安徽省池州市青阳县第一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及解析

安徽省池州市青阳县第一中学2019-2020学年高一上学期期中
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
5，6，7，8}，集合A ={1，3，5}，B ={5，6，7，8}，则A ∩（∁U B ）=（ ）
A. {1,3}
B. {1,5}
C. {3,5}
D. {1,3，5} 2.已知：如图，集合
为全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. ∁U (A ∩B)∩C
B. ∁U (B ∩C)∩A
C. A ∩∁U
D. ∁U (A ∪B)∩C
3.函数f （x ）=
√x+3+ln(1−x)
x+3
的定义域为（ ）
A. [−3,1)
B. [−3,1]
C. (−3,1)
D. (−3,1] 4.下列表示正确的个数是（ ）
（１）{}{}210
0;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨
-=⎩；（４）若A B ⊆则A B A =
A.０
B.１
C.２
D.３
5.设()()1
21,1x f x x x <<=-≥,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6.函数()|lg(2)|f x x =-的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知集合A ={x |x 2-3|x |+2=0}，集合B 满足A ∪B ={-2，-l ，1，2}，则满足条件的集合B 的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
8.已知函数f （x ）=2x -P •2-x ，则下列结论正确的是（ ） A. P =1，f(x)为奇函数且为R 上的减函数 B. P =−1，f(x)为偶函数且为R 上的减函数 C. P =1，f(x)为奇函数且为R 上的增函数 D. P
=−1，f(x)为偶函数且为R 上的增函数
9.若实数a ，b 满足log a 2<log b 2，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（ ） A.0
<b <a <1 B.0<a <1<b C.a >b >1 D.0<b <1<a
10.已知函数()x
f x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =
（ ）
B.
14
C.
1
16
D.
1
4
或4 11.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其与函数y =log 12
x 有相同的单调性，且f （2）=-1，若-l ≤f （3a -2）≤1，则实数a 的取值范围为（ ） A. (−∞,0)∪[43,+∞) B. (−∞,0)∪[1
3
,+∞)
C. [0,
13
] D. [0,43
]
12.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若()1,{
0,R x Q f x x C Q
∈=∈，则称()f x 为
狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对任意x R ∈，都有
()1f f x ⎡⎤=⎣⎦；②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈， ()()121f x x f x +=；④对任意(),,0a b ∈-∞，都有
(){}(){}
x
f x a x f x b =．其中所有真命题的序号是（ ）
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
13.计算：
13
021lg8lg25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
__________．
14.已知函数()()[]
2
213,1,4f x x a x x =--+∈图像上任意两点连线都与x 轴不平行，则实数a 的取值范围是__________．
15.如图，矩形ABCD 关于x 轴对称，其三个顶点A,B,C 恰好分别落在函数y
=2x 、y =
√x 、y =log 12
x 的图像上，若点A 的横坐标大于1，则点D 的坐标为_______.
16.已知函数3()ln(33f x x x =++，则()()()()
3336log log 6log log 3f f +的值为________.
三、解答题（题型注释）
17.已知集合()0
{|3}A x y x ==-，集合{|014}B x x =≤-≤，集合
{|14,}C x m x m m R =-<<∈ . (1)求集合,A B A B ⋂⋃；
(2)若B C ⊆,求实数m 的取值范围.
18.已知函数()2
221
x f x x =+．
（1）求()122f f ⎛⎫+
⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值； （2）求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
是定值；
（3）求1
11
23201923
2019
f f f f f f f
+++++++（
1）（）（）（）（）（）（）的值． 19.已知函数
()12
()log 21x
f x =-. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；
（2）解方程
()()
2
112
2
log 21log 243x x +---=.
20.已知奇函数f （x ）=a -
2
e x +1
（a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （1）判定并证明f （x ）的单调性；
（2）若对任意实数x ，f （x ）＞m 2-4m +2恒成立，求实数m 的取值范围．
21.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()g x 是定义在R 上恒不为0的偶函数.记
()()()
f x h x
g x =
.
(1)判断函数()h x 的奇偶性；
(2)若()()3x
f x
g x +=，试求函数()
h x 的值域.
22.定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有
|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知
函数1112()1,()2412x x
x x
m f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭
. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式.
参考答案
1.A
【解析】1.
