2021-2022学年四川省成都市双流区高一(下)期末数学试卷含答案

2021-2022学年四川省成都市双流区高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设平面向量，点A（﹣1，2），则点B的坐标为（）
A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣4，8）D．（4，﹣8）
2．（5分）不等式＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
3．（5分）cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）等于（）
A．cos（2α﹣β）B．cos（α﹣2β）C．cosβD．﹣cosβ
4．（5分）若某圆锥的母线长3，底面周长为2π，则该圆锥的体积为（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠D＝120°，则•＝（）
A．6B．C．2D．
6．（5分）若等比数列{a n}中a6＝，则该数列前11项的乘积为（）
A．32B．C．16D．
7．（5分）已知某多面体的三视图均是边长为正方形，若该多面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A．B．12πC．9πD．36π
8．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，已知向量＝（a n+1，S n），＝（1，2），若a1＝2，且，则对于任意的n∈N*，下列结论正确的是（）
A．a n+1＝﹣a n B．2a n+1＝3a n C．S n+1＝S n D．2S n+1＝3S n
9．（5分）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同．晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始．二十四节气及晷长变化如图2所示．已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（）
A．14.5B．13.5C．12.5D．11.5
10．（5分）在底面为等边三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AB＝2，AA1＝4，D是棱CC1的中点，M是四边形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面ABD，则线段C1M长的最小值为（）A．B．2C．D．
11．（5分）已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+2y+3z＝2，则xy+（x+y+z）z的最大值为（）A．3B．C．D．
12．（5分）设O为△ABC的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为：（）
①；
②；
③∠A＝2∠C．
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．）
13．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝﹣2，a5﹣a2＝9，则该数列前6项的和为．
14．（5分）测量某建筑AB的高时，可以选取与其底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图所示，现测得∠CBD＝45°，∠BDC＝60°，∠ACB＝30°，CD＝100m，则建筑物AB的高为m．
15．（5分）已知3sin2α＝2tanα，则cos2α的值为．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BC，CC1的中点，G是棱AB上一点，
且AG＝2GB．过G，E，F三点的平面截该正方体所得截面为边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知，，求的值．
18．（12分）已知向量，，与垂直．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求向量与夹角的余弦值．
19．（12分）设函数f（x）＝（x﹣3）（x﹣a），a∈R．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）当x∈（3，+∞）时，不等式f（x）≥﹣9恒成立，求a的取值范围．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上，求角A；
①2a cos C＝2b﹣c；②；③．
（注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．）
（Ⅱ）若△ABC的面积为，其内切圆的半径为，求a的值．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，P A ＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．
（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．
22．（12分）对于数列{c n}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则{c n}叫做类等差数列，c1叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差．
（Ⅰ）若类等差数列{c n}满足c n﹣c n﹣1＜d（n≥2，n∈N*），请类比等差数列的通项公式，写出数列{c n}的通项不等式（不必证明）；
（Ⅱ）若数列{a n}中，a1＝，a n+1＝a n﹣2a n2．
（i）判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（ii）记数列{a n2}的前n项和为S n，证明：．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的．）
1．B；2．D；3．C；4．A；5．A；6．B；7．C；8．D；9．B；10．D；11．C；12．A；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．）
