吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题(含答案)

长春外国语学校2018-2019学年第二学期期中考试高二年级
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2,1,0,1-=A ,{}
21<≤-=x x B ,则B A ⋂=
A. {}2,1,0,1-
B. {},1,0,1-
C. {}2,1,0
D. {}1,0 2.计算)2()1(i i +⋅+=
A. i -1
B. i 31+
C. i +3
D. i 33+
3.下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是 A. 22
x
y -= B. x x y +-=
11 C. 121log y x
= D. 2
2y x x a =-++ 4.命题“1x
x e x R ∀∈+，≥”的否定是
A. 1x
x e x R ∀∈<+， B. 0001x
x e x R ∃∈+，≥
C. 1x
x e x R ∀∉<+， D. 0
001x x e
x R ∃∈<+，
5. 方程x x -=6ln 2的解所在的区间是
A. )1,0(
B. )2,1(
C. )3,2(
D. )4,3( 6. 已知函数1ln )(-+
=x
a
x x f 的图象在点))2(,2(f 处的切线与直线012=-+y x 平行，则实数=a A. 2- B. 2 C. 4- D. 4
7. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 为
A.0
B.2
C.4
D.14
8. 若直线3
2y x =
+与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，则线段AB 中点的坐标为 A. )23,23(-
B. )23,23(--
C. )23,23(
D. )2
3,23(- 9. 已知数列{}n a 中，n
n a n +=21
，则n S = A. 1+n n B. 12+n n C. 1-n n D. 1
2-n n
10. F 是抛物线y x 42
=的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若
4=，则=⋅
A. 49
B. 2
3
C. 6
D. 9
11.
函数()2
x x
e e
f x x --=
的图象大致为
12. 已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，x x f x g -=)()(，且对任意的[)+∞∈,0,21x x ， 当21x x <时，)()(21x g x g <，则不等式3)2()12(-≥+--x x f x f 的解集为 A. ),3(+∞ B. (]3,∞- C. [)+∞,3 D. )3,(-∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 14.已知函数)0)(4
sin()(>+=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π，若102
)2(=
αf ,则α2sin =____________.
15. 若y x ,满足约束条件10
3030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则y x z 2-=的最小值为__________ .
16.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()()11,f x f x +=-在[)1,+∞上为增函数；若1,12x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
时，
()()1f ax f x <-成立，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题:（要求有必要的文字说明和解答步骤） 17.ABC ∆的内角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知 6,17
15
cos =+=c a B ,ABC ∆的面积为2，(1) 求ac 的值；（2）求b 的值.
18. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,且4141132,,9,3b a b a b b ====. (1) 求{}n a 的通项公式；
(2) 设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和.
19.某校高三的某次数学测试中，对其中100名学生的成绩进行分析，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号
分组
频数 频率 第1组 [90，100） 15 ① 第2组 [100，110） ② 0.35 第3组 [110，120） 20 0.20 第4组 [120，130） 20 0.20 第5组 [130，140） 10 0.10 合计
100
1.00
（1）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛，学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生，则第4、5组每组各抽取多少名学生？
20.在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为9)1(2
2
=+-y x ，圆2C 的方程为1)1(2
2
=++y x ，动圆C 与圆1C 内切，且与圆2C 外切.
（1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（2）已知)0,2(-P 与)0,2(Q 为平面内的两个定点，过)0,1(点的直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，求四边形
APBQ 面积的最大值.
21. 设函数()()()2
ln 10f x x a x a =-+>．
（1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与1+-=x y 垂直，求a 的值；
（2）证明：当2
e
a ≤时，()0
f x ≥.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号。

22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕ
sin cos y x (ϕ为参数)，曲线C 2的参数方程为
⎩
⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (ϕ,0>>b a 为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α 与C 1，C 2 各有一个交点．当 α＝0时，这两个交点间的距离为2，当 α＝π
2
时，这两个交点重合．
(1) 求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并求出a 与b 的值；
(2) 设当 α＝π4 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当 α＝－π
4 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，
求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
23. 已知函数a x x f +=2)(.
(1) 若不等式03)(≤-x f 的解集为{}
21≤≤-x x ,求实数a 的值；
(2) 在（1）的条件下，若k x f x f ≥++)2()(对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.
文科答案
BBADD DBAAD BC 13. 2 14.25
24
- 15. 5- 16. )2,0( 17. (1)2
17
=
ac (2)2=b 18. (1)12-=n a n
(2) 2
1
32
-+=n n n c
19. (1) 0.15 ; 35 (2) 2名, 1名
20.解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+
从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，
并去 除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为22
1(2)43
x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立22
143
1x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去x 得2
2
(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，
有121222
69,,3434
m y y y y m m --+==++则2
222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++， 点(2,0)P -到直线l 2
1m
+(2,0)Q 到直线l 2
1m
+
从而四边形APBQ 的面积22
222112(1)241234341m m S m m m
++=⨯=+++ 令21,1t m t +≥，有2
2424
1313t S t t t
==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461
313t S t t t
==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.
21.（1）a=1
（2）.函数的定义域为()0,+∞，令()2220a x a
f x x x x
-'=-=
=，则2
a
x =所以当2a x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，当2a x ⎫∈∞⎪⎪⎭
，时，()0f x '>, 所以()f x 的最小值为=ln 1222a a a f ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭， 当20e a <≤
时，1
ln 1ln 102e
a +≤+=，所以=ln 10222a a a f ⎛⎫
-+≥ ⎪⎝⎭， 所以()0f x ≥成立． 22.(1)C 1是圆，C 2是椭圆．
当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当α＝π
2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.
(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2
＋y 2
＝1和x 2
9
＋y 2
＝1，
当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝310
10
.
当α＝－π
4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯
形．
故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为2x ′＋2x
x ′－x
2
＝25
. 23. (1)1-=a (2)4≤k。