根据交集与补集的定义，计算即可．
全集U={1，2，3，5，6，7，8}，A={1，3，5}，B={5，6，7，8）， 则∁U B={1，2，3}， ∴A∩（∁U B ）={1，3}． 故选：A ．
2.C
【解析】2.图中阴影部分表示的集合是集合A 中的元素但是不包括集合B,C 中的元素， 所以为A ∩C U (B ∪C). 故选C. 3.C
【解析】3.
根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
要使函数f （x ）有意义，需满足{x +3≥0
1−x >0x +3≠0
，解得–3<x<1，∴f（x ）的定义域为（–3，
1）． 故选C ． 4.D
【解析】4.
选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若A B ⊆则A B A =正确.
5.C
【解析】5.由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所
以01a <<,由()()+1f a f a =得
()211a =+-,解得1
4
a =
,则()()142416f f a ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
,故选C. 6.A
【解析】6.
根据()|lg(2)|f x x =-与()|lg()|g x x =图像的对称性，结合()|lg()|g x x =的图像，判断出()|lg(2)|f x x =-的图像.
()|lg(2)|f x x =-的图像可以看作是由()|lg()|g x x =的图像关于直线1x =对称.()g x 的
图像如下图所示，故()f x 的图像为A 选项. 故选A.
7.C
【解析】7.
先求解集合A,再由A ∪B=A ，得B ⊆A ，利用自己个数的求解公式即可得解. 由x 2-3|x |+2=0，解得|x |=1或2，A={-2，-1，1，2}； ∵A ∪B={-2，-1，1，2}=A ； ∴B ⊆A ；
∵A 子集的个数为：2
4
=16；
∴满足条件的集合B 的个数为16． 故选：C ． 8.C
【解析】8.
根据函数奇偶性的定义可判定f （x ）的奇偶性，根据增函数减去减函数还是增函数可得结论．
解：当P=1时，f （x ）=2x -2-x ，定义域为R 且f （-x ）=2-x -2x =-f （x ） ∴f （x ）为奇函数
∵2x 是R 上的增函数，2-x 是R 的减函数
∴f （x ）=2x -2-x 为R 上的增函数，故选项C 正确；
当P=1时，f （x ）=2x +2-x ，定义域为R 且f （-x ）=2-x +2x =f （x ） ∴f （x ）为偶函数，
根据1＜2，f （1）＜f （2）则f （x ）在R 上不是减函数； 根据-2＜-1，f （-2）＞f （-1）则f （x ）在R 上不是增函数； 故选项B 、D 不正确 故选：C ． 9.D
【解析】9.
根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案． 根据题意，实数a ，b 满足log a 2<log b 2， 对于A ，若a ，b 均大于0小于1，依题意，必有0<b <a <1，故A 有可能成立；
对于B ，若log b 2>0>log a 2，则有0
<a <1<b ，故B 有可能成立；
对于C ，若a ，b 均大于1，由log a 2<log b 2，知必有a >b >1，故C 有可能成立；
对于D ，当0<b <1<a 时，log a 2>0，log b 2<0，log a 2<log b 2不能成立，
故选：D ． 10.C
【解析】10.
对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a m
a m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =
01a <<时，22m m
a m a m ⎧=⎨=⎩
，所以12m
a =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a =故选C. 11.D
【解析】11.
利用奇偶性和单调性解不等式．
因为y=log 12
x 是（0，∞）上的减函数，所以f （x ）是定义在R 上的减函数，
又f （2）=−1，所以f （−2）=−f （2）=1，
所以-1≤f （3a-2）≤1，等价于f （2）≤f （3a-2）≤f （-2），
所以2≥3a -2≥-2， 解得：0
≤a ≤4
3
，
故选：D ．
12.D
【解析】12.①当x∈Q，则f （x ）=1，f （1）=1，则[f （x ）]=1，当x 为无理数时，则f （x ）=0，f （0）=1，则[f （x ）]=1，即对任意x∈R，都有f[f （x ）]=1，故①正确，②当x∈Q，则-x∈Q，则f （-x ）=1，f （x ）=1，此时f （-x ）=f （x ），当x 为无理数时，则-x 是无理数，则f （-x ）=0，f （x ）=0，此时f （-x ）=f （x ），即恒有f （-x ）=f （x ），即函数f （x ）是偶函数，故②错误，③当1x 是无理数时， 12x x +是无理数，所以
()()121f x x f x +=，当1x 是有理数时， 12x x +是有理数，所以()()121f x x f x +=，故
③正确，④∵f （x ）≥0恒成立，∴对任意a ，b∈（-∞，0），都有{|}{|}x f x a x f x b R ==（）＞（）＞ ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D. 13.4 【解析】13.原式
()1333221lg21lg52lg2132lg52lg2lg52433⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫
=
-++=-++=++= ⎪⎝⎭
故答案为4 14.32a ≤或92
a ≥
【解析】14.由题意可知函数()f x 在[]
1,4上是单调函数，所以轴
2112a -≤或21
42
a -≥ 解得32a ≤或9
2
a ≥ 故答案为32a ≤或9
2
a ≥
15.(2,−4)
【解析】15.