13．33；14．50；15．1，﹣．；16．五；；
三、解答题（本大题共6小题，共70分．除第17题的满分为10分外，其余每个题的满分均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知，，求的值．
【解答】解：因为，，
所以cosα＝＝，则tanα＝，
所以tan2α＝＝＝，
所以tan（2）＝＝＝．
18．（12分）已知向量，，与垂直．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求向量与夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）因为与垂直，
所以（）•（）＝0，即+•﹣2＝0，
又，，
所以1+﹣2＝0，解得＝．
（Ⅱ）•（）＝•﹣＝﹣＝﹣，
|+|＝＝＝＝，
设向量与夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．
故向量与夹角的余弦值为﹣．
19．（12分）设函数f（x）＝（x﹣3）（x﹣a），a∈R．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）当x∈（3，+∞）时，不等式f（x）≥﹣9恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）令f（x）＝（x﹣3）（x﹣a）＝0，得x1＝a，x2＝3，
当a＜3时，f（x）＜0的解集为（a，3）；
当a＝3时，f（x）＜0的解集为∅；
当a＞3时，f（x）＜0的解集为（3，a）；
（Ⅱ）由f（x）≥﹣9可得：x2﹣（a+3）x+3a+9≥0，即有x2﹣3x+9≥（x﹣3）a，
所以有x2﹣3x+9≥（x﹣3）a在x∈（3，+∞）上恒成立，
即（x﹣3）a≤x2﹣3x+9＝（x﹣3）2+3（x﹣3）+9在x∈（3，+∞）上恒成立，
所以a≤（x﹣3）++3，
又因为（x﹣3）++3≥2+3＝9，
当且仅当x﹣3＝，即x＝6时，等号成立．
所以a的范围为（﹣∞，9]．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）在下列三个条件中任选一个作为已知，将序号填在横线上①，求角A；
①2a cos C＝2b﹣c；②；③．
（注：若选多个条件分别解答，按第一个解答给分．）
（Ⅱ）若△ABC的面积为，其内切圆的半径为，求a的值．
【解答】解：（I）若选①：2a cos C＝2b﹣c，则由正弦定理，得2sin A cos C＝2sin（A+C）﹣sin C，即2sin C cos A﹣sin C＝0，
∵sin C≠0，0＜A＜π，
∴cos A＝，
则A＝．
若选②：，得sin B＝sin A cos C＝sin C sin A，
∴sin（A+C）＝sin A cos C＝sin C sin A，∴cos A sin C＝sin C sin A，
∴tan A＝，∵0＜A＜π，
∴A＝．
若选③：．∴sin A sin C＝sin C sin（﹣），
∴2sin cos＝cos，∴sin＝，∴＝，∴A＝．
（II），∴△ABC的面积为，其内切圆的半径为，∴（a+b+c）•＝8，a+b+c＝24，又cb sin A＝8，∴bc＝32，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝（24﹣a）2﹣3×32，
解得a＝10．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，P A ＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．
（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．
【解答】证明：（I）连接PE，则O在PE上，且＝2，
M是AP的中点，D是线段AM的中点．∴＝2，
∴＝＝2，∴OM∥DE，
∵OM⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴MO∥平面DEF；
（II）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝2，AE＝，
∴PE＝，PO＝，在△PEA中，cos∠APE＝＝＝，
在△POM中，由余弦定理可得OM2＝PM2+PO2﹣2PM•PO•cos∠APE＝3+﹣2×××＝，
∴PM2＝3＝（）2+＝PO2+OM2，∴∠POM＝90°，
∴OM⊥PE，
∵AB＝AC＝2，E是BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面P AE，又BC⊂平面PBC，∴平面P AE⊥平面PBC，
∵平面P AE∩平面PBC＝PE，∴OM⊥平面PBC，
∴DE⊥平面PBC，又∵DE⊂平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PBC．
22．（12分）对于数列{c n}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则{c n}叫做类等差数列，c1叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差．
（Ⅰ）若类等差数列{c n}满足c n﹣c n﹣1＜d（n≥2，n∈N*），请类比等差数列的通项公式，写出数列{c n}的通项不等式（不必证明）；
（Ⅱ）若数列{a n}中，a1＝，a n+1＝a n﹣2a n2．
（i）判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（ii）记数列{a n2}的前n项和为S n，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）（i）数列是类等差数列．证明如下：
∵，
∴＝＝2（）＝，
∴＝，
∵，∴a n+1＜a n，
∴{a n}是递减数列，（a n）max＝a1＝，
∴1﹣2a n＞0，1﹣2a n﹣1＞0，∴a n+1＝a n（1﹣2a n）＝（1﹣2a n）（1﹣2a n﹣1）（1﹣2a n﹣2）•（1﹣2a1）a1＞0，∴0＜，
∴＜0，
∴{}递减，∴（）max＝＝6，
（）min＝＝2，
∴2＜≤6，
∴数列是类等差数列．
（ii）证明：∵，∴＝，
∴S n＝
＝
＝，
由（i）知{}是类等差数列，结合（i）中结论得：
2n+3，且0＜，
∴﹣＜﹣，
∴＝，
∴，
∴．。