2019届广西来宾市高三3月模拟考试数学(理科)试题(教师版)

高三数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.2(1i
i +=- ) A. 132
i +
B.
32
i
+ C.
32
i
- D.
132
i
-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
()()()()2212231313
1112222
i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2.已知集合A {x x 0}︱=>，2
B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A. 6- B. 6
C. 5
D. 5-
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .
【详解】{}3A B =Q I ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-， 故选A
【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
3.《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2
斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A.
73
斤 B.
7
2
斤 C.
52
斤 D. 3斤
【答案】B 【解析】 【分析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差
5124151512a a d --=
==---，217
2
a a d ∴=+=. 故选B
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.已知向量,a b v v
满足||1,||a b ==v v 且a v 与b v 的夹角为6
π
,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v ( )
A.
12
B. 32
-
C. 12
-
D.
32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】221()(2)223122
a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=v v v v v v v v
. 故选：A.
【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
5.设x ，y 满足约束条件34100
640280x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【答案】D 【解析】 分析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值．
【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.
由34100
280x y x y -+≥⎧⎨
+-≤⎩
得：()2,4A ，max 10z ∴=
故选D
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 6.已知抛物线2
2(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大
1
2
，则抛物线的标准方程为（ ） A. 2y x = B. 2
2y x =
C. 2
4y x =
D. 2
8y x =
【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程．
【详解】由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大1
2
，根据抛物线的定义可得
1
22
p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ．
【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．
7.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 324 B. 522
C. 535
D. 578
【答案】D 【解析】 【分析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.
【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.
【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.
8.为计算2
3
99
1223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A. 100i <
B. 100i >
C. 100i ≤
D. 100i ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0 满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2
，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2
，i ＝3 …
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+ (100)
（﹣2）99
，i ＝100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜100． 故选A ．
【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
9.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）
5
306 25
【答案】C 【解析】 【分析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值．
【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1
的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v
，
取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r
，
设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sin θ＝|6cos ,|EF n EF n EF n
⋅==⋅u u u v r
u u u v r u u u v r
，
∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为66
.
故选C ．
【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 10.已知集合{
}
2
lgsin 9A x y x x
==-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）
A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C. 11,2⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
D. 222⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出集合(]
0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2
221g t t t =-++由二
次函数的性质即可得值域. 【详解】由2
sin 0
0390
x x x >⎧⇒<≤⎨
-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2
221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上
递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，即 ()f x 值域为31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选A
【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 11.已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A. 183 B. 163 C. 143 D. 123【答案】B
【解析】 【分析】
设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【详解】将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，
设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3
4863
R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球和正
方体的外接球是同一个球，3a=226R =∴2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为
2
34163a =
故选B ．
【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
12.已知双曲线C ：2
214
x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，
B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )
A. 1
B. 2-
C. 1-
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v
=.设直线l 的方程x ＝5m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1
＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝
-
2
4
m -②，y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2
214
x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 2
0）
，设直线l 的方程x ＝
m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m ≠±2，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v
=，∴y 1＝﹣3y 2①
由22{
440
x my x y =--=，得(
)
2
2
410m y -++=
∴△＝（
）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，
∴y 1+y 2
＝-
y 1y 2＝
214m -③，
联立①②得220y -=>，联立①③得2
221304y m -=<-，
2y ∴=2
221123y m =-
即：2
21123m =-⎝⎭
，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ．
【
点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数2
()8x f x ae x x =+-的图象在(0,(0))f 处的切线斜率为4-，则a =______．
【答案】4 【解析】 【分析】 先对函数f （x ）求导，再根据图象在（0，f （0））处切线的斜率为﹣4，得f ′（0）＝﹣4，由此可求a 的
值.
