几何中的蝴蝶定理
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例2、有一个三角形 的面积为1，如图，且 ， ， ，求三角形 的面积.
例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE= AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.
例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？
8、已知 中， ， 的面积是 ， 是 上任意一点， 到 , 的距离是 ，那么 ；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。
如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且
， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？
6、如右图， 是梯形， 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
三、练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm ，△CED的面积是6cm 。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为（a+b）2
模型四：相似三角形性质
① ;
②S1︰S2=a2︰A2
二、例题分析
例1、如图， ， ，已知阴影部分面积为 平方厘米， 的面积是多少平方厘米？
例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
几何之蝴蝶定理
一、基本知识点
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2=a︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =
模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 的面积比 的面积大6平方厘米。
例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE= AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.
例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？
8、已知 中， ， 的面积是 ， 是 上任意一点， 到 , 的距离是 ，那么 ；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。
如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且
， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？
6、如右图， 是梯形， 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
三、练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm ，△CED的面积是6cm 。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为（a+b）2
模型四：相似三角形性质
① ;
②S1︰S2=a2︰A2
二、例题分析
例1、如图， ， ，已知阴影部分面积为 平方厘米， 的面积是多少平方厘米？
例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
几何之蝴蝶定理
一、基本知识点
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2=a︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =
模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 的面积比 的面积大6平方厘米。