，第一个问题已经帮大家分析过了，就是我们刚才经济问题中画的图，一个水的需求量与价格的变化曲线，还有一个大米的需求量与价格的变化曲线，那么变化率和瞬时变化率在这两个曲线当中分别意味着什么？你能不能自己去把他画出来？留做课后思考.
对概念的感性认识还不足以形成概念，要在感性认识的基础上反复经过比较、分析、综合、概括、抽象、判断和推理等一系列思维活动，在逐步认识到事物的本质和内部联系的基础上，才能形成概念[14].在概念教学中，创设情境不是教学的目的，而是教学的工具，不是为了情境而创设情境，而是为了理解概念而创设情境.对概念的学习，最终还要回归到数学的本
质，利用数学的严谨性，简洁性等特点，表达概念，应用概念，建立概念间的联系.
利用问题情境进行概念教学，不是问题、情境、概念三者之间的简单叠加，也不是利用情境引出概念后，单独进行概念学习.而是把概念融入于情境中，在情境中揭示概念的含义.好的问题情境要有始有终，要与教学内容息息相关.在解决问题时，不仅仅要思考问题，还要考虑到问题的实际背景，这样设置的情境才有意义.这节课的特别之处就是问题情境，曹教授以其丰富的学识创设了大量的问题情境，并且情境的类型丰富，都具有一定的代表性，贯穿于整节课的教学中.4启示
基于曹广福教授的《变化率与导数》一课，发现了创设问题情境的重要性，同时也意识到，可以利用多种问题情境进行概念教学，把情景教学和概念教学相融合，并进一步得到以下启示.
4.1教师可以利用问题情境进行概念教学
任何学科的学习，就其实质而言，一般都存在着一个思维方式的建构或转变的问题，而概念则是思维方式建构或转变的基石[15].数学概念是学习数学的基础，概念的重要性影响概念教学的难度，选取恰当的教学方法进行概念教学，对学生概念的理解、掌握与应用，有着一定的积极作用.以《变化率与导数》一课为例，在进行概念教学的过程中，利用问题情境去解释数
学概念，先使学生感受到概念的基本内容，而后使学生理解概念的含义.
数学源于生活，数学教学离不开学生生活实际[16]，基于日常的生活经验，综合的学科知识，扎实的专业功底等等，围绕数学教学内容，恰当地创造数学问题情境，有助于促进学生对数学知识的理解.学生对数学概念的学习，不是孤立的对概念的认知和记忆，需要经历一个过程.斯法德（Sfard）[17]的概念二重性指出，概念具有过程性和对象性，并且进一步研究表明，概念的获得有先后次序，形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程.这就要求教师在讲解数学概念时，不能把概念内容直接扔给学生，然后让学生接收，而需要以一种缓慢的进程，逐步的带领学生去发现数学概念，从而达到对概念的理解和掌握.而在问题情境的背景下，会经历体会情境、分析情境、解决问题等阶段，这恰恰提供了一个缓冲过程，为理解概念提供时间和空间.把概念放在情境中，利用问题情境进行概念教学，不失为一种良
好的教学方法.。