欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学下学期周练3 试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度中学高一
数学周末作业〔3〕2021/3/18
班级姓名学号得分
一、填空题：〔每一小题5分〕
1.数列31537,,,,,5211717的一个通项公式是.
2.等差数列{}n a 中，17,12961==+a a a ，那么4a =.
3.在ABC ∆中，假设c
C b B a A cos cos sin ==，那么ABC ∆的形状是___________． 4.首项为-24的等差数列从第10项起开场为正数，那么公差d 的取值范围是________.
5.三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，那么此三个数是_________________．
6.在锐角△ABC 中，,2B A =那么b
a 的取值范围是__________． 7.在ABC ∆中，112(tan A)(tan B )++=，那么2log sin C ＝＿＿＿＿＿＿.
8.θ是第三象限角，且4459sin
cos θθ+=，那么2sin θ等于___________ 9.△ABC 中，135cos =A ，5
3sin =B ，那么C cos 的值是__________．
10.tan α、tan β是方程240x
++=的两根，且(,)22ππαβ∈-、， 那么αβ+等于______________．
11.4cos50°－tan40°＝_____________．
12.sin2α＝，那么cos 2
等于__________． 13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .b －c ＝a ，
2sin B ＝3sin C ，那么cos A 的值是________．
14．,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 所对应的边，满足a =
)(sin sin )()sin b A B c b C -=-，22sin (
)3cos 12A C B ++=+， 那么边c 的值是．
二、解答题：
ABC ∆内，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，c b a ,,成等差数列，且c a 2=.
〔1〕求A cos 的值；〔2〕假设415
3=∆ABC S ，求b 的值.
16．某货轮在A 处看B 在货轮的北偏东75︒
的方向上，间隔为A 处看C 在货轮的北偏
西30︒
的方向上，间隔为A 处向正北航行到D 处时，再看B 在南偏60︒向上，求： 〔1〕AD 的间隔；
〔2〕CD 的间隔．
17.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．
(1)证明：B －A ＝；
(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．
18．如图，在ABC ∆中，O 为边BC 的中点，060AOB ∠=，AB =10．
〔1
〕当OA =
时，求ABC ∆的面积； 〔2〕设AC x =，求x 的取值范围．
19．如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠
AOP ＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP
的面积为S .
(1)求·＋S 的最大值及此时θ的值θ0；
A
B
C
D
第18题
O
(2)设点B 的坐标为，∠AOB ＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．
20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；
(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？假设存在，求出t 和m 的值；假设不存在，请说明理由．
中学高一数学周末作业〔3〕答案
一、填空题： 1.2
32++=n n a n 2.73．等腰直角三角形4.383≤<d 5.3、5、7或者7、5、36.()3,27.2
1-8.322 9.651610.43π-11.12.
13.－14
．2
二、解答题：
15.解〔1〕因为a,b,c 成等差数列，所以a+c=2b,
又c a 2=，可得c b 2
3=， 所以412324492cos 2
22222
2-=⨯-+=-+=c c c c bc a c b A ， 〔2〕由〔Ⅰ〕41cos -=A ，），（π0∈A ，所以415sin =A ， 因为,sin 2
14153A bc S S ABC ABC ==∆∆， 所以41534152321sin 212=⨯==∆c A bc S ABC
， 得42=c ，即3,2==b c .
16.解：(1)由题意，在ABD ∆中，075=∠BAD ,060=∠ADB ,612=AB ,那么045=∠ABD ,
由正弦定理得24=AD ,所以AD 的间隔为24海里。

〔2〕在ACD ∆中，
38,24==AC AD ,030=∠CAD ,由余弦定理得38=CD 所以CD 的间隔是38海里。

17.解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得＝＝，
所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin.
又B 为钝角，因此＋A ∈，故B ＝＋A ，即B －A ＝.
(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－＝－2A >0，所以A ∈.
于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin
＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2
A ＋sin A ＋1 ＝－2＋.
因为0<A <，所以0<sin A <，因此<－2＋≤.
由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是.
18．解：〔1〕在AOB ∆中，3sin 5
B ==
又060B <，∴4cos 5
B =，∴0sin sin(60)OAB B ∠=+=
因此010sin 8sin 60
OAB OB ∠==+……………………5分
ABC ∆的面积122(8482AOB S S ∆==⨯⨯+=+分 〔2〕在OAC ∆中，22022cos120OA
OC OA OC x +-⋅= 又OC OB =，∴222OA OB OA OB x ++⋅=①………………………9分
在OAB ∆中，22100OA OB OA OB +-⋅=②………………………11分 由①②得，222
1002x OA OB ++=，21002x OA OB -⋅=………………13分
由22
2OA OB OA OB +≥⋅，所以22100100222x x +-≥⋅，即2300x ≤ 结合210002
x OA OB -⋅=>得，实数x
的取值范围是10x <≤分 19.解：(1)由题意知A ，P 的坐标分别为(1，0)，(cos θ，sin θ)．
∵＝＋＝(1，0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)， ∴·＝(1，0)·(1＋cos θ，sin θ)
＝1＋cos θ.
由题意可知S ＝sin θ.
∴·＋S ＝sin θ＋cos θ＋1
＝sin ＋1(0<θ<π)．
∴·＋S 的最大值是＋1，
此时θ0＝.
(2)∵B ，∠AOB ＝α，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴cos(α＋θ0)＝cos
＝cos αcos －sin αsin
＝－×－×＝－.
20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .
由得5132
34,39,a a a +=⎧⎨=⎩即11817,3,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2
. (2)由(1)知b n ＝.
要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，
即2×＝＋，
整理得m＝3＋，
因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.。