麻江县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

麻江县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx，则（）
A．B．C．
D．
2．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）D．（﹣∞，]
3．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）
A．πB．C．D．
4．椭圆=1的离心率为（）
A．B．C．D．
5．已知e为自然对数的底数，若对任意的
1
[,1]
x
e
∈，总存在唯一的[1,1]
y∈-，使得2
ln1y
x x a y e
-++=
成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
[,]e
e
B.
2
(,]e
e
C.
2
(,)
e
+∞ D.
21
(,)
e
e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
6．过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．已知a，b是实数，则“a2b＞ab2”是“＜”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）
A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
9． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1
={|
3}2
B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]
C ．(1,3]
D ．1
[,1]2
【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
11．将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=π
B ．
C ．
D ．
12．若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题
13．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．
15．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
16．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的
，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）
18．设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且a 2
=2b ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2
=5上，若存
在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
20．设集合A={x|0＜x ﹣m ＜3}，B={x|x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数m 的取值范围． （1）A ∩B=∅； （2）A ∪B=B ．
21．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）． （I ）若∠AOB=α，求cos α+sin α的值；
（II ）设点P 为单位圆上的一个动点，点Q 满足=
+
．若∠AOP=2θ，
表示|
|，并求|
|
的最大值．
22．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.
（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；
（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.
23．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
24．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *
∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
麻江县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，
∴f（）=f（π﹣）=f（），
∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数
∵＜＜＜，
∴f（）＜f（）＜f（），
∴f（）＜f（）＜f（），
故选：D
2．【答案】B
【解析】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a≤﹣
故选B．
3．【答案】D
【解析】解：由函数f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，
故f（x）=﹣cos2x．
若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+，a=+，k∈Z．
则实数a的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，
则c==2；
则椭圆的离心率为e==，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．【答案】B
【解析】
6．【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，
把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
7．【答案】C
【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0，
若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，
若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立，
若＜则，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，
即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a
2
和a8的等比中项为=±48．
故选：B．
9．【答案】D
【解析】由已知得{}
=01
A x x
<?，故A B
1
[,1]
2
，故选D．
10．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
11．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x，再向右平移个单位得到y=cos[（x）]，
由（x）=kπ，得x=2kπ，
即+2kπ，k∈Z，
当k=0时，，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：复数z===．
由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
14．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，
∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a 1=S 1=﹣1，
n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=
．
∴a n =
．
故答案为：．
15．【答案】()
53
,44
--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >-⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 16．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 17．【答案】
, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，
=350．
由
，
所以
是一个等比数列， 所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为： , 无．
18．【答案】1(,1]
,22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ 【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()2
21212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故()12122133x x a a
x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
. 考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤
，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e=
=，a
2=2b ，a 2﹣b
2=c 2， 解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x 2+
=1； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．
联立直线y=x+m 与椭圆的方程得，
即3x 2+2mx+m 2﹣2=0，
△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：∵A={x|0＜x﹣m＜3}，∴A={x|m＜x＜m+3}，
（1）当A∩B=∅时；如图：
则，
解得m=0，
（2）当A∪B=B时，则A⊆B，
由上图可得，m≥3或m+3≤0，
解得m≥3或m≤﹣3．
21．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．
可得sinα=，cosα=，∴cosα+sinα=．
（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以==（1+cos2θ，sin2θ），
所以===2|cosθ|，因为，
所以=2|cosθ|∈，
||的最大值．
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.
23．【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++．
【解析】 试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n n n n a a b n --==-≥，
这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-
+ 211()a a a +-+求得．
试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵
1222
n n b b ++=+， 又121224b a a +=-+=，
∴2312(21)(2222)22222221n n n n a n n n +-=++++-+=-+=--. ∴224(12)(22)2(4)122
n n n n n S n n +-+=-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．
24．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +==+，∴11()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列，
∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分）
（2）∵数列{}n a 是等差数列， ∴1()(22)(1)22
n n a a n n n S n n ++=
==+， ∴1111(1)1n S n n n n ==-++. （8分）
∴1231111n n T S S S S =++++ 11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+. （12分）。