设出点A （m,2m
）, 矩形ABCD 及三个顶点A,B,C 所在的函数方程即可得到关于m 的方程即可求得点D 的坐标. 顶点A 在函数y
=2x 上，设出点A （m,2m ），根据B,C 恰好分别落在函数y =√x 、
y =log 12
x 的图像上，则可得点B （2
2m
，2m
），点C （22m ，−2m ）,则点D （m ，
−2m ），因为矩形ABCD 关于x 轴对称，所以2m =2m ，又点A 的横坐标大于1，所以m >1,故m=2,所以点D （2，-4）.故答案为（2，-4）.
16.6
【解析】16.
判断出3()ln(3g x x x =+是奇函数，结合()()0g x g x -+=，求得
()()()()3336log log 6log log 3f f +的值.
令3()ln(3g x x x =+，(
))
3
ln
3g x x x -=
-()33ln(3x x g x x ++⎡⎤=-=-=-⎣⎦
所以3
()ln(3g x x x =+是奇函数，而3
61
log 6log 3=，所以()33log log 6与()()363
3331
log log 3log log log 6log 6
==-互为相反数，所以，()()()()3336log log 6log log 36f f +=.
故答案为：6.
17.(1) [)][()
2335,1A B A B ⋂=⋃⋃=+∞，，， (2) 5
24
m <<
【解析】17.试题分析：（1）解出集合[)()[]
233,,1,5A B =⋃+∞=，，根据交集并集的运算可得解（2）B C ⊆则限制集合B 与C 的左右端点的大小关系即得解，注意对应的端点是否能相等的问题 试题解析： （
1
）
由
20
{
30
x x -≥-≠得
[)()[]
233,,1,5A B =⋃+∞=，，所以
[)][()2335,1A B A B ⋂=⋃⋃=+∞，，，；
（2）由B C ⊆知11{
45m m -<>，所以5
24
m <<.
18.（1）2，2；（2）见证明；（3）4037.
【解析】18.
（1）利用函数的解析式，通过23x =，，分别求解1
22f f （
）（）+，133
f f +（）（）的值；（2）利用函数的解析式化简1
f x f x +（）（），即可证明1f x f x
+（）（）是定值；（3）利用
（2）的结论分组，即可求解
11
1
123201923
2009
f f f f f f f
+++++
++（）（）（）（）（）（）（）的值．
（1）函数()2
221
x f x x =+．
2x =时，()1
18
2f 221251
4
f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭+，()1
21299f 3213911
9
f ⨯
⨯⎛⎫+
=+
= ⎪+⎝⎭+． （2）因为()222f 1x x x =+，2
221212
f 111x x x x ⎛⎫ ⎪
⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
所以1f(x)+f 2x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． （3）1
11
123201923
2009
f f f f f f f
+++++++（）
（）（）（）（）（）（） 1201824037f =+⨯=（）．
19.（1） 01x << ；（2） ∅.
【解析】19.
（1）令()0f x >，根据对数函数的性质进行化简，结合指数函数单调性，求得实数x 的取值范围；
（2）利用对数运算公式化简方程的左边，由此判断方程解集为空集. （1）因为(
)
12
log 210x
->，所以0211x <-<，
即122x <<，所以01x <<；
（2）原方程可化为()()1122log 21log 21223x x
⎡⎤----=≠⎢⎥⎣⎦
，故原方程的解集为∅. 20.（1）R 上的递增函数，证明见解析；（2）[1,3].