【详解】由函数()2
8x
f x ae x x =+-得()'28x
f x ae x =+-，∵函数f （x ）的图象在（0，f （0））处切
线的斜率为﹣4，()'084f a ∴=-=-，4a ∴=. 故答案为4
【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
14.已知0m >，若5(1)mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30，则m =______． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m 的值．
【详解】()5
1mx +展开式通项为：15r r r
r T C m x +=
0m >Q 且()
5
1mx +的
展开式中2x 的系数比x 的系数大30
221
5530C m C m ∴-=，即：2260m m --=
解得：3
2
m =-
（舍去）或2m = 本题正确结果：2
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15.已知数列{}n a 满足12a =，
121n n
a a n n
+-=+，若n b ={}n b 的前n 项和n S =______．
【答案】144
3
n +-
【解析】 【分析】
n 1n a a 2n 1n +-=+,求得n a
n
的通项，进而求得2n a 2n =,得n b 通项公式，利用等比数列求和即可. 【
详
解
】
由
题
n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，
∴n 1a a n 122n n 1=+-⨯=,∴2n a 2n =,∴2n n b 2=,∴()
n n 1n 41444S 143
+--==-,故答案为n 1443+- 【点睛】本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题. 16.已知函数()12y f x =+-为奇函数，()21
1
x g x x -=
-，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x x x y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．
【答案】18 【解析】 【分析】
由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】Q 函数()12y f x =+-为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，
()211
211
x g x x x -=
=+--Q ，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，Q ()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,两两关于点()1,2对称，
126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 323418=⨯+⨯=.
故答案为18
【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60.
17.在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=-，a =
且ABC V 的面积为(1)求A ；
(2)求ABC V 的周长 .
【答案】（1）3
A π
=；（2）10+【解析】 【分析】
（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．
【详解】（1）()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=-Q ，∴由正弦定理可得：()()()a b a b c c b +-=-，即：222b c a bc +-=，由余弦定理得()1cos ,0,23
A A A π
π=∈∴=Q .
（2）∵3
A π
=
，所以1sin 23
ABC S bc π
∆=
=24bc ∴=，又222b c a bc Q +-=，且a =()2
2
3100b c bc a ∴+=+=，10b c ∴+=，ABC ∴∆的周长为10+【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题. 18.2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查
了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）3360元；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．
【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则
⨯+⨯+⨯=；
x=⨯+⨯+50000.1870000.0690000.063360
10000.330000.4
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），
随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为；
X 0 1 2
P
数学期望为E （X ）＝0×
+1×
+2×
＝．
【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD 平面PAD ，//AD BC ，1
2
AB BC AP AD ===，30ADP ∠=o ，90BAD ∠=o ，E 是PD 的中点．
()1证明：PD PB ⊥；
()2设2AD =，点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 10
，求二面角M AB P --的余弦值．
【答案】（1）见解析；（227
【解析】 【分析】
（1）由平面ABCD ⊥平面PAD 的性质定理得AB ⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥.在PAD ∆中，由勾股定理得PD AP ⊥，PD ∴⊥平面PAB ，即可得PD PB ⊥；
（2）以P 为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为105
，得点M 的坐标，从而求出二面角M AB P --的余弦值.
【详解】（1）Q 平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD I 平面PAD =AD ，90BAD o ∠=，
所以AB AD ⊥ .由面面垂直的性质定理得AB ⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥，在PAD ∆中，1
2
AP AD =
Q ，30ADP ∠=o ，
∴由正弦定理可得：1
sin sin 2
ADP APD ∠=
∠， 90APD ∴∠=o ，即PD AP ⊥，PD ∴⊥平面PAB ，PD
PB ∴⊥.
（2）以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,1B ，31,,12C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
3,0,02E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，设31,,22M a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ()01a ≤≤，则31,1,122BM a a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ， 10,,12CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u v ,
cos ,BM CE BM CE BM CE ⋅∴=u u u u v u u u v
u u u u v u u u v u u u u v u u u v 235
1024552322
a a a -==
-+⨯
得2
3a =，321,,333BM ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u v ，而()0,0,1AB u u u v =，设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =r ，由00
n BM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u
v r u u u
v r 可得：320
0x y z z ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则()
2,3,0n =r ，取平面PAB 的法向量()1,0,0m =r ，则27cos ,7m n m n m n r r
r r r r ⋅===，故二面角M AB P --的余弦值为27.
【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，属于中档题.
20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
221(15)x y a a
+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50
x y -+=的距离为
32
2
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 外一点N 满足，MN u u u u v
平行于y 轴，(2)=0ON OM MN -⋅u u u v
u u u u v u u u u v
，动点P 在直线23x =
足2ON NP ⋅=u u u v u u u v
.设过点N 且垂直OP 的直线l ，试问直线l 是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
【答案】（1）2214
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【
分析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a 的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （23，t ），根据()
20ON OM MN -⋅=u u u v u u u u v u u u u v ，可得y 1＝2y 0，由2ON NP ⋅=u u u v u u u v ，
可得23x 0+2y 0t ＝6，再根据向量的运算可得•0NF OP =u u u v u u u v
，即可证明． 【详解】（1）左顶点A 的坐标为（﹣a ，0），∵
＝
，∴|a﹣5|＝3，解得a ＝2或a ＝8（舍去），
∴椭圆C 的标准方程为
+y 2＝1，
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （2，t ），则依题意可知y 1≠y 0，()
ON 2OM MN 0u u u v u u u u v u u u u v
Q -⋅=得（x 0
﹣2 x 0，y 1﹣2y 0）• （0，y 1﹣y 0）=0，整理可得y 1＝2y 0，或y 1＝y 0 （舍），ON NP 2u u u v u Q u u v
⋅=，得（x 0，2y 0）
（2
﹣x 0，t ﹣2y 0）＝2，整理可得2
x 0+2y 0t ＝x 02
+4y 02
+2＝6，由（1）可得F （
，0），∴＝（﹣
x 0，﹣2y 0），∴
•
＝（
﹣x 0，﹣2y 0）（2，t ）＝6﹣2
x 0﹣2y 0t ＝0，∴NF⊥OP，故过点N 且垂直
于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ． 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化
归能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1
()f x g x x x
=
-，求()g x 的极值； （2）证明：2
()1x
f x e x +<-.
（参考数据：ln 20.69≈ ln3 1.10≈ 3
2 4.48e ≈ 27.39e ≈） 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x
﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2
+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）()()2
1ln 1(0)f x x g x x x x x x
=
-
=->，()2
2ln 'x g x x -=，当()2
0,x e ∈，()'0g x >， 当()
2
,x e ∈+∞，()'0g x <，
()g x ∴在(
)2
0,e 上递增，在()2
,e +∞上递减，()g x ∴在2
x e
=取得极大值，
极大值为
2
1
e ，无极大值. （2）要证
f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，
先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，
易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故xlnx ≤x （x ﹣1），e x
﹣x 2
﹣xlnx ≥e x
﹣2x 2
+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，
令k （x ）＝e x
﹣2x 2
+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x
﹣4x+1，
令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x
﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，
由零点存在定理，可知∃x 1∈（0，2ln2），∃x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，
故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2﹣1，
k （x 2）＝
﹣2
+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，
故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xQy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：
(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.
【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程； （2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.
【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22
244x y -+-=，即2
2
48160x y x y +--+= . 1C ∴的
参数方程化为极坐标方程为2
4cos 8sin 160p p p θθ--+=；
(2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩
可得：424p p ππ
θθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==
⎪⎪⎩⎩
或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫
⎪⎝⎭，
和4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
23.已知()()f x x a a R =+∈．
（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；
（2）若对任意x ∈R ，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，
【解析】 【分析】
（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．
【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥- 两边平方整理得()2
2
32410x a x a -++-≤
由题意知0和2是方程()2
2
32410x a x a -++-=的两个实数根
即2
240231023a a +⎧
+=⎪⎪⎨-⎪⨯=
⎪⎩
，解得1a = （2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--= 所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥- 当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤； 当0a <时，232a a -≥-，解得2
5
a ≤，即0a <； 综上所述，a 的取值范围是(],2-∞
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。