【解析】20.
（1）用单调性定义证明；
（2）先用奇函数性质求出a=1，再根据单调性求出函数最值，最后用最值使不等式成立即可．
解：（1）f （x ）是R 上的单调递增函数．
证明：因f （x ）的定义域为R ，任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2．
则f （x 2）-f （x 1）=2e x +1-2e x +1=2(e x 1−e x 2)(e x +1)(e x +1)
． ∵y =e x 为增函数，∴e x 1＞e x 2＞0，∴e x 1+1＞0，e x 2+1＞0．
∴f （x 2）-f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），
故f （x ）是R 上的递增函数．
（2）∵f （x ）为奇函数，∴f （-x ）=-f （x ），
∴a -2e −x +1=-a +2e x +1，∴2a =2，∴a =1，
∴f （x ）=1-2e x +1，
令t =e x +1，∵e x ＞0，∴t ＞1，
又g （t ）=1-2t 在（1，+∞）上为增函数，
∴-1＜g （t ）＜1，即-1＜f （x ）＜1，
当f （x ）＞m 2-4m +2对任意实数x 恒成立，
有m 2-4m +2≤-1，即m 2-4m +3≤0，
∴1≤m ≤3，
故实数m 的取值范围是[1，3]．
21.(1) 奇函数; (2) ()1,1y ∈-
【解析】21.试题分析：（1）根据奇偶性的定义可得()()()(),f x f x g x g x -=--=.所以()()
()()
()
()f x f x h x h x g x g x --==-=--可得()h x 是奇函数. （2）()()3x f x g x +=①()()3x f x g x -∴-+-=，即()()3x f x g x --+=②联立①②解得
()()3333,22x x x x f x g x ---+==， ()33913391
x x x x x x h x ----∴==++， 反解出1901x y y
+=>-得11y -<<即得解. 试题解析：
（1）由函数()f x 是R 上的奇函数， ()g x 是R 上的偶函数知： ()()()(),f x f x g x g x -=--=.
所以()()()()()()f x f x h x h x g x g x --=
=-=--所以()h x 是奇函数. （2）()()3x f x g x +=①
()()3x f x g x -∴-+-=，即()()3x f x g x --+=②
联立①②解得()()3333,22x x x x f x g x ---+==， ()33913391
x x x x x x h x ----∴==++， 由9191x x y -=+，则1901x y y
+=>-，所以11y -<<，即()1,1y ∈-.
22.（1）见解析；（2）51a -≤≤；（3
）1,012()12,122m m m T m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩
.
【解析】22.
（1）通过判断函数()y f x =的单调性，求出()y f x =的值域，进而可判断()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数；
（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数a 的取值范围；
（3）通过分离常数法求()y g x =的值域，利用新定义进而求得()T m 的解析式。

（1）当1a =时，11()124x x f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由于()f x 在(,0)-∞上递减， ∴()(0)3,f x f >=∴函数()y f x =在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞，故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立，∴函数()y f x =在(,0)-∞上不是有界函数
（2）()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，即|()|3f x ≤，令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1131324x x a ⎛⎫⎛⎫-≤+⋅+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即2313,01at t t -≤++≤<< 由213at t ++≤得2(01)a t t t ≤
-<<， 令2()(01)h t t t t
=-<<，()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h t h >= 由213at t ++≥-得4(01)a t t t ⎛⎫≥-+<< ⎪⎝⎭
， 令4()(01)h t t t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭
，()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)5h t h <=- 所以51a -≤≤；
（3）122()1,0,01,()1221
x x x m g x m x g x m m -⋅==->≤≤∴+⋅⋅+在[]0,1上递减， (1)()(0)g g x g ∴≤≤，即121()121m m g x m m
--≤≤++，
当112
1|2
m m
m m
--
≥
++
时，即当0m
<≤时，
1
|()|
1
m
g x
m
-
≤
+
当112
1|2
m m
m m
--
<
++
时，即当m>时，
12
|()|
12
m
g x
m
-
≤
+
∴
1
,0
1
()
12
,
122
m
m
m
T m
m
m
m
⎧-
<≤
⎪
+
⎪
=⎨
-
⎪>
⎪+
⎩